【配套K12】高三数学上学期12月统练试卷 理(含解析)

2015-2016学年山东省潍坊市临朐县高三（上）12月统练数学试卷（理
科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x|lnx＜0}，则（∁U A）∩B=（）
A．∅B．{x|＜x≤1}C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}
2．下列命题中正确的个数是
①若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的充分而不必要条件；
②命题“对任x∈R，都x2≥0”的否定为“存x0∈R，使x02＜0”；
③若p∧q为假命题，则p与q均为假命题．（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
3．把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图
象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）
A．B．C．D．
4．由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）
A．B．C．D．
5．已知变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）
A．B．C．D．
6．若α∈（，π），则3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（）
A．B．﹣C．D．﹣
7．已知数{a n}满a1=0，a n+1=a n+2n，那a2016的值是（）
A．2014×2015B．2015×2016C．2014×2016D．2015×2015
8．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（）
A．B． C． D．
9．如图，设E，F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB=3，AC=6，则•=
（）
A．8 B．10 C．11 D．12
10．已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），且当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x），若2＜a＜4则（）
A．f（2a）＜f（3）＜f（log2a）B．f（3）＜f（log2a）＜f（2a）
C．f（log2a）＜f（3）＜f（2a）D．f（log2a）＜f（2a）＜f（3）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．已知与的夹角为120°，若（+）⊥（﹣），且||=2，则在方向上的正射影的数量为．
12．若存在x∈[2，3]，使不等式≥1成立，则实数a的最小值为．
13．已知向量=（x﹣1，2），=（4，y），若⊥，则9x+3y的最小值为．
14．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第10个图中有个点．
15．已知函数f（x）=ax3+ax2﹣3ax+1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围
为．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．已知=（2﹣sin（2x+），﹣2），=（1，sin2x），f（x）=•，（x∈[0，]）（1）求函数f（x）的值域；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若f（）=1，b=1，c=，求a 的值．
17．已知函数h（x）=x﹣（a+1）lnx﹣，求函数h（x）的单调递减区间．
18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且PA=PD=DA=2，∠BAD=60°
（I）求证：PB⊥AD；
（II）若PB=，求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．
19．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=8，S4=40．数列{b n}的前n项和为T n，且T n﹣2b n+3=0，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前n项和P n．
20．某旅游景点预计2013年1月份起前x个月的旅游人数的和p（x）（单位：万人）与x
的关系近似地满足p（x）=x（x+1）•（39﹣2x），（x∈N*，且x≤12）．已知第x月的人
均消费额q（x）（单位：元）与x的近似关系是q（x）=
（I）写出2013年第x月的旅游人数f（x）（单位：万人）与x的函数关系式；
（II）试问2013年第几月旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为多少元？
21．已知函数f（x）=lnx﹣ax2﹣x（a∈R）．
（1）当a=1时，求函数f（x）在（1，﹣2）处的切线方程；
（2）当a≤0时，分析函数f（x）在其定义域内的单调性；
（3）若函数y=g（x）的图象上存在一点P（x0，y0），使得以P为切点的切线m将图象分割为c1，c2两部分，且c1，c2分别完全位于切线m的两侧（除了P点外），则称点x0为函数
y=g（x）的“切割点“．问：函数f（x）是否存在满足上述条件的切割点．
