12第十二讲-Chirp-Z

（a） 沿单位圆采样; (b) 沿AB弧采样 第2页，共16页。
第3章 快速傅里叶变换
3.6.1 算法基本原理 已知x(n)（0≤n≤N-1）是有限长序列，其Z变换为
N 1
X (z) x(n)zn
n0
为适应z可以沿Z平面更一般的路径取值，故沿Z平面上的一段螺线作 等分角的采样，z的这些采样点zk为
（4） 计算Q(r)=G(r)H(r), 需要L次复乘。
（5）计算X(zk)=
W
k2
2 q(k)
（0≤k≤M-1），需要M次复乘。
综上所述，CZT总的复数乘法次数为
mc=L lbL+N+M+L
前面说过，直接计算X(zk)需要NM次复数乘法。可以看出，当N, M都较 大时（例如N, M都大于50时），CZT的FFT算法比直接算法的运算量要小
L r0
式中，前M个值等于h(n)和g(n)的线性卷积结果［h(n)*g(n)］; n≥M的值
没有意义，不必去求。
（6） 最后求X(zk)：
k2
X (zk ) W 2 q(k) 0 k M 1
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第3章 快速傅里叶变换
3.6.3 运算量的估计 CZT的算法求X(zk)比直接求X(zk)的算法有效得多。CZT所需
可得
X
(zk
)
N 1
x(n) AnW
n2
2W
(k n)2
2W
k2 2
W
k2 2
N 1
[x(n) AnW
n2 2
]W
(k n)2 2
n0
n0
n2
定义: g(n) x(n) AnW 2
n2
h(n) W 2
g(n)取0, 1, …, N-1
h(n)取-(N-1), …, M-1
则:
g(k)
h(k )
DFT。
N 1
X (zk ) x(n)zkn
n0
N 1
x(n) AnW nk
n0
直接计算需要NM次复数乘法 0≤k≤M-1
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第3章 快速傅里叶变换
nk用表达式来替换 nk 1 [n2 k 2 (k n)2 ] 2
n=0, 1, …, N-1
k=0, 1, …, M-1
z1
A W e 1 j(0 0 ) 00
zk
A W e k j(0 k0 ) 00
z A W e M 1
( M 1) j(0 ( M 1)0 ] 00
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第3章 快速傅里叶变换
（1）A0表示起始采样0≤1; 否则z0将处于单位圆
0 (M－I) 0
n2
W2
是 偶 对 称 序 列 。 如 果 设 N>M ， 则 只
需要求得0≤n≤M-1一段N点序列值即可; h(n)也可事先准备好，不
必实时分析时计算，因此，可不用考虑其计算量。 同时，h(n)的
L点FFT即H(r)也可预先计算好。
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第3章 快速傅里叶变换
（3）计算G(r)，需要二次L点FFT（或IFFT），共需要L lbL次 复乘。
M－ 1
n
h(n) ＝W － [((n))L ]2 / 2
任意值
o
M－ 1 L－N＋ 1
L－ 1
n
n2
g(n) ＝ x(n) A －nW 2
(c)
o
N－ 1
L－ 1
n
h(n) L g(n)
n＝M以 后 的 序 列 没 有 画 出
(d)
…
o
M－ 1
n
图 3-20 Chirp-Z变换的圆周卷积图
（M≤n≤L-1时， h(n)和g(n)的圆周卷积不代表线性卷积）
对该系统的前M点输出再做一次加权，这样就得到了全部M点螺
线采样值X(zn)(n=0, 1, …, M-1)。
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第3章 快速傅里叶变换
由于系统的单位脉冲响应h(n)
W
n2 2
可 以 想 象 为 频 率 随 时 间 (n)
呈线性增长的复指数序列。在雷达系统中,这种信号称为线性调频
信号（Chirp Signal），因此，这里的变换称为线性调频Z变换。
x(n)
g(n)
h(n)
A－ nW n2 / 2
h(n) ＝W －n2 / 2
X(zn) 1 / h(n)
图 3-1９ Chirp-Z变换的线性系统表示
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第3章 快速傅里叶变换
3.6.2 Chirp-Z变换（CZT）的实现步骤
用圆周卷积代替线性卷积且不产生混叠失真条件是圆周卷积的点 数 应 大 于 或 等 于 2N+M-2 。 但 是 ， 由 于 我 们 只 需 要 前 M 个 值 X （ zk ） (k=0, 1, …, M-1)，对以后的其他值是否有混叠失真并不感兴趣，这样 可将圆周卷积的点数缩减到最小为N+M-1。当然，为了进行基-2 FFT 运算，圆周卷积的点数应取为L≥N+M-1，同时又满足L=2m的最小L。 这样可将h(n)先补零值点，补到点数等于L，也就是从n=M开始补L(N+M-1)个零值点，补到n=L-N处，或补L-(N+M-1)个任意序列值，然
