2019届宿迁三模数学参考答案

结束
Y
输出y N （第3题）
开始 输入x y ←3- x
x ≤1
y ←3+x
宿迁市2019届高三第三次调研测试 数学学科参考答案及评分建议
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1． 已知集合{1023}U =-，，，，{03}A =，，则U A =ð ▲ ．
【答案】{12}-，
2． 已知复数i 13i a z +=+（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ．
【答案】3-
3． 右图是一个算法流程图．若输出y 的值为4，则输入x 的值
为 ▲ ． 【答案】1-
4． 已知一组数据6，6，9，x ，y 的平均数是8，且90xy =，
则该组数据的方差为 ▲ ． 【答案】145
5． 一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球．从中1次随机 摸出2只球，则2只球都是白球的概率为 ▲ ． 【答案】12
6． 已知函数2220()20x x x f x x x x ⎧-=⎨--<⎩
，≥，
，， 则不等式()()f x f x >-的解集为 ▲ ．
【答案】(20)(2)-+∞U ，，
7． 已知{}n a 是等比数列，前n 项和为n S ．若324a a -=，416a =，则3S 的值为 ▲ ．
【答案】14
8． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221y x a b
-=（00a b >>，）的右准线与两条渐近线分别
交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为4ab ，则该双曲线的离心率为 ▲ ． 【答案】2
9． 已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB =3 cm ，BC =1 cm ，CD =2 cm ．将此直角梯形
绕AB 边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体的体积为 ▲ cm 3． 【答案】73
π
10．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线sin 2y x =与1tan 8
y x =在()
2ππ，上交点的横坐标为α， 则sin 2α的值为 ▲ ．
【答案】15
11．如图，正六边形ABCDEF 中，若AD AC AE λμ=+u u u r u u u r u u u r
（λμ∈，R ），则λμ+的值为 ▲ ．
【答案】43
A
B
D
E
（第11题）
B
C 6
2
3.5
（第12题）
θ
12．如图，有一壁画，最高点A 处离地面6 m ，最低点B 处离地面3.5 m ．若从离地高2 m 的 C 处观赏它，则离墙 ▲ m 时，视角θ最大．
613．已知函数2()23f x x x a =-+，2()1
g x x =-．若对任意[]103x ∈，
，总存在[]223x ∈，，使得 12()()f x g x ≤成立，则实数a 的值为 ▲ ．
【答案】13
-
14．在平面四边形ABCD 中，90BAD ∠=︒， 2AB =，1AD =．若43
AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，
则12
CB CD +的最小值为 ▲ ．
26 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）
在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，(sin sin )()(sin sin )a A B c b B C -=-+．
（1）求角C 的值；
（2）若4a b =，求sin B 的值．
【解】（1）在△ABC 中， 因为(sin sin )()(sin sin )a A B c b B C -=-+，
由正弦定理sin sin sin a b c A B C
==，
所以()()()a a b b c c b -=+-． …… 3分
即222a b c ab +-=，
由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得1cos 2
C =． …… 5分
又因为0πC <<，所以π3
C =． …… 7分
（2）方法一：因为4a b =及222a b c ab +-=，
得2222216413c b b b b =+-=，即13c b ， …… 10分
由正弦定理
sin sin c b C B =13sin 3
b b B =， 所以39sin B ． …… 14分
方法二：由正弦定理sin sin =a b A B ，得sin 4sin =A B ．
由++=πA B C ，得sin()4sin +=B C B ，
因为3
π=C ，所以31sin 4sin 2+=B B B
，
