甘肃省西北师范大学附属中学高三数学冲刺诊断考试试题 文

甘肃省西北师范大学附属中学2018届高三数学冲刺诊断考试试题 文
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合2
{|10}M x x =-≤,22{|log (2)log 3,}N x x x Z =+<∈,则M
N =( )
A. ∅
B.}1{
C.}1,0,1{-
D. }0,1{-
答案：D
2. 已知复数z 1=3+4i,z 2=a+i,且z 1是实数,则实数a 等于( )
A. B. C.-
D.-
答案：A
3. 已知点P(x,y)在不等式组表示的平面区域内运动,则z=x-y 的取值范围
是( )
A.[-2,-1]
B.[-2,1]
C.[-1,2]
D.[1,2]
答案：C 4. 在区间上随机取一个数x,则事件“0≤sin x≤1”发生的概率为( ) A. B.
C. D.
答案：C
5．已知向量a=(1,1),b=(2,-3),若ka-2b 与a 垂直,则实数k 的值为( )
A. 1
B. -1
C.2
D.-2
答案:B
6. 某程序框图如图所示,若输出的s=57,则判断框内为( ) A.k>4? B.k>5?
C.k>6?
D.k>7?
答案：A
7. 一个几何体的三视图如图所示， 则该几何体的表面积为（ ）
A ．3π
B ．4π
C ．24π+
D ．34π+ 答案:D
8. 为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况,采用简单随机抽样的方法,从该校400名授课教师中抽取20名,
调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数, 结果用茎叶图表示如图.据此可估计该校上学期 400名教师中,使用多媒体进行教学次数在[16,30) 内的人数为( ) A.100 B.160
C.200
D.280
答案：B
9. 设F 1,F 2是双曲线
=1(a>0,b>0)的两个焦点,点P 在双曲线上,若
=0且
||·||=2ac(c=),则双曲线的离心率为( )
A. 2
B.
C.
D.
答案：C
10. 将函数)2
2
)(2sin()(π
θπ
θ<
<-
+=x x f 的图象向右平移)0(>ϕϕ个单位长度后得到函
数)(x g 的图象,若)(),(x g x f 的图象都经过点)2
3
,0(P ,则ϕ的值可以是（ ） A ．
3
5π B ．
6
5π C ．
2π D ．
6
π 【答案】B
11. 数列}{n a 满足：1132,5
1
++=-=n n n n a a a a a ，则数列}{1+n n a a 前10项的和为 A ．
10
21
B ．
2021 C ．9
19
D ．
1819
答案：A
12. 若函数()()2e ln e 2x
x
f x x m =++-存在正的零点,则实数m 的取值范围为( )
A. ()e,+∞
B.
)
+∞ C. (),e -∞ D. (-∞
答案：D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号的横线
上.
13. 已知a>0，b>0，且a+b=1，求b
a 1
1+的最小值____________
答案：4
14. 在等比数列}{n a 中，3512,21
,3a a a 成等差数列，则=++8
7109
a a a a 答案：3
15. 在区间[0,2]上任取两个实数a,b ，则函数14
1)(2
2+-+=b ax x x f 没有零点的概率是 答案：
4
π
16. 已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积
，2AB =， 60,1=∠=BAC AC ，则此球的表面积等于_______________. 答案：π8
三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤. 17. 在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为c b a ,,，已知222a c b ac +-=，
且=. （1）求角A 的大小；
（2）设函数x B x x f 2cos )2cos(1)(-++=，求函数)(x f 的最大值
解：（1）在△ABC 中，因为2221
cos 22
a c
b B a
c +-==，所以3π=B 。

在△ABC =B C =， 所以2
2
sin =
C ，320π<<C ，4π=C ，故125432πππ=-=A
（2）由（1）得x x x f 2cos )3
2cos(1)(-+
+=π
x x x 2cos 2sin 2
3
2cos 211--+=
x
x 2cos 2
1
2sin 231--=)672sin(1π++=x max ()2f x =
18. （本小题满分12分）某机构为了解某地区中学生在校月消费情况，随机抽取了100名中学生进行调查．右图是根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图.已知[350,450），[450,550），[550,650）三个金额段的学生人数成等差数列，将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群” ．
（1）求m ，n 的值，并求这100名学生月消费金额的样本平均数x （同一组中的数据用该组区
间的中点值作代表）；
（2）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有90%的把握认为“高消费群”与性别
有关？
（参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c
d =+++）
解：（1）由题意知 100()0.6m n +=且
20.0015m n =+
解得
0.0025,0.0035m n ==
所求平均数为：
3000.154000.355000.25600x =⨯+⨯+⨯+⨯(元)
（2）根据频率分布直方图得到如下2×2列联表：
根据上表数据代入公式可得2
100(15403510)100
1.33
2.7062575505075
K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯
所以没有90%的把握认为“高消费群”与性别有关．
19.
