2021年浙江省高考数学模拟试卷(5)(4月份)解析版

2021年浙江省高考数学模拟试卷（5）（4月份）
1.已知全集，集合，，则
A. B. C. D. R
2.已知i是虚数单位，复数，则的共轭复数为
A. B. C. D.
3.已知直线a，b，m，其中，则“，”是“”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
A. B. C. D.
5.记，则…的值为
A. 1
B. 2
C. 129
D. 2188
6.已知不等式组表示的平面区域为D，若函数的
图象上存在区域D上的点，则实数m的取值范围是
A. B. C. D.
7.甲、乙、丙、丁四个人到A，B，C三个景点旅游，每个人只去一个景点，每个景
点至少有一个人去，则甲不到A景点的方案有
A. 18种
B. 12种
C. 36种
D. 24种
8.设椭圆C：的右焦点为F，椭圆C上的两点A、B关于原点
对称，且满足，，则椭圆C的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
9.已知函数，则方程的实根个
数为
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
10.已知直三棱柱的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一
平面截此棱柱，与侧棱，，，分别交于三点M，N，Q，若
为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为
A. B. 3 C. D. 4
11.若实数x、y满足，则的取值范围是______.
12.已知抛物线，其焦点记为F，过点F作直线l交抛物线于A，B两点，则
的最小值为________.
13.如图，在四边形ABCD中，，点M，N分
别是边AD，BC的中点，延长BA和CD交MN的延长线
于不同的两点P，Q，则的值为______.
14.双曲线C：的渐近线方程为，设双曲线
经过点，且与C具有相同渐近线，则C的方程为 .
15.设数列满足…的通项，数列
前n项和是 .
16.随机变量X的分布列如下：
X01
P a b c
其中a，b，c成等差数列，则，方差的最大值是 .
17.函数的
部分图象如图所示，则，为了得到
的图象，需将函数的图象最少向
左平移个单位．
18.已知锐角的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，
求角A的大小；
求的取值范围．
19.在三棱锥中，，
，
求证：；
若点P为AC上一点，且，求直线BP
与平面ACD所形成的角的正弦值．
20.已知函数
讨论的单调性；
若有两个零点，求a的取值范围．
21.已知椭圆C的方程为，在椭圆上，离心率，
左、右焦点分别为、
求椭圆C的方程；
直线与椭圆C交于A，B，连接，并延长交椭圆C于D，E，连接DE，求与k之间的函数关系式．
22.我们称满足：的数列为“k级梦数列”．
若是“1级梦数列”且求：和的值；
若是“1级梦数列”且满足，…，求的最小值；
若是“0级梦数列”且，设数列的前n项和为证明：
答案和解析
【答案】
1. C
2. C
3. B
4. C
5. C
6. D
7. D
8. A9. B10. C
11.
12.
13. 0
14.
15.
16.
17.
18. 解：由及正弦定理得：，所以，
所以，，
所以，由，可得：
，，
所以，
所以
，
因为为锐角三角形，
所以，
解得B的范围为，
则，
的取值范围是
19. 证明：取BD中点E，连接AE，CE，
，又E为BD中点，
，
同理可得：，
又，平面ACE，
又平面ACE，
解：，，
为直角三角形，且，，
，，即，
又，所以平面BCD，
以E为坐标原点，EC为x轴，ED为y轴，EA为z轴建立如图直角坐标系．
，，，，
设，，，，
，
，即，
，，，，设是平面ACD的法向量，
，令，得，，
，
由，可知，
，的最大值为，即时，的值为
20. 解：的定义域为，，
①若，则，所以在上是单调递减．
②若，则由得，
当时，；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增．若，至多有一个零点，不符合题意；
若，当时，取得最小值
①当时，，只有一个零点；
②当时，，没有零点；
③当时，又，故在
有一个零点．
设整数N满足，则
，故在有一个零点．
综上，a的取值范围是
21. 解：由在椭圆上，可得，，
又，可得，，，
所以椭圆C的方程为
设，则，直线，
代入，得，
因为，代入化简得，
设，，则，所以，，直线，同理可得，，
所以
，
22. 解：是“1级梦数列”，所以，
，，，
则，；
由易得：，
…，
解得，，
，
当且仅当时取等号，
故的最小值为
根据，可得①
又由得
故，
所以②
由①②得：
【解析】
1. 【分析】
本题考查集合的并、补运算．利用数轴求解直观、形象．
先求A的补集，再利用数轴求交集即可．
【解答】
解：
，
故选
2. 【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．
【解答】
解：，
的共轭复数为
故选
3. 【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的定义是解决本题的关键.根据线面垂直的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【解答】
解：当a，b不是相交直线时，若，，则不一定成立，
若，则，成立，
则“，”是“”的必要不充分条件，
故选
4. 【分析】
本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原几何体，是中档题.
