上海市各地市2013年高考数学 最新联考试题分类汇编(3)函数与导数

上海市各地市2013年高考数学 最新联考试题分类汇编（3）函数
与导数
一、选择题:
18．（上海市八校2013届高三下学期联合调研理）受全球金融危机和国家应对金融危机政策的影响，某公司2012年一年内每天的利润()Q t (万元)与时间t (天)的关系如图所示，已知该公司2012年的每天平均利润为35万元，令()C t (万元)表示时间段[0,]t 内该公司的平均利润，用图像描述()C t 与t 之间的函数关系中较准确的是( )
【答案】D
18．（上海市黄浦区2013年4月高考二模理）如果函数2y x =-的图像与曲线
22:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是
A ．[1,1)- B. {}1,0- C. (,1][0,1)-∞- D. [1,0](1,)-+∞
【答案】A
16．（上海市黄浦区2013年4月高考二模理）函数2
1()1(2)2
f x x x =+<-的反函数是 A ．22(13)y x x =
-≤< B. 22(3)y x x =->
C ．22(13)y x x =--≤< D. 22(3)y x x =--> 【答案】D
16．（上海市黄浦区2013年4月高考二模文）函数2
1()1(2)2
f x x x =
+<-的反函数是（ ）
A ．22(13)y x x =-≤<
B ．22(3)y x x =->
C ．22(13)y x x =--≤<
D ．22(3)y x x =--> 【答案】D
17．（上海市黄浦区2013年4月高考二模文）如果函数y ||2x =-的图像与曲线22:C x y λ+= 恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（ ）
A ．{2}∪(4,)+∞
B ．(2,)+∞
C ．{2,4}
D ．(4,)+∞
④设定义在R 上的两个函数()f x 、()g x 都有最小值，且对任意的x ∈R ，命题“()0f x >或()0g x >”正确，则()f x 的最小值为正数或()g x 的最小值为正数．
上述命题中错误的个数是 （ ） （A ）1． （B ）2． （C ）3． （D ）4． 【答案】D
18、(上海市奉贤区2013年1月高考一模文理)定义域是一切实数的函数()x f y =，其图像是连续不断的，且存在常数λ(R λ∈)使得 ()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立，则称()f x 是一个“λ—伴随函数”． 有下列关于“λ—伴随函数”的结论：①()0f x =是常数函数中唯一一个“λ—伴随函数”；②“
12
—伴随函数”至少有一个零点．；③2
()f x x =是一个“λ—伴随函数”；其中正确结论的个数是 （ ）
A ．1个；
B ．2个；
C ．3个；
D ．0个； 【答案】A
16、(上海市奉贤区2013年1月高考一模文理)已知函数sin (0)y ax b a =+>的图像如左
图所示，则函数log ()a y x b =+的图像可能是（ ）
【答案】C 二、填空题:
2．（上海市八校2013届高三下学期联合调研文理）函数0.5log y x =的定义域为 。

【答案】(0,1]
3．（上海市八校2013届高三下学期联合调研理）已知(1)22x
f x +=-，那么1
(2)f -的值
是 。

【答案】3
12．（上海市八校2013届高三下学期联合调研理）)(x f 为R 上的偶函数，)(x g 为R 上的奇函数且过()3,1-，)1()(-=x f x g ，则=+)2013()2012(f f 。