即7sin 3=B B ． …… 11分 又因为22sin cos 1+=B B ，解得，23sin 52=B ，
因为在△ABC 中，sin 0>B ，
所以39sin B . …… 14分
A B
D
P
E
F
（第16题）
备注：1. 第（1）小题中“正弦定理
sin sin sin a b c A B C
==”必须交代，其中“正弦定理”与“sin sin sin a b c A B C
==”交代之一即可，若都不写则扣一分； 第（1）小题中“余弦定理2222cos c a b ab C =+-”必须交代，其中“余弦定理”与
“2222cos c a b ab C =+-”交代之一即可，若都不写则扣一分；
2. 第（2）小题的法二中由7sin 3=B B 得出39sin =B 若无过程则扣三分。

16．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，平面BPC ⊥平面DPC ，
BP BC =，E ，F 分别是PC ，AD 的中点． 求证：（1）BE ⊥CD ； （2）EF ∥平面P AB ．
【证】（1）在△PBC 中，因为BP BC =，E 是PC 的中点， 所以BE ⊥PC ． …… 2分 又因为平面BPC ⊥平面DPC ，
平面BPC I 平面DPC PC =，BE ⊂平面BPC ， 所以BE ⊥平面PCD ． …… 5分 又因为CD ⊂平面DPC ，
所以BE ⊥CD ． …… 7分 （2）取PB 的中点H ，连结EH ，AH ． 在△PBC 中，又因为E 是PC 的中点， 所以HE ∥BC ，12HE BC =．…… 9分
又底面ABCD 是平行四边形，F 是AD 的中点， 所以AF ∥BC ，12AF BC =．
所以HE ∥AF ，HE AF =， 所以四边形AFEH 是平行四边形，
所以EF ∥HA ． …… 12分 又因为EF ⊄平面P AB ，HA ⊂平面P AB ，
所以EF ∥平面P AB ． …… 14分 备注：1. 证明过程中每一逻辑段若缺少条件，则该逻辑段不给分； 2. 第（2）小题证明方法比较多，其他方法酌情给分。

17．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221y x C a b
+=：（0a b >>）的上顶点为(03A ，，
圆2
224
a O x y +=：
经过点()01M ，． （1）求椭圆C 的方程；
（2）过点M 作直线1l 交椭圆C 于P ，Q 两点，过点M 作直线1l 的垂线2l 交圆O 于另一点N ．
若△PQN 的面积为3，求直线1l 的斜率． 【解】（1）因为椭圆C 的上顶点为(03A ，，所以3b = 又圆22214
O x y a +=：经过点()01M ，
， 所以2a =． …… 2分
所以椭圆C 的方程为2
2
143
y
x +=． …… 4分
（2）若1l 的斜率为0，则46PQ =，2MN =，
所以△PQN 461l 的斜率不为0． …… 5分
设直线1l 的方程为1y kx =+，
由2
2143
1y x y kx ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩，消y ，得22(34)880k x kx ++-=， 设()11P x y ，
，()22Q x y ，， 则2142621k k x --⋅+=，2
242621k k x -+⋅+=， 所以221212()()PQ x x y y -+-
22
212461211k k k x +⋅++-= …… 8分
直线2l 的方程为11y x k
=-+，即0x ky k +-=，
所以2
22
2111k MN k k =-++ …… 11分 所以△PQN 的面积12S PQ MN =⋅22
24612112321k k k
+⋅+==+， 解得12k =±，即直线1l 的斜率为12
±． …… 14分
x
O
A （第17题）
y M
N P
Q
备注：第（2）小题的若没有讨论“若1l 的斜率为0”，则扣一分（原因是直线1l 的方程使用1k -）。

18．（本小题满分16分）
南通风筝是江苏传统手工艺品之一．现用一张长2 m ，宽1.5 m 的长方形牛皮纸ABCD 裁剪 风筝面，裁剪方法如下：分别在边AB ，AD 上取点E ，F ，将三角形AEF 沿直线EF 翻折到
A EF '处，点A '落在牛皮纸上，沿A E '，A F '裁剪并展开，得到风筝面AEA F '，如图1．
（1）若点E 恰好与点B 重合，且点A '在BD 上，如图2，求风筝面ABA F '的面积；
（2）当风筝面AEA F '的面积为23m 时，求点A '到AB 距离的最大值．
【解】（1）方法一：建立如图所示的直角坐标系．
则()20B ，
，()
302
D ，， 直线BD 的方程为3460x y +-=．…… 2分 设()0F b ，（0b >），
因为点F 到AB 与BD 的距离相等，
A
C
D
F
B （E ）
x y A '
（图1）
A
C D
A '
（图2）
A
（E ）
C
D
F
A '
所以46
5
b b -=
，解得23b =或6b =-（舍去）． …… 4分
