(完整word版)No.42全国高中数学联合竞赛模拟试题

第-1项
No ・42咼中数学联赛模拟试卷
一、填空题：本大题共 8小题，每小题8分，共64分•把答案填在横线上•
1.方程 log x sinx
2
2在区间(0,—］上的实根个数为
2
8 ( 1)n 1的前n 项和为S n ，则满足不等式
3
4•圆周上给定10个点，每两点连一条弦，如果没有三条弦交于圆内一点，那么，这些弦在圆 内一共有 __________________ 个交点.
5•一只虫子沿三角形铁圈爬行，在每个顶点，它都等机会地爬向另外两个顶点之一，则它在 n
次爬行后恰好回到起始点的概率为 ____________________ .
6.设0是平面上一个定点，A ， B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足
uuu OP uur
AC uur |AC|
uun OA uuu AB 甘出 -tu*4，其中
|AB|
[0,
)，则点 P 的轨迹为
•
7.对给定的整数 m
,
付号 (m)表示
1,2,
3
中使m (m)能被3整除的唯一值，那么
一
2010
一
2010
〜、 —2010 亠、
(2 1)
(2 2) (2
8•分别以直角三角形的两条直角边 a ，b 和斜边c 为轴将直角三角形旋转一周，所得旋转体的
2 2 2
体积依次为 V ，V b ，V c ，则V a V b 与(2V c )的大小关系是 ____________________________ . 二、解答题：本大题共 3小题，共56分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
.
1.(本小题满分16分)是否存在实数a ，使直线y ax 1和双曲线3x 2 y 2 1相交于两点 A 、 B ，且以AB 为直径的圆恰好过坐标系的原点？
2.设数列 |S n 6| —的最小整数 n 是
125
3•已知n ( n 2 )是常数，且X i ， X 2，L ， X n 是区间
0_内任意实数，则函数 ，2
f
(x ,,sin X n cos X i 的最大值等于
2.（本小题满分20分）求证：不存在这样的函数f:Z 1,2,3，满足对任意的整数x , y ,若|x y| 2,3,5，则f(x) f(y).
3.（本小题满分20分）设非负实数a，b ，c满足a b c 1 ，求证：
9abc ab be ca 1(1 9abc)
第-2项
第-3项
间（%］上有且只有一个实根.
2 .2
3 ^ ab 宁，
2 2 2
sin x 2 cos x 3 L sin 人
(sin 2 为 cofxj (sin 2x 2 cos x ?) L (sin 2 x n cos x n )
2
、填空题 1•设 f
（X ）
又 0 In —
2 参考答案
1 log x sin x 2，贝U f (x)
cosx , v 0 x
2
xln
2
1 , • f （x ） 0，即在区间（0,—］上单调递增,
2 故方程 ,• 0 cosx 1 ,
2
log x sin x 2 在区 ~2
2.
易知数列 8
(i)n 1 是首项是8 ,
3
比数列，
S n
1
8[1 ( -)n ]
汁6
1
篇
1
6( 3T ，于是 |S n
6|
1 125
2 3n 1 * 1
125
3n 1 250 ,
35 243 250, 36
729 250，故最小整数
7.
••• f(^,X 2 丄,X n ) sin % cosx 2 sin x 2 cosx 3
sin x n cos^
.2 2
sin % cos x 2
5
.
2n 2( 1)n 3 2n 设第k
次到达
2.（本小题满分20分）求证：不存在这样的函数f:Z 1,2,3，满足对任意的整数x , y ,点A为事件D,从点C到点A为事件E,则An=B n-1*D+C n-1*E,则（顺便说明一下：A是出发点）
第-4项
2
第-5项
户(&$ =冋酩帀+瓦寸E) = /熄可-F[P) +尸亿空1) r (£) */ F (爲7) = HP) = n =豆
九T - +G — => F (0I )-扣-
~
尸｛九 i)
i-T
£
O
*/ ^(-\) = (J
尸:气J -
--巩九〕=§
ETC 广
uuu 6. •/ OP
uuur AC uuur |AC|
uu u OA
uuu AB uuu , I ABI uuu ••• OP uu u OA
uuu (AB (uuu I AB|
uiur AC 、 -utu^), |AC|
uuu 即AP
uuu AB
uuu |AB| uuur
AC ) uuur ) I AC |
uuu AB 又 uuu |AB|
uuur AC uiur |AC|
为单位向量，由向量加法的平行四边形法则,
知点P 的轨迹为
BAC 的平分线.
7•由二项式定理知,
22010 41005 (3
1)1005 3p 1,即 22010被3除余1,
• (22010 1)
3, (22010 2) 1
(22010
3) 2 2010
八
故(2 1) 2010 2010
(2 2) (2
3) 6.
8. I V a 2
V b 2
(-b 2
a)2
(- a 2
b)2
2
-a 2b 2(a 2 b 2
)
2
2i 2 2
a b c ,
9
(2V c )2 (2 -h 2(a
3
b))2
斗浮)4c 2
9 c
4-4
a b c
•作商，有
V
(2V c )2
4
c 4a 2b 2
z 2
2\2
(a b ) 4a 2b 2
(2ab)2 4a 2b 2
1，故 V a 2
V b 2 (2V c )2.
二、解答题
9•解：设交点A、B 的坐标为A（X i，yJ、B（X2』2），由3x2 ax
2
y
1
消去y，得
1
(3 a2)x2 2ax 2 0,
2a
2，
由韦达定理，得x< x22，①
3 a2
第-6项
2
第-7项
•- x1x2y』
2
0,
即x1x2
(a
x1
1)(ax2 2
1) 0,整理，得(a 1)X1X2 a(x1 X2) 1 0 ③
1 a2d
将①②代入并化简 2 0, • a 1 ,
3 a2
经检
验，
a 1确实满足题目条件，故存在实数a满足题目条件.
10.证明：假设存在这样的函数f，则对任意的整数n，设f(n) a , f (n 5) b，其中
a,b 1,2,3 ，由条件知a b.
由于|(n 5) (n 2)| 3，|n (n 2)| 2，••• f (n 2) a 且f(n 2) b ,即
f(n 2)是1,2,3除去a , b后剩下的那个数，不妨设f(n 2) c
又由于|(n 5) (n 3)| 2, |n (n 3)| 3, • f(n 3) f (n 2).
以n 1 代替n，得f(n 4) f (n 3) f (n 2)，但这与| (n 4) (n 2) | 2 矛盾！
因此假设不成立，即不存在这样的函数f•
11.证明：先证左边的不等式.
••• a b c 1,
• ab bc ca (ab bc ca)(a b c) a2b ab2 b2c bc2 a2c ac2 3abc
6abc 3abc 9abc
或者ab bc ca
abc(--
a b
丄），
只证
c
1 1
a b
1
c
9用排序或者1的代换易证。

再证右边的不等式.
不妨设a b c,注意到条件； a b c 1，得
1 4(ab bc
c
a)
9abc (a b 3 c) 4(a b c)(ab bc ca) 9abc a(a b)(a c) b(b a)(b c) c(c a)(c b)
(a b)[a(a c) b(b c)] c(c
a)(
c b)
,
•••以AB为直径的圆恰好过坐标系的原点，
•
uuu uuu
OA OB ,
②
x1x2
3a2.
第-8项
故所求函数的最大值等于 -.
4.圆周上任意四点构成一个四边形，四边形的两条对角线的交点必在圆内，所以四边形的个
10 9 8 7
数与每两条弦的交点数相等，故有
G 4。

210个交点•
12 3 4
所以ab be 综上，9abe
1
ea (1 9abe),
4 1
ab be ea (1 9abe).。