【答案】-3
3．（上海市八校2013届高三下学期联合调研文）已知22)(-=x
x f ，那么1
(2)f -的值
是 。

【答案】2
2．（上海市黄浦区2013年4月高考二模理）函数()1lg(42)f x x x =
++-的定义域为
___________. 【答案】[)1,2-
1．（上海市黄浦区2013年4月高考二模文）函数()lg(42)f x x =-的定义域为 ．
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】(,2)-∞
6．（上海市黄浦区2013年4月高考二模理）设a 为常数，函数2
()43f x x x =-+，若
()f x a +在[0,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是___________.
14．（上海市黄浦区2013年4月高考二模理）已知1
()4f x x
=-
，若存在区间1
[,](,)3
a b ⊆+∞，使得{}(),[,][,]y y f x x a b ma mb =⊆=，则实数m 的取值范围是
___________. 【答案】[]3,4
4. （上海市闵行区2013年高考二模理）用二分法研究方程3
310x x +-=的近似解0x x =，
运算
次数 1 … 4 5 6 …
解的
范围
(0,0.5) … (0.3125,0.375) (0.3125,0.34375) (0.3125,0.328125) …
若精确到0.1，至少运算n 次，则0n x +的值为 ． 【答案】5.3
7、(上海市奉贤区2013年1月高考一模文理)设函数()()()
a x x x
x f sin 1-+=
为奇函数，则
=a ．
【答案】Z k k ∈+
,2
2π
π
9、(上海市奉贤区2013年1月高考一模)（理）已知函数sin ,0,()(1),0,
x x f x f x x π≤⎧=⎨
->⎩那么)
65
(f 的值为 ． 【答案】2
1
-
9、(上海市奉贤区2013年1月高考一模)（文）已知函数2log ,0,
()2,0.x x x f x x >⎧=⎨≤⎩
若
1
()2
f a =，则a =_________．
【答案】1-=a 或2
11、(上海市奉贤区2013年1月高考一模文)（文）若函数21()log ()f x x a x
=+-在
区间⎥⎦
⎤⎢⎣⎡2,2
1内有零点，则实数a 的取值范围是___． 【答案】⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡25
2log ,1
12、(上海市奉贤区2013年1月高考一模文理)已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，
()x g 是(,)-∞+∞上的奇函数，()()1-=x f x g ，()20133=g ，则()2014f 的值为_________． 【答案】2013
三、解答题:
21．（上海市黄浦区2013年4月高考二模理）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
某医药研究所开发一种新药，在实验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药
后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间x （小时）之间满足21
1(01)2(1)41
x x ax
x x a
y a x --⎧<<⎪⎪+=⎨⋅⎪>⎪⎩+， 其对应曲线（如图所示）过点16
(2,
)5
. （1）试求药量峰值（y 的最大值）与达峰时间（y 取最大值 时对应的x 值）； （2）如果每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效， 那么成人按规定剂量服用该药一次后能维持多长的有效时 间？（精确到0.01小时）
【解析】将16
(2,
)5
代入函数可得：8a =，∴22
18,011
()2,141
x x x
x x f x x +-⎧<<⎪⎪+=⎨⎪≥⎪⎩+ ⑴当(0,1)x ∈时，2
88
()11x f x x x x
=
=++ ∵1
2x x
+
>，∴0()4f x << 当[1,)x ∈+∞时，221242424
()1142412114244
x x x x x x x x f x +-⋅⋅====
+⨯+++ ∵22x
≥ ∴
11
2142
x x ⨯+≥，∴0()4f x <≤ ∴当1x =时，有最大值为max (1)4y f ==
⑵∵()f x 在(0,1)上单调增，在[1,)+∞上单调减，最大值为4 ∴()1f x =在(0,1)和[1,)+∞各有一解 当(0,1)x ∈时，2
8()11
x
f x x =
=+
，解得：4x =-
y
x
当[1,)x ∈+∞时，2
1
2()141
x x f x +-==+
，解得：2log (8x =+
∴当2[4(8x ∈+时，为有效时间区间
∴有效的持续时间为：2log (8(4 3.85+-≈小时
21．（上海市黄浦区2013年4月高考二模文）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
某医药研究所开发一种新药，在试验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药
后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间x （小时）之间满足21
1,(01)1
2,(1)41
x x ax
x x y a x --⎧<<⎪⎪+=⎨⋅⎪≥⎪+⎩，其 对应曲线（如图所示）过点116
(,)25
．
（1）试求药量峰值（y 的最大值）与达峰时间（y 取 最大值时对应的x 值）；
（2）如果每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗 疾病有效，那么成人按规定剂量服用该药一次后能维
持多长的有效时间？（精确到0.01小时）
解：（1）由曲线过点116(,)25，可得
11621514a ⨯
=+，故8a = ……………………2分 当01x <<时，2
88412x x
y x x
=
<=+， ……………………3分 当1x ≥时，设12x t -=，可知1t ≥，
112828844112x x t t y t t
--⨯==≤=++（当且仅当1t =时，4y =） ……………………5分
综上可知max 4y =，且当y 取最大值时，对应的x 值为1
所以药量峰值为4mg ，达峰时间为1小时． ……………………6分 （2）当01x <<时，由
2
811
x
x =+，可得2810x x -+=，
解得4x =
41>
，故4x = ……………………8分
当1x ≥时，设12x t -=，则1t ≥，
由1182141x x --⨯=+，可得2811
t t =+
，解得4t =± 又1t ≥
，故4t =+
124x -=，
可得2log (41x =++． …………………………………………12分 由图像知当1y ≥时，对应的x