2015-2016学年山东省潍坊市临朐县高三（上）12月统练数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x|lnx＜0}，则（∁U A）∩B=（）
A．∅B．{x|＜x≤1}C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}
【考点】补集及其运算；交集及其运算．
【专题】计算题．
【分析】本题求集合的交集，由题设条件知可先对两个集合进行化简，再进行交补的运算，集合A由求指数函数的值域进行化简，集合B通过求集合的定义域进行化简
【解答】解：由题意A={y|y=2x+1}={y|y＞1}，B={x|lnx＜0}={x|0＜x＜1}，
故C U A={y|y≤1}
∴（C U A）∩B={x|0＜x＜1}
故选D
【点评】本题考查补集的运算，解题的关键是理解掌握集合的交的运算与补的运算，运用指数函数与对数函数的知识对两个集合进行化简，本题是近几年高考中的常见题型，一般出现在选择题第一题的位置考查进行集合运算的能力
2．下列命题中正确的个数是
①若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的充分而不必要条件；
②命题“对任x∈R，都x2≥0”的否定为“存x0∈R，使x02＜0”；
③若p∧q为假命题，则p与q均为假命题．（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】转化思想；定义法；简易逻辑．
【分析】①根据充分条件和必要条件的定义结合逆否命题的等价性进行判断；
②根据含有量词的命题的否定进行判断”；
③根据复合命题真假的关系进行判断．
【解答】解：①若￢p是q的必要而不充分条件，则￢q是p的必要而不充分条件
则p是￢q的充分而不必要条件；故①正确，
②命题“对任x∈R，都x2≥0”的否定为“存x0∈R，使x02＜0”；故②正确，
③若p∧q为假命题，则p与q质数有一个为假命题，故③错误，
故正确的个数2个，
故选：C
【点评】本题主要考查命题的真假判断，比较基础．
3．把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图
象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）
A．B．C．D．
【考点】正弦函数的对称性．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】先对函数进行图象变换，再根据正弦函数对称轴的求法，即令
ωx+φ=即可得到答案．
【解答】解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得
到函数；
再将图象向右平移个单位，得函数，根据
对称轴处一定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程．
故选A．
【点评】本小题综合考查三角函数的图象变换和性质．图象变换是考生很容易搞错的问题，值得重视．一般地，y=Asin（ωx+φ）的图象有无数条对称轴，它在这些对称轴上一定取得最大值或最小值．
4．由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）
A．B．C．D．
【考点】定积分在求面积中的应用．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】要求曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求∫01（x2﹣x3）dx即可．
【解答】解：由题意得，两曲线的交点坐标是（1，1），（0，0）故积分区间是[0，1]
所求封闭图形的面积为∫01（x2﹣x3）dx═，
故选A．
【点评】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积．
5．已知变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）
A．B．C．D．
【考点】简单线性规划．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义求z的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：
的几何意义为区域内的点P到原点O的直线的斜率，
由图象可知当直线过B点时对应的斜率最小，当直线经过点A时的斜率最大，
由，解得，
即A（3，2），
此时OA的斜率k=，
即的最大值为．
故选：B．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，要熟练掌握目标函数的几何意义．
6．若α∈（，π），则3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（）
A．B．﹣C．D．﹣
【考点】三角函数的化简求值；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．
【专题】计算题；三角函数的图像与性质．
【分析】直接利用两角和与差的三角函数以及二倍角的余弦函数化简函数的表达式，利用平方关系式求出结果即可．
【解答】解：3cos2α=sin（﹣α），
可得3cos2α=（cosα﹣sinα），
3（cos2α﹣sin2α）=（cosα﹣sinα），
∵α∈（，π），∴sinα﹣cosα≠0，
上式化为：sinα+cosα=，
两边平方可得1+sin2α=．
∴sin2α=．
故选：D．
【点评】本题主要考查二倍角的余弦函数，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．