如
图
,
三
棱
柱
111
ABC A B C -中,侧面
11AAC C
⊥侧面
11ABB A ,1AC AA ==,1160AAC ∠=︒,1AB AA ⊥,H 为棱1CC 的中点,D 为1BB 的
中点.
(1) 求证:1A D ⊥平面1AB H ； (2) 若AB =
,求三棱柱111ABC A B C -的体积.
解：(1)连结1AC ,因为1ACC ∆为正三角形,H
为棱1CC 的中点, 所以1AH CC
⊥,从而1AH AA ⊥,又面11AAC C ⊥面11ABB A , 面11AAC C
面11ABB
A 1AA =,AH ⊂面11AAC C ,
所以AH ⊥面11ABB A ,又1A D ⊂面11ABB A ,所以AH ⊥1A D …①,……2分 设AB =
,由1AC AA ==,所以12AC AA a ==,1DB a =,
111111
DB A B B A AA ==,又111190DB A B A A ∠=∠=︒,所以11
11A DB AB A ∆∆,
所以1111B AA B A D ∠=∠,又11190B A D AA D ∠+∠=︒, 所以
11190
B AA AA D ∠+∠
=︒, 设1
1AB A D O =,则11A D AB ⊥…②,
由①②及1AB AH A =,可得1A D ⊥平面1AB H .
(2)方法一:取1AA
中点M ,连结1C M ,则1//C M AH ,所以1C M ⊥面11ABB A . 所以111
1111133C AB A AB A V S C M -∆=⋅==
所以三棱柱111ABC A B C -的体积为1113C AB A V -=
.
方法二:取11AC 中点G ,连结AG ,因为11AAC ∆为正三角形,所以11AG AC ⊥,
A B
C
A 1
B 1
C 1
D
H
图4
因为面11AAC C ⊥面11ABB A ,面11AAC C 面11ABB A 1AA =,11A B ⊂面11ABB A ,
111A B AA ⊥,所以11A B ⊥面11AAC C ,又AG ⊂面11AAC C ,所以11A B AG ⊥,
又11
111AC A B A =,所以AG ⊥平面111A B C ,所以AG 为三棱柱111ABC A B C -的高,
经计算AG =
111111111
222
A B C S A B AC ∆=
⋅==, 所以三棱柱111ABC A B C -
的体积111A B C V S AG ∆=⋅=
=20. 椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C ，B A ，是椭圆与x 轴的两个交点，M 为椭圆C 的上顶
点，设直线MA 的斜率为1k ，直线MB 的斜率为2k ，3
2
21-=k k ． （1）求椭圆C 的离心率；
（2）设直线l 与轴交于点)0,3(-D ，交椭圆于P 、Q 两点，且满足QD DP 3=，当OPQ
∆的面积最大时，求椭圆C 的方程．
解：（1）(0,)M b ，(,0)A a -，(,0)B a ，1b k a =
，2b
k a
=- 212223b b b k k a a a =-⋅=-=-， 3
3
=
=a c e ． （2）由（1）知3
3
=
=
a c e ，得22222,3c
b
c a ==， 可设椭圆C 的方程为：222632c y x =+
设直线l 的方程为：3-=my x ，直线l 与椭圆交于,P Q 两点
222
236x y c
x my ⎧+=⎪⎨
=⎪⎩得06634)32(222=-+-+c my y m 因为直线l 与椭圆C 相交，所以0)66)(32(448222>-+-=∆c m m ，
由韦达定理：3
2342
21+=+m m y y ，32662221+-=m c y y ． 又3DP QD =，所以213y y -=，代入上述两式有：3
236662
2
2
+-=-m m c ， 所以|3
238|2321221+=-=
∆m m y y OD S OPQ
2
112
12
323
2m m m m
==≤++
，
当且仅当232
=
m 时，等号成立， 此时2
52
=c ， 代入∆，有0>∆成立，所以所求椭圆C 的方程为：22
21155
x y +=．
21. 已知函数2()61f x x ax =++，2()8ln 21g x a x b =++，其中0a >．
（1）设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同，用a 表示b ，并求b
的最大值；
（2）设()()()h x f x g x =+，证明：若a ≥1，则对任意1x ，2x (0,)∈+∞，12x x ≠，有