所以△ABF 的面积为21222m 233⨯⨯=， 所以四边形ABA F '的面积为24m 3
．
答：风筝面ABA F '的面积为24m 3
． …… 6分
方法二：设ABF θ∠=，则2ABA θ'∠=．
在直角△ABD 中，3tan 24
AD AB θ==，…… 2分
所以2
2tan 34
1tan θθ=-， 解得1tan 3
θ=或tan 3θ=-（舍去）．
所以2tan 3
AF AB θ==． …… 4分
所以△ABF 的面积为21222m 233⨯⨯=，
所以四边形ABA F '的面积为24m 3
．
答：风筝面ABA F '的面积为24m 3
． …… 6分
（2）方法一：建立如图所示的直角坐标系． 设AE a =，AF b =，()00A x y '，
， 则直线EF 的方程为0bx ay ab +-=， 因为点A ，A '关于直线EF 对称，
A B C
D
F
E x
y A '
C
D
F
（E ）
A '
所以0000022
y a
x b
bx ay ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，，
解得2
0222a b y a b
=+． …… 10分 因为四边形AEA F '33ab =
所以3
03
23233
a y a a ==+．
因为02a <≤，302b <≤232a ≤． …… 12分
设33()f a a a =+232a ≤． 24(3)(3)(3)9()1a a a f a a ++-'=-=
令()0f a '=，得3a =3a =-．
列表如下：
当3a =()f a 43
所以0y 的最大值为32
，此时点A '在CD 上，3a =1b =．
a
2333⎡⎫⎪⎢⎣⎭
，
3
(
32⎤⎦，
()f a ' - 0 +
()f a
单调递减
极小值
单调递增
答：点A '到AB 距离的最大值为3m 2
． …… 16分
方法二：设AE a =，AEF θ∠=，则tan AF a θ=．
因为四边形AEA F '33AE AF ⋅，
即2tan 3a θ=3tan θ． 过点A '作AB 的垂线A T '，垂足为T ，
则sin2sin2sin2A T A E AE a θθθ''=⋅=⋅= …… 10分
22243
3
2232sin
cos 2tan 33sin cos tan 1
1a a a a a a a θθθθθθ=⋅=⋅=⋅=++++． 因为02AE <≤，302AF <≤232a ≤． …… 12分
（下同方法一）
备注：第（2232a ≤”与“3a =
19．（本小题满分16分）
已知数列{}n a 满足11(2)(21)n n n n na a a a ---=-（2n ≥），1n n b n a =-（n *∈N ）．
（1）若1=3a ，证明：{}n b 是等比数列；
（2）若存在k *∈N ，使得1k a ，11k a +，21k a +成等差数列．
① 求数列{}n a 的通项公式；
② 证明：111ln ln(1)22
n n n a n a ++>+-．
A '
A
B
C
D
F
E
T
【证】（1）由11(2)(21)n n n n na a a a ---=-，得1
122n n n a a -=+-，
得()11121n n n n a a -⎡⎤
-=--⎢⎥⎣⎦
，即12n n b b -=， 因为1=3a ，所以11121=03b a =--≠，所以1
2n n b
b -=（2n ≥），
所以{}n b 是以1b 为首项，2为公比的等比数列． …… 4分 【解】（2）① 设1
11a λ-=，由（1）知，12n n b b -=，
所以21121222n n n n b b b b ---====L ，即112n n
n a λ--=⋅，
所以112k k
k a λ-=⋅+． …… 6分
因为1k a ，1
1k a +，21k a +成等差数列，
则11(2)(22)2(21)k k k k k k λλλ-+⋅++⋅++=⋅++，
所以120k λ-⋅=，所以0λ=，
所以1n n a =，即1n a n =． …… 10分
② 要证111ln ln(1)22
n n n a n a ++>+-，
即证111()ln 2n n n a a n +++>，即证1112ln 1n n n n ++>+． 设1n t n +=，则111111t t t n n t t
-+=-+=-+，且1t >， 从而只需证，当1t >时，12ln t t t
->． …… 12分
设1()2ln f x x x x =--（1x >），
则22121()1(1)0f x x x x '=+-=->，
所以()f x 在(1)+∞，上单调递增，
所以()(1)0f x f >=，即12ln x x x ->，
因为1t >，所以12ln t t t
->，
所以，原不等式得证． …… 16分
备注：第（1）小题中若没有交代“11121=03b a =--≠”则扣一分；
20．（本小题满分16分）
已知函数2
()1ln ax f x x
=+（0a ≠），e 是自然对数的底数．
（1）当0a >时，求()f x 的单调增区间；