n2
W2
的周期延拓序列
W
(
Ln 2
)2
， 即有:
n2 W 2
0≤n≤M-1
h(n) 0(或任意值)
0≤n≤M-1
(Ln)2 W 2
L-N+1≤n≤L-1
此h(n)
实际上是的序列
W
m2 2
以L为周期的周期延拓序列的主
值序列。
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第3章 快速傅里叶变换
用FFT法求h(n)的L点DFT
zk=AW-k k=0, 1, …, M-1
M为所要分析的复频率的点数，即采样点的总数，不一定等于N； A和 W都是任意复数，可表示为:
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第3章 快速傅里叶变换
A A0e j0 W W0e j0
zk
A0e
W j0 0
k
e
jk0
A W e k j(0 k0 ) 00
因此有：
z0 A0e j0
后将此序列以L为周期而进行周期延拓，再取主值序列，从而得到进 行圆周卷积的一个序列，如图3-20（b）所示。 进行圆周卷积的另一 个序列只需要将g(n)补上零值点，使之成为L点序列即可，如图3-20（c） 所示。
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第3章 快速傅里叶变换
－ n2
W2
(a) － N( － 1)
(b)
o
L1
j 2 rn
H (r) h(n)e L
n0
0≤r≤L-1
（4） 将H(r)和G(r)相乘，得Q(r)=H(r)G(r)，Q(r)为L点频域离散序
列。
（5）用FFT法求Q(r)的L点IDFT，得h(n)和g(n)的圆周卷积
h(n)
L
g(n) q(n)
1
L1
j 2 rn
H (r)G(r)e L
N 1
g(n)h(k
n)
N 1
[x(n) AnW
n2 2
]W
(k n)2 2
n0 k2
n0
点数为2N+M-2
X ( zk ) W 2 [g(k ) h(k )] 感兴趣的点数为N+M-1
n2
先进行一次加权 AnW 2 处理，然后通过一个单位脉冲响应为
n2
h(n) W 2
的线性系统即求g(n)与h(n)的线性卷积; 最后，
（4）W0的大小表示螺线的伸展率。W0>1 时，随着k的增加螺线内缩; W0<1 时，则随k的增加螺线外伸; W0=1 时，表示是半径为A0的一段圆
弧。 若又有A0=1, 则这段圆弧是单位圆的一部分。
当M=N，A=A0ejθ0=1，W=W0·e-jφ0=
（ Wj 20=1，φ0=2π/N）这一特
N
殊情况时，各zk就均匀等间隔地分布在单位圆上，这就是求序列的
0
并利用FFT法求此序列的L点DFT
N 1
j 2 rn
G(r) g(n)e L
n0
0≤n≤N-1 0≤n≤L-1 0≤r≤L-1
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第3章 快速傅里叶变换
（3）形成L点序列h(n)，在n=0
到M-1一段
W
n2 2
，
n=M到L-N
段取h(n)为任意值（一般为零），在L=N+M-1到L-1段取h(n)为
得多。
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|z|=1 的外部。
zM－ 1
－1
W0 A0
z0
0
A0
（2）θ0表示起始采样点z0的相角，它可 1.0
o
Re[z]
以是正值或负值。
（3）φ0表示两相邻采样点之间的角度 差。φ0为正时，表示zk的路径是逆时针
旋转的；φ0为负时，表示zk的路径是顺 时针旋转的。
图 3-18 螺线采样
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第3章 快速傅里叶变换
第10页，共16页。
第3章 快速傅里叶变换
这样， 我们可以列出CZT运算的实现步骤：
（1）选择一个最小的整数L，使其满足L≥N+M-1，同时满足
L=2m，以便采用基-2 FFT算法。
n2
（2）将 g(n) x(n) AnW 2 补上零值点， 变为L点序列，
因而有：
n2
g(n)
AnW
2
x(n)
第3章 快速傅里叶变换
第十二讲 Chirp-Z
3.6 线性调频Z变换（Chirp-Z变换）算法
第1页，共16页。
第3章 快速傅里叶变换
3.6 线性调频Z变换（Chirp-Z变换）算法
jIm[z]
jIm[z]
A
B
o
Re[z]
o
Re[z]
X(ej)
X(ej)
o
o AB
(a)
(b)
图 3-17 单位圆与非单位圆采样
的乘法如下：
n2
（1）形成L点序列 g(n) ( AnW 2 )x(n) ，但只有其中N点序列
n2
值，需要N次复乘，而系数 AnW 2 可事先准备好，不必在实时
分析时计算。
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第3章 快速傅里叶变换
（2）
形成L点序列h(n)。由于它是由W
n2
2在
-(N-1)≤n≤M-1
的
序列值构成的，而