7．已知数{a n}满a1=0，a n+1=a n+2n，那a2016的值是（）
A．2014×2015B．2015×2016C．2014×2016D．2015×2015
【考点】数列递推式．
【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．
【分析】通过a n+1=a n+2n可知a n﹣a n﹣1=2（n﹣1），a n﹣1﹣a n﹣2=2（n﹣2），a n﹣2﹣a n﹣3=2（n﹣3），…，a2﹣a1=2，累加计算，进而可得结论．
【解答】解：∵a n+1=a n+2n，
∴a n+1﹣a n=2n，
∴a n﹣a n﹣1=2（n﹣1），
a n﹣1﹣a n﹣2=2（n﹣2），
a n﹣2﹣a n﹣3=2（n﹣3），
…
a2﹣a1=2，
累加得：a n﹣a1=2[1+2+3+…+（n﹣1）]=2•=n（n﹣1），
又∵a1=0，
∴a n=n（n﹣1），
∴a2016=2016（2016﹣1）=2015×2016，
故选：B．
【点评】本题考查数列的通项，利用累加法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
8．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（）
A．B． C． D．
【考点】正弦定理．
【专题】计算题；解三角形．
【分析】在锐角△ABC中，利用sinA=，S△ABC=，可求得bc，在利用a=2，由余弦定理可求得b+c，解方程组可求得b的值．
【解答】解：∵在锐角△ABC中，sinA=，S△ABC=，
∴bcsinA=bc=，
∴bc=3，①
又a=2，A是锐角，
∴cosA==，
∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，
即（b+c）2=a2+2bc（1+cosA）=4+6（1+）=12，
∴b+c=2②
由①②得：，
解得b=c=．
故选A．
【点评】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，考查方程思想与运算能力，属于中档题．
9．如图，设E，F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB=3，AC=6，则•=
（）
A．8 B．10 C．11 D．12
【考点】向量在几何中的应用．
【专题】数形结合；数形结合法；平面向量及应用．
【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示出，，代入向量的数量积公式计算．【解答】解：以BC为x轴，以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图
∵AB=3，AC=6，∠BAC=90°，BC=3，
∵=，sinC=cosB
∴sinB=2cosB，
∵sin2B+cos2B=1
∴sinB=，cosB=
∴A（，），E（，0），F（2，0）．
∴=（，﹣），
=（，﹣），
∴•=•+（﹣）2=10．
故选B．
【点评】本题考查了平面向量在几何中的应用，建立合适坐标系是解题的关键，属于基础题．
10．已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），且当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x），若2＜a＜4则（）
A．f（2a）＜f（3）＜f（log2a）B．f（3）＜f（log2a）＜f（2a）
C．f（log2a）＜f（3）＜f（2a）D．f（log2a）＜f（2a）＜f（3）
【考点】抽象函数及其应用；导数的运算．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】由f（x）=f（4﹣x），可知函数f（x）关于直线x=2对称，由xf′（x）＞2f′（x），可知f（x）在（﹣∞，2）与（2，+∞）上的单调性，从而可得答案．
【解答】解：∵函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），
∴f（x）关于直线x=2对称；
又当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x）⇔f′（x）（x﹣2）＞0，
∴当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上的单调递增；
同理可得，当x＜2时，f（x）在（﹣∞，2）单调递减；
∵2＜a＜4，
∴1＜log2a＜2，
∴2＜4﹣log2a＜3，又4＜2a＜16，f（log2a）=f（4﹣log2a），f（x）在（2，+∞）上的单调递增；
∴f（log2a）＜f（3）＜f（2a）．
故选C．
【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查导数的性质，判断f（x）在（﹣∞，2）与（2，+∞）上的单调性是关键，属于中档题．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．已知与的夹角为120°，若（+）⊥（﹣），且||=2，则在方向上的正射影的数量为﹣1 ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用．
【分析】由题意利用两个向量垂直的性质求得||=2，再利用一个向量在另一个向量上的射
影的定义求得在方向上的正射影的数量．
【解答】解：∵（ +）⊥（﹣），∴（+）•（﹣）=0，即=．
再根据||=2，∴ ==4，||=2．