的取值范围是2[4(41]++，
∵2log (41(4 3.85+-≈，
所以成人按规定剂量服用该药一次后能维持大约3.85小时的有效时间． …………14分 【另法提示：可直接解不等式1≥y ，得出x 的取值范围，然后求出有效时间】 22．（上海市闵行区2013年高考二模理）（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分6分． 已知()||,=-+∈R f x x x a b x ．
（1）当1,0a b ==时，判断()f x 的奇偶性，并说明理由； （2）当1,1a b ==时，若5
(2)4
x
f =
，求x 的值； （3）若0b <，且对任何[]0,1x ∈不等式()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围． 解：
（1）当1,0a b ==时，()|1|f x x x =-既不是奇函数也不是偶函数．……2分 ∵(1)2,(1)0f f -=-=，∴(1)(1),(1)(1)f f f f -≠-≠-
所以()f x 既不是奇函数，也不是偶函数．………………………………………2分 （2）当1,1a b ==时，()|1|1f x x x =-+， 由5(2)4x
f =
得52|21|14
x x
-+= ……………………………2分 即2211(2)204x x x ⎧≥⎪⎨--=⎪⎩或221
1(2)204
x x x
⎧<⎪⎨-+=⎪⎩ ………………………2分
解得1
2222
x
x x =
==
所以2
212
log log (12)12
x +==+-或1x =-． ………………2分 （3）当0x =时，a 取任意实数，不等式()0f x <恒成立， 故只需考虑(]0,1x ∈，此时原不等式变为||b
x a x
--< 即b b
x a x x x +
<<- ………………………………………………………2分 故(]max min ()(),0,1b b
x a x x x x
+<<-∈
又函数()b g x x x =+在(]0,1上单调递增，所以max ()(1)1b
x g b x +==+；
对于函数(](),0,1b
h x x x x
=-∈
①当1b <-时，在(]0,1上()h x 单调递减，min ()(1)1b
x h b x
-==-，又11b b ->+，
所以，此时a 的取值范围是(1,1)b b +-． ……………………………………2分
当1223b -≤<-时，a 的取值范围是(1,2)b b +-；
当2230b -≤<时，a 的取值范围是∅． ……………………………2分 23、(上海市奉贤区2013年1月高考一模理)（理）设函数
x
a
x x f +
=)(定义域为),0(∞+，且25)2(=f .
设点P 是函数图像上的任意一点，过点P 分别作直线x y =和
y 轴的垂线，垂足分别为N M 、
． （1）写出()x f 的单调递减区间（不必证明）；（4分） （2）问：PN PM ⋅是否为定值？若是，则求出该定值，
若不是，则说明理由；（7分）
（3）设O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值.（7分）
23、(上海市奉贤区2013年1月高考一模文)（文）设函数
x
a
x x f +
=)(定义域为),0(∞+，且25)2(=f .
设点P 是函数图像上的任意一点，过点P 分别作直线x
y =和
y 轴的垂线，垂足分别为N M 、
． （1）写出()x f 的单调递减区间（不必证明）；（4分） （2）设点P 的横坐标0x ，求M 点的坐标（用0x 的代数式表示）；
（7分）
（3）设O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值.（7分） 23、解：（1）、因为函数x a x x f +
=)(的图象过点)2
5
,2(A ， 所以
12
225=⇒+=a a
2分 函数()f x 在)1,0(上是减函数. 4分
（2）、（理）设⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+
001
,x x x P 5分 直线PM 的斜率1- 则PM 的方程()0001x x x x y --=⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
- 6分 联立()0001x x x x y x
y --=⎪⎩
⎪⎨⎧⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=
⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛++000021,21x x x x M 9分 ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+001,0x x N
()0,,1,1000x PB x x PA -=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=，21
-=⋅∴PB PA 11分 （2）、（文）设⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+
001
,x x x P 5分 直线PM 的斜率为1- 6分 则PM 的方程()0001x x x x y --=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+
- 7分
联立()0001x x x x y x y --=⎪⎩
⎪⎨⎧⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛+-= 8分
⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛++000021,21x x x x M 11分 3、 0
0212
x y x PM =
-=
12分
⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛+=00212x x OM 13分
∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅=∆12121212122120000x x x x S OPM ， 14分 ⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛+001,0x x N
2
1
2112120000+=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=∆x x x x S OPN ， 15分 ∴ 1)21
(212
20++=+=∆∆x x S S S OPN OPM OMPN ， 16分 22
1+
≥OMPN S 17分 当且仅当402
1
=x 时，等号成立.
∴ 此时四边形OMPN 面积有最小值2
2
1+. 18分。