由三视图还原几何体，可知该几何体为组合体，左半部分为四分之一圆柱，右半部分为二分之一圆锥，且圆柱与圆锥的底面半径均为2，高为然后由圆柱及圆锥的体积公式求解.
【解答】
解：由三视图还原原几何体，如图所示：
该几何体为组合体，左半部分为四分之一圆柱，右半部分为二分之一圆锥，
且圆柱与圆锥的底面半径均为2，高为2，
则该几何体的体积是
故选
5. 解：记，
，
则令，可得……，则…，
故选：
二项式即，求得的值，可得…的值．
本题主要考查二项式定理的应用，注意分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，属于基础题．
6. 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
作出函数的图象如图：则函数的图象
关于对称，
沿着对称轴平移图象，
由图象可知当图象经过点B时函数m取得最小值，
当图象经过点D时，m取得最大值，
由，解得，即
此时，
即，
由，解得，即，
此时，即，
则实数m的取值范围，
故选：
结合二元一次不等式组与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用函数的图象特征，结合区域的角上的点即可解决问题．
本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键．
7. 【分析】
本题考查计数原理的应用，属于中档题．
根据题意，分2种情况讨论：①，甲单独一个人旅游，②，甲和乙、丙、丁中1人一起旅游，分别求出每一种情况的方案的数目，由加法原理计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，分2种情况讨论：
①，甲单独一个人旅游，在B、C景点中任选1个，有2种选法；
再将其他3人分成2组，对应剩下的2个景点，有种情况，
则此时有种方案；
②，甲和乙、丙、丁中1人一起旅游，
先在乙、丙、丁中任选1人，与甲一起在B、C景点中任选1个，有种情况，将剩下的2人全排列，对应剩下的2个景点，有种情况，
则此时有种方案；
则甲不到A景点的方案有种；
故选
8. 解：作出椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，又，
即，故平行四边形为矩形，
，
设，，
则在直角三角形ABF中，，，
①
得，②
①②得，令，得，
又由，得，
，即，
即，得，
即，
即，
则，
即，得
得
则椭圆的离心率的取值范围是，
故选：
根据条件判断四边形为矩形，结合椭圆的定义结合椭圆离心率方程进行转化求解即可．
本题主要考查椭圆的离心率的计算，结合椭圆的定义进行转化是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．
9. 解：设，可得
，
分别作出和的图象，
可得它们有两个交点，
即方程有两根，
一根为，另一个根为，
由，可得；
由，可得x有3个解，
综上可得方程的实根个数为
故选：
设，可得，分别作出和的图象，可得它们有两个交点，再结合的图象，即可得到实根的个数．
本题考查函数方程的转化思想，注意运用换元法和数形结合思想方法，考查运算能力，属于中档题．
10. 【分析】
不妨设N在B处，，，则有
，，
由，
，可得直角三角形斜边
本题考查了空间线面位置关系，考查了转化思
想，属于中档题．
【解答】
解：如图，不妨设N在B处，，，
则有，，
由，
该直角三角形斜边
故选：
11. 解：，，故原式变形为，即，
，即，当且仅当，即时取等号；
解得，
故答案为
根据指数式的运算性质结合基本不等式可把条件转化为关于s的不等关系式，进而可求出s的取值范围．
利用基本不等式，构造关于某个变量的不等式，解此不等式便可求出该变量的取值范围，再验证等号是否成立，便可确定该变量的最值，这是解决最值问题或范围问题的常用方法，应熟练掌握．
12. 【分析】
由题意设直线AB的方程以及A、B点的坐标，
由直线与抛物线方程联立消去y整理得关于x的二次方程，
利用根与系数的关系求出的解析式，求出最小值即可．
本题考查了直线与抛物线的定义与性质的应用问题，是中档题．