∵已知与的夹角为120°，∴在方向上的正射影的数量为||•cos120°=﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，一个向量在另一个向量上的射影的定义，属于基础题．
12．若存在x∈[2，3]，使不等式≥1成立，则实数a的最小值为．
【考点】其他不等式的解法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由已知得a≥2x﹣，令y=2x﹣，由导数性质得到y=2x﹣，在[2，3]上是增函数，由此能求出实数a的最小值．
【解答】解：∵存在x∈[2，3]，使不等式≥1成立，
∴1+ax≥x•2x，即a≥2x﹣，
令y=2x﹣，则y′=2x ln2+＞0，
∴y=2x﹣，在[2，3]上是增函数，
∴当x=2时，y取得最小值，y min=22﹣=，
∴a≥，即实数a的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查实数的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．
13．已知向量=（x﹣1，2），=（4，y），若⊥，则9x+3y的最小值为 6 ．
【考点】基本不等式；平面向量数量积的运算．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】由向量知识易得2x+y=2，进而可得9x+3y=32x+3y≥2=2=6，验证等号成立的条件即可．
【解答】解：∵向量=（x﹣1，2），=（4，y），且⊥，
∴=4（x﹣1）+2y=0，整理可得2x+y=2，
∴9x+3y=32x+3y≥2=2=6
当且仅当32x=3y即x=且y=1时取等号，
故答案为：6．
【点评】本题考查基本不等式，涉及向量的数量积的运算，属基础题．
14．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第10个图中有91 个点．
【考点】归纳推理．
【专题】计算题；方程思想；综合法；推理和证明．
【分析】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．【解答】解：通过观察得：
图1有：1×1﹣0=1个点，
图2有：2×2﹣1=3个点， 图3有：3×3﹣2=7个点， 图4有：4×4﹣3=13个点， 图5有：5×5﹣4=21个点， …，
所以第10图中的点数为：10×10﹣19=91． 故答案为：91
【点评】此题考查的知识点是图形数字变化类问题，解题的关键是通过观察图形分析总结出规律，再按规律求解．
15．已知函数f （x ）=ax 3
+ax 2
﹣3ax+1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围为 （﹣
∞，﹣）∪（，+∞） ．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
【专题】计算题；数形结合；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用．
【分析】求导，得f′（x ）=ax 2
+2ax ﹣3a=a （x+3）（x ﹣1），要使函数f （x ）的图象经过四个象限，则f （﹣3）f （1）＜0，再进一步计算即可．
【解答】解：∵f（x ）=ax 3+ax 2﹣3ax+1， ∴f′（x ）=ax 2
+2ax ﹣3a=a （x ﹣1）（x+3）， 令f′（x ）=0，
解的x=1或x=﹣3，是函数的极值点，当a ＞0时，f （﹣3）是极大值，f （1）是极小值，f （﹣3）f （1）＜0，当a ＜0时，f （﹣3）是极小值，f （1）是极大值，f （﹣3）f （1）＜0， 所以，要使函数f （x ）的图象经过四个象限，则f （﹣3）f （1）＜0，
∵f（﹣3）=a （﹣3）3+a （﹣3）2﹣3a （﹣3）+1=9a+1，
f （1）=a+a ﹣3a+1=1﹣a ，
∴（9a+1）（1﹣a ）＜0，
即（a+）（a ﹣）＞0，
解的a＜﹣，或a＞
故答案为：（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．
【点评】本题考查函数与导数的应用，利用导数判断函数的单调性，函数零点的应用，函数值的变化从而确定其性质．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．已知=（2﹣sin（2x+），﹣2），=（1，sin2x），f（x）=•，（x∈[0，]）（1）求函数f（x）的值域；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若f（）=1，b=1，c=，求a 的值．
【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数．
【专题】解三角形；平面向量及应用．
【分析】（1）利用平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用化简可得解析式f（x）
=cos（2x+）+1，由余弦函数的有界性即可求值域．
（2）由f（）=1，得cos（B+）=0，又结合范围0＜B＜π，即可解得B的值，由正弦定理可求sinC，解得C，解得A，即可解得a的值．
【解答】（本小题满分12分）
解：（1）f（x）=•=2﹣sin（2x+）﹣2sin2x=2﹣（sin2xcos+cos2xsin）﹣（1
﹣cos2x）=cos2x﹣sin2x+1=cos（2x+）+1．…
∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴﹣1≤cos（2x+）≤，从而有0≤f（x）≤，