（2）若对任意的12x ≥，1()2e b f x -≥（b ∈R ），求b a 的最大值；
（3）若()f x 的极大值为2-，求不等式()e 0x f x +<的解集．
【解】（1）()f x 的定义域为()()
110e e --+∞，，U ．
由22
2
112(1ln )2(ln )
2()(1ln )(1ln )ax x ax ax x x f x x x +-⋅+'==++， …… 2分 令()0f x '>，因为0a >，得1
2e x ->，
因为1
12
e
e -->，
所以()f x 的单调增区间是(
)
1
2
e -+∞，． …… 4分
（2）当0a <时，1(1)02e b f a -=<<，不合题意；
当0a >时，令()0f x '<，得10e x -<<或1
12e e x --<<，
所以()f x 在区间(
)1
0e
-，和()1
1
2
e
e
--，上单调递减． 因为(
)
1
121e e 2
--∈，，且()f x 在区间(
)
12e -+∞，上单调递增，
所以()f x 在1
2
e x -=处取极小值2e a ，即最小值为2e a ． …… 6分
若12
x ∀≥，1()2e b f x -≥，则122e e b a -≥，即e b a ≥． 不妨设0b >，则e b b b a ≤． …… 8分
设()e b
b g b =（0b >），则1()e
b b g b -'=． 当01b <<时，()0g b '>；当1b >时，()0g b '<， 所以()g b 在()01，
上单调递增；在()1+∞，上单调递减， 所以()(1)g b g ≤，即1e e
b
b ≤， 所以b a 的最大值为1e
． …… 10分
（3）由（2）知，当0a >时，()f x 无极大值，
当0a <时，()f x 在(
)1
0e
-，和()1
1
2
e
e
--，上单调递增；在()
12
e
-+∞，上单调递减，
所以()f x 在12
e x -=处取极大值，
所以1
22(e )2e
a f -==-，即e a =-． …… 12分
设()()e x F x f x =+，即2
e ()e 1ln x x F x x
=-+，
当()
10e x -∈，，1ln 0x +<，所以()0F x >；
当()1e x -∈+∞，
，2
e (12ln )
()e (1ln )x x x F x x +'=-+，
由（2）知，e e x x ≤，又212ln (1ln )x x ++≤， 所以()0F x '≥，且()F x 不恒为零， 所以()F x 在()1e -+∞，
上单调递增． 不等式()e 0x f x +<，即为()0(1)F x F <=，所以1e 1x -<<，
即不等式的解集为()1e 1-，
． …… 16分 备注：第（1）小题中若没有交代“()f x 的定义域为()()
110e e --+∞，，U ”
，则扣一分。

数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在．．．．．．．．．答题卡．．．相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．． A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知a b c d ∈，，，R ，矩阵20a b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的逆矩阵1
11c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
A ．若曲线C 在矩阵A 对应
的变换作用下得到曲线21y x =+，求曲线C 的方程．
【解】由题意得，11001-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦AA ，即2122100101a c a d
ac b d bd b ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， 所以1120a b c d ====，，，，
即矩阵1201-⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
A ． …… 5分 设()P x y ，为曲线C 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换作用下变为点()P x y '''，， 则 1201x x y y '-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2.x x y y y '=-⎧⎨'=⎩
， …… 8分 由已知条件可知，()P x y '''，满足21y x =+，整理得：2510x y -+=，
所以曲线C 的方程为2510x y -+=． …… 10分
B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在直角坐标平面内，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A ，B 的极坐标分别为()π42，，()