【解答】
解：由题意知，抛物线的焦点坐标为，
当斜率k存在时，显然；
设直线AB的方程为，、，
由，消去y整理得：；
则，，
；
根据抛物线性质知，，，
，其中；设，，
，
当且仅当时取“=”；
的最小值为；
即的最小值为
故答案为：
13. 解：设，，，则
，
，，，
，，
，
，，
，
，
又，
，
故答案为：
建立坐标系，设，，，求出和的坐标，即可得出结论．
本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系可使运算较简单．
14. 【分析】
本题考查双曲线的简单性质以及双曲线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，属于基础题.
直接求出双曲线的渐近线方程，得到第一问；利用双曲线的渐近线方程以及双曲线经过的点，求出即可得到双曲线方程.
【解答】
解：双曲线C：的渐近线方程为：，
由双曲线经过点，且与C具有相同渐近线，
可得：，并且，解得，，
所求双曲线方程为：，
故答案为；
15. 【分析】
本题考查了数列递推关系、通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
数列满足…时，…
相减可得：解得时，求得代入可得利用裂项求和方法即可得出．
【解答】
解：数列满足…
时，…
相减可得：
解得，
时，，对于上式也成立．
综上可得：，
数列前n项和……
故答案为：；
16. 【分析】
本题考查了随机变量的分布列与数学期望及其性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由题意可得：，又，联立解得可得
利用数学期望计算公式可得，令，可得
，利用二次函数的单调性即可得出．
【解答】
解：由题意可得：，又，
联立解得
，
令，
，当且仅当时取等号．
因此的最大值为
故答案为，
17. 解：由函数的部分图象，
可得，
，
，，，
将代入得，
，
，
，
可将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，
故答案为：，
由函数的最值求出A，由周期求出，由特殊点求出的值，可得函数的解析式，再利用的图象变换规律，得出结论．
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出，由特殊点求出的值，的图象变换规律，属于基础题．18. 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．由正弦定理化简已知等式可得，利用余弦定理可求，结合范围，可得A的值．
由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，由于B的范围为，可求，根据正弦函数的图象和性质可求的取值范围是即可得解．
19. 取BD中点E，连接AE，CE，证明，，推出平面ACE，即可证明
以E为坐标原点，EC为x轴，ED为y轴，EA为z轴建立如图直角坐标系．求出相
关点的坐标，求出，平面ACD的法向量，利用空间向量的数量积列出不等式转化求解即可．
本题考查直线与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
20. 求出的导数表达式容易发现，当时，导数恒小于零，依此对函数的单调性根据a的值进行分类讨论．
由中的分类讨论结果易知该函数有一个最小值，利用最小值与0的关系，根据函数零点的判定定理可以求出a的取值范围．
本题主要考察了导数与单调性的关系，以及函数零点问题，分类讨论是本体的解题关键．21. 由已知可得，，又，可得a，b即可，
设，则，设，，可得，
，，，
可得
，
本题考查椭圆的简单性质，椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．
22. 本题主要考查数列的递推关系，属于中档题．
根据是“1级梦数列”，所以，代值计算即可；
由条件可得：，利用裂项求和可得，再根据基本不等式即可求出最小值；
根据，可得①，又②，由①②即可证明。