所以函数f（x）的值域为[0，]．…
（2）由f（）=1，得cos（B+）=0，又因为0＜B＜π，所以＜B+，
从而B+=，即B=．…
因为b=1，c=，所以由正弦定理得sinC==，
故C=或，
当C=时，A=，从而a==2，
当C=时，A=，又B=，从而a=b=1
综上a的值为1或2．…
（用余弦定理类似给分）．
【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用，考查了余弦函数的图象和性质，正弦定理，勾股定理的应用，属于基本知识的考查．
17．已知函数h（x）=x﹣（a+1）lnx﹣，求函数h（x）的单调递减区间．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【专题】计算题；分类讨论；转化思想；综合法；导数的综合应用．
【分析】求出函数的导数，通过导函数的符号，求解不等式，求出函数的单调减区间即可．
【解答】解：函数h（x）=x﹣（a+1）lnx﹣，h′（x）=1﹣+=（x﹣a）（x﹣1）x2，
①当a≤0时，由h′（x）＜0可得，0＜x＜1．函数h（x）的单调减区间为（0，1）；
②当0＜a＜1时，由h′（x）＜0可得，a＜x＜1．函数h（x）的单调减区间为（a，1）；
③当a=1时，由h′（x）≥0，可得函数h（x）的无单调减区间；
④当a＞1时，由h′（x）＜0可得，1＜x＜a．函数h（x）的单调减区间为（1，a）；【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性与导函数的关系，考查计算能力．
18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且PA=PD=DA=2，∠BAD=60°
（I）求证：PB⊥AD；
（II）若PB=，求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．
【专题】空间位置关系与距离；空间角．
【分析】（Ⅰ）证明：取AD的中点E，连接PE，BE，BD．证明AD⊥平面PBE，然后证明PB⊥AD；（Ⅱ）以点E为坐标原点，分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间
直角坐标系，求出平面APD的一个法向量为=（0，1，0），平面PDC的一个法向量为，利用向量的数量积求解二面角A﹣PD﹣C的余弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：取AD的中点E，连接PE，BE，BD．
∵PA=PD=DA，四边形ABCD为菱形，且∠BAD=60°，
∴△PAD和△ABD为两个全等的等边三角形，
则PE⊥AD，BE⊥AD，∴AD⊥平面PBE，…
又PB⊂平面PBE，∴PB⊥AD；…
（Ⅱ）解：在△PBE中，由已知得，PE=BE=，PB=，则PB2=PE2+BE2，
∴∠PEB=90°，即PE⊥BE，又PE⊥AD，∴PE⊥平面ABCD；
以点E为坐标原点，分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则E（0，0，0），C（﹣2，，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，），
则=（1，0，），=（﹣1，，0），
由题意可设平面APD的一个法向量为=（0，1，0）；…
设平面PDC的一个法向量为=（x，y，z），
由得：，
令y=1，则x=，z=﹣1，∴ =（，1，﹣1）；
则•=1，∴cos＜＞===，…
由题意知二面角A﹣PD﹣C的平面角为钝角，
所以，二面角A﹣PD﹣C的余弦值为﹣…
【点评】本题考查直线与平面垂直，二面角的平面角的求法，考查逻辑推理以及计算能力．
19．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=8，S4=40．数列{b n}的前n项和为T n，且T n﹣2b n+3=0，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前n项和P n．
【考点】数列的求和；等差数列的性质．
【专题】计算题；等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）运用等差数列的通项公式与求和公式，根据条件列方程，求出首项和公差，得到通项a n，运用n=1时，b1=T1，n＞1时，b n=T n﹣T n﹣1，求出b n；
（Ⅱ）写出c n，然后运用分组求和，一组为等差数列，一组为等比数列，分别应用求和公式化简即可．
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，
由题意，得，
解得，
∴a n=4n，
∵T n﹣2b n+3=0，∴当n=1时，b1=3，当n≥2时，T n﹣1﹣2b n﹣1+3=0，
两式相减，得b n=2b n﹣1，（n≥2）
则数列{b n}为等比数列，
∴；
（Ⅱ）．
当n为偶数时，P n=（a1+a3+…+a n﹣1）+（b2+b4+…+b n）
=．
当n为奇数时，
（法一）n﹣1为偶数，P n=P n﹣1+c n=2（n﹣1）+1+（n﹣1）2﹣2+4n=2n+n2+2n﹣1，
（法二）P n=（a1+a3+…+a n﹣2+a n）+（b2+b4+…+b n﹣1）
=．
∴．
【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的通项与求和公式的运用，考查方程的思想在数列中的运用，同时考查数列的通项与前n项和的关系式，考查数列的求和方法：分组求和，是一道综合题．