5π224
，，曲线C 的方程为r ρ=（0r >）．
（1）求直线AB 的直角坐标方程；
（2）若直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，求r 的值．
【解】（1）分别将()π42A ，，()
5π24
B ，转化为直角坐标为()04A ，，()22B --，， 所以直线AB 的直角坐标方程为340x y -+=． …… 4分
（2）曲线C 的方程为r ρ=（0r >），其直角坐标方程为222x y r +=．
又直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，即直线与圆相切，
所以圆心到直线AB 22
210431=+
即r 210 …… 10分
C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知a ∈R ，若关于x 的方程2410x x a a ++-+=有实根，求a 的取值范围． 【解】因为关于x 的方程2410x x a a ++-+=有实根，
所以164(1)0a a ∆=--+≥，即41a a -+≤． …… 4分
当1a ≥时，421a -≤，得512
a ≤≤
； 当01a <<时，1≤4，恒成立，即01a <<；
当0a ≤时，412a -≤，得03
2
a -≤≤，
综上：所求a 的取值范围为35
22a -≤≤． …… 10分
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
现有一款智能学习APP ，学习内容包含文章学习和视频学习两类，且这两类学习互不影响．
已知该APP 积分规则如下：每阅读一篇文章积1分，每日上限积5分；观看视频累计3分钟 积2分，每日上限积6分．经过抽样统计发现，文章学习积分的概率分布表如表1所示，视频 学习积分的概率分布表如表2所示．
（1）现随机抽取1人了解学习情况，求其每日学习积分不低于9分的概率；
（2）现随机抽取3人了解学习情况，设积分不低于9分的人数为ξ，求ξ的概率分布及
数学期望．
【解】（1）由题意，获得的积分不低于9分的情形有：
因为两类学习互不影响，
所以概率111111115926223229
P =⨯+⨯+⨯+⨯=，
所以每日学习积分不低于9分的概率为59． …… 4分
（2）随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3．
由（1）每个人积分不低于9分的概率为59
．
文章 3 4 5 5 视频
6
6
4
6
文章学习积分 1
2
3
4
5 概率 19 19 19 1
6 12 视频学习积分 2 4 6
概率 16 13 12
表1
表2
()()
3
4
64=0=9
729P ξ=；()()()2
13
54240=1=C 99
729
P ξ=；
()()()
2
23
5
4300=2=C 9
9729
P ξ=；()()3
5
125=3=9
729
P ξ=． 所以，随机变量ξ的概率分布列为
ξ
0 1 2 3
P
64729
240729
300729
125729
…… 8分
所以642403001255()01237297297297293
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．
所以，随机变量ξ的数学期望为53
． …… 10分
备注：1. 第（1）小题中若只写式子“111111115926223229
P =⨯+⨯+⨯+⨯=”没有必要的文字说明，
则扣两分；
2. 第（2）小题中只要ξ每一取值的概率正确，表格不列，不扣分。

23．（本小题满分10分）
设202(1)i n
n i i n P C =-=∑，212(1)j n
n j
j n
j
Q C =-⋅=∑． （1）求222P Q -的值； （2）化简n n nP Q -．
【解】（1）由201234444441111153P C C C C C =-+-+=，212344444
1234103Q C C C C =-+-+=，
所以2220P Q -=． …… 2分
（2）设n n T nP Q =-，
则01221232
222222221232()()n n n n n n n n n n
n n n n n T C C C C C C C C =-+-⋅⋅⋅+--+-+⋅⋅⋅+ 0123222222123n n n n n n
n n n n n C C C C C ----=-+-+⋅⋅⋅+ ① …… 6分 因为222k n k
n n
C C -=， 所以22122230
22222123n n n n n n n n n
n n n n n T C C C C C -------=-+-+⋅⋅⋅+ 0
123222222123n
n n n n n
n n n n n C C C C C ----=-+-+⋅⋅⋅+ ② ①+②得，20T =，即0n n T nP Q =-=，
所以0n n nP Q -=． …… 10分。