2121
()()
14h x h x x x ->-
解：（1）设()()f x g x 与的图象交于点000(,)(0)P x y x >，则有00()()f x g x =，
即2
2
000618ln 21x ax a x b ++=++ （1）
又由题意知)()(00x g x f '='，即2
00
826a x a x += （2）
由（2）解得004()x a x a ==-或舍去 将0x a =代入（1）整理得2
274ln 2
b a a a =- 令2
27()4ln 2
K a a a a =
-，则()(38ln )K a a a '=-
当a ∈时，()K a
单调递增，当)a ∈+∞时()K a 单调递减， 所以()K
a 3
42K e ≤=，即b ≤3
42e ，b 的最大值为3
42e （2）证明：不妨设()2121,,0,x x x x <+∞∈，()()
2121
14h x h x x x ->-
变形得()()22111414h x x h x x ->-
令()()14T x h x x =-，2
8()2614a T x x a x '=++-，
1a ≥，2
8()261486140a T x x a a a x
'=++-≥+-≥
所以 )(x T 在()+∞,0上单调递增，)()(12x T x T >， 即
2121
()()
14h x h x x x ->-成立
同理可证,当21x x >时,命题也成立
综上, 对任意1x ，2x (0,)∈+∞，12x x ≠，不等式
2121
()()
14h x h x x x ->-成立
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22、选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
已知曲线1C 的参数方程为1cos 3sin x t y t α
α=-+⎧⎨=+⎩
（t 为参数，0απ<≤），以坐标原点O 为极点，x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C
的极坐标方程为4πρθ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.
（1
）若极坐标为4π⎫⎪⎭的点A 在曲线1C 上，求曲线1C 与曲线2C 的交点坐标；
（2）若点P 的坐标为()1,3-，且曲线1C 与曲线2C 交于,B D 两点，求.PB PD ⋅
解：（1
）点4π⎫
⎪⎭
对应的直角坐标为()1,1， 由曲线1C 的参数方程知：曲线1C 是过点()1,3-的直线，故曲线1C 的方程为20x y +-=，
而曲线2C 的直角坐标方程为2
2
220x y x y +--=，联立得22220
20x y x y x y ⎧+--=⎨+-=⎩
，
解得：1212
20
02x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，故交点坐标分别为()()2,0,0,2. （2）由判断知：P 在直线1C 上，将1+cos 3sin x t y t αα
=-⎧⎨=+⎩代入方程22
220x y x y +--=得：
()24cos sin 60t t αα--+=，设点,B D 对应的参数分别为12,t t ，则12,PB t PD t ==,而126t t =，
所以1212==6.PB PD t t t t ⋅=⋅ 23、选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分） 设()|1||3|f x x x =--+
（1）解不等式()2;f x >
（2）若不等式()1f x kx ≤+在[3,1]x ∈--上恒成立，求实数k 的取值范围. 设()|1||3|f x x x =--+
解：（1）|1||3|2x x --+>可转化为①31(3)2x x x <-⎧⎨---->⎩或②31
1(3)2x x x -≤<⎧⎨--+>⎩
或③1
1(3)2x x x ≥⎧⎨--+>⎩
，解①得3x <-，解②得32x -≤<-，解③得x ∈∅
∴原不等式的解集为{|2}x x <-
（2）[3,1]x ∈--时，()1322f x x x x =-+--=-- 不等式()1f x kx ≤+在[3,1]x ∈--上恒成立，
∴221x kx --≤+在[3,1]--上恒成立，∴3
2k x
≤--
在[3,1]--上恒成立. 设3()2g x x
=--
，()g x 在[3,1]--是上为增函数
∴1()1g x -≤≤ ∴1k ≤-.。