20．某旅游景点预计2013年1月份起前x个月的旅游人数的和p（x）（单位：万人）与x
的关系近似地满足p（x）=x（x+1）•（39﹣2x），（x∈N*，且x≤12）．已知第x月的人
均消费额q（x）（单位：元）与x的近似关系是q（x）=
（I）写出2013年第x月的旅游人数f（x）（单位：万人）与x的函数关系式；
（II）试问2013年第几月旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为多少元？
【考点】函数模型的选择与应用．
【专题】应用题；函数的性质及应用．
【分析】（Ⅰ）根据所给的前x个月旅游人数的和，可以得到第x个月的旅游人数，注意验证第一个月的旅游人数符合表示式．
（Ⅱ）根据所给的表示式，写出第x月旅游消费总额，是一个分段函数，求出分段函数的最大值，把两个最大值进行比较，得到最大月旅游消费总额．
【解答】解：（Ⅰ）当x=1时，f（1）=p（1）=37，
当2≤x≤12，且x∈N*时，
f（x）=P（x）﹣P（x﹣1）=x（x+1）（39﹣2x）﹣（x﹣1）x（41﹣2x）=﹣3x2+40x．…验证x=1符合f（x））=﹣3x2+40x（x∈N*，且1≤x≤12））…
（Ⅱ）第x月旅游消费总额为g（x）=（x∈N*）
即g（x）=（x∈N*）…
当1≤x≤6，且x∈N*时，g′（x）=18x2﹣370x+1400，令g′（x）=0，解得x=5，x=（舍去）．
∴当1≤x＜5时，g′（x）＞0，当5＜x≤6时，g′（x）＜0，
∴当x=5时，g（x）max=g（5）=3125（万元）．…
当7≤x≤12，且x∈N*时，g（x）=﹣480x+6400是减函数，∴当x=7时，g（x）max=g（7）=3040（万元），
综上，2013年第5月份的旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为3125万元．…
【点评】本题考查函数模型的选择和导数的应用，本题解题的关键是写出分段函数，要分别求出两段函数的最大值，进行比较．
21．已知函数f（x）=lnx﹣ax2﹣x（a∈R）．
（1）当a=1时，求函数f（x）在（1，﹣2）处的切线方程；
（2）当a≤0时，分析函数f（x）在其定义域内的单调性；
（3）若函数y=g（x）的图象上存在一点P（x0，y0），使得以P为切点的切线m将图象分割为c1，c2两部分，且c1，c2分别完全位于切线m的两侧（除了P点外），则称点x0为函数y=g（x）的“切割点“．问：函数f（x）是否存在满足上述条件的切割点．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
【专题】新定义；分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用．
【分析】（1）求出a=1的函数，求出导数，求出切线的斜率，由点斜式方程即可得到切线方程；
（2）求出导数，对a讨论，a=0，a＜0，运用判别式结合二次方程的求根公式，解不等式即可得到单调区间，注意定义域；
（3）求出导数，对a讨论，a=0，a＞0，由导数得到单调区间，进而得到最大值，即可说明不存在切割点；a＜0，由（2）可得单调区间，说明f（x）无最值，则存在切割点．
【解答】解：（1）当a=1时，函数f（x）=lnx﹣x2﹣x
的导数为f′（x）=﹣2x﹣1，
则函数f（x）在（1，﹣2）处的切线斜率为1﹣2﹣1=﹣2，
即有函数f（x）在（1，﹣2）处的切线方程为y+2=﹣2（x﹣1），
即为2x+y=0；
（2）函数f（x）=lnx﹣ax2﹣x的导数为f′（x）=﹣2ax﹣1=，（x＞0），
当a=0时，f′（x）=，当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减；
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增．
当a＜0时，令h（x）=﹣2ax2﹣x+1，
当△≤0，即1+8a≤0，a≤﹣时，h（x）≥0恒成立，即有f（x）递增；
当△＞0，即1+8a＞0，a＞﹣时，由h（x）=0可得x=＞0，
当x＞或0＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减．
综上可得，当a=0时，f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）；
当a≤﹣时，f（x）的增区间为（0，+∞）；
当﹣＜a＜0时，f（x）的增区间为（0，），（，+∞），
减区间为（，）．
（3）函数f（x）=lnx﹣ax2﹣x的导数为f′（x）=﹣2ax﹣1=，（x＞0），当a=0时，f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞），f（1）为最大值，且为﹣1＜0，
即f（x）＜0恒成立．则不存在切割点；
当a＞0时，f′（x）=0解得x=（负的舍去），
当0＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）递增，
当x＞时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有f（）取得最大，且为负值，则不存在切割点；
当a＜0时，由（2）得当a≤﹣时，f（x）在x＞0时递增，无最值，则存在切割点；
当﹣＜a＜0时，由于f（x）的增区间为（0，），（，+∞），
减区间为（，），无最值，则存在切割点．
综上可得，当a≥0时，不存在切割点；当a＜0时，存在切割点．
【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和判断单调性和极值、最值，同时考查新定义的理解和运用，运用分类讨论的思想方法和单调性的运用是解题的关键．。