浙江省高三数学第二次考试五校联考试题 文(含解析)-人教版高三全册数学试题

浙江省2015届高三数学第二次考试五校联考试题 文（含解析）
第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项
是符合题目要求的.
1.在ABC ∆中，“0=⋅AC AB ”是“ABC ∆为直角三角形”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】A
考点：充分条件、必要条件的判断. 2.已知数列{}n a 满足：2
1
n a n n
=
+，且910n S =，则n 的值为（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 【答案】C 【解析】 试题分析：1
1
112
+-=+=
n n n n a n ，n n a a a S +++= 21⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111
3121211n n
11
1+-
=n 10
9=，解得9=n ，故答案为C. 考点：裂项求和.
3.要得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数πcos(2)3
y x =-的图象（ ） A ．向右平移
π6个单位长度 B ．向左平移π
6
个单位长度
C ．向右平移π12个单位长度
D ．向左平移π
12
个单位长度 【答案】C 【解析】
试题分析：函数⎪⎭
⎫
⎝
⎛
-==22cos 2sin πx x y ，
将函数πcos(2)3y x =-的图象向右平移π
12个单位长度得到
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3122cos ππx y x x 2sin 22cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛
-=π，故答案为C.
考点：函数图象的平移.
4.若αβ、是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为（ ） ①若直线m α⊥，则在平面β内，一定不存在与直线m 平行的直线． ②若直线m α⊥，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m 垂直． ③若直线m α⊂，则在平面β内，不一定存在与直线m 垂直的直线． ④若直线m α⊂，则在平面β内，一定存在与直线m 垂直的直线． A ．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】C
考点：空间中直线与平面的位置关系.
5.已知菱形ABCD 的对角线AC 长为1，则AD AC =（ ） A ．4 B ．2 C ．1 D ．2
1
【答案】D
试题分析：设AC 的中点为O ，CAD AC AD AC AD ∠=⋅cos 2
1
==AO AC ，故答案为D.
考点：平面向量的数量积.
6.设x R ∈, 对于使22x x M -+≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做22x x -+ 的上确界. 若,a b R +
∈，且1a b +=，则122a
b
--
的上确界为（ ）
A ．5-
B ．4-
C ．
92
D ．92
-
【答案】D 【解析】 试题分析：⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++-=--
b b a a b a b a 222221⎪⎭⎫
⎝⎛++-=b a a b 2225，由基本不等式得b a a b 22+b a
a b 222⋅≥ 29225221-≤⎪⎭
⎫
⎝⎛+-≤--
∴b a ，故答案为D. 考点：基本不等式的应用.
7.如图，已知椭圆C 1：112x +y 2=1，双曲线C 2：22a x —22b
y =1（a >0，b >0），若以C 1的长轴为直径
的圆与C 2的一条渐近线交于A 、B 两点，且C 1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则C 2的离心率为 （ ）
A ．5
B ．5
C ．17
D ．
7
14
2
【解析】
试题分析：双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线方程x a
b
y =，代入椭圆
11122=+y x ，可得2
2
1111b
a a x +±
=，
渐近线与椭圆相交的弦长2222111121b
a a
a b +⋅+，1C 与渐近线的两交点将线段AB 三等
分，
∴2222111121b a a
a b +⋅+11231⋅⋅=，整理得a b 2=，a b a c 522=+=∴，离心率
5=e ，故答案为A.
考点：1、双曲线的简单几何性质；2、椭圆的应用.
8.如图，正ABC ∆的中心位于点G (0,1)，A (0,2)，动点P 从A 点出发沿ABC ∆的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度(02)AGP x x π∠=≤≤，向量OP 在(1,0)a =方向的投影为y （O 为坐标原点），则y 关于x 的函数()y f x =的图像是（ ）
【答案】C 【解析】
试题分析：设BC 与y 轴的交点为M ，已知得5.0=GM ，故5.1=AM ，正三角形的边长是
3，连接BG ，
32
123
tan ==∠BGM ，因此3π
=∠BGM ，32π=
∠BGA ，由图可知，当32π=x 时，射影y 取到最小值，其大小为2
3
-
，由此可排除A ，B 两个选项；又当点P 从点B 向点M 运动时，x 变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图象趋于平缓，由此排除D ，故答案为C. 考点：函数的图象.
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题（每题4分，满分28分，将答案填在答题纸上）
9.设全集U R =，集合2
{|340}A x x x =--<，2{|log (1)2}B x x =-<， 则A
B = ，A B = ，R
C A = ．
【答案】()4,1，()5,1-，(][)+∞-∞-,41, 【解析】
试题分析：{}
{}41|043|2
<<-=<--=x x x x x A ，由()21log 2<-x 得⎩⎨
⎧<->-4
101x x ，得51<<x ，
{}51|<<=x x B ，()4,1=∴B A ，()5,1-=B A ，{}41|≥-≤=x x x A C R 或(][)+∞-∞-=,41, .
考点：集合的基本运算.
10.若变量,x y 满足20
2300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩
，则2x y
+的最大值为 ，_____21的取值范围-+x y . 【答案】8；⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡--2
1,3.
【解析】
试题分析：不等组表示的平面区域如图所示，令y x z +=，则z x y +-=表示的是斜率是1-，截距为z 的平形直线系，当截距最大时，z 最大，当直线过点C 时，截距最大，由
⎩
⎨
⎧=+-=-0320
2y x y x ，得⎩⎨⎧==21y x ， 3max =z ，y x +2的最大值为823=，
2
1
-+x y 表示的是点()y x ,与点()1,2-连线的斜率，设()1,2-D ，
21-=AD k ， 31
3-=-=CD
k ， 因此21-+x y 的取值范围⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
--21,3.
考点：线性规划的应用.
11.已知命题p ：R x ∈∃，x x ln 1>-．命题q ：R x ∈∀，0>x ，则:P ⌝ ，命题
()q p ⌝∧是 （填真命题或假命题）
【答案】R x ∈∀，x x ln 1≤-；真命题. 【解析】
试题分析：对于命题P ，当e x =时，1ln 1=>-e e ，命题P 是真命题；对于命题q R x ∈∀，
0≥x ，命题q 是假命题，则q ⌝是真命题，命题()q p ⌝∧是真命题.
考点：命题真假性的判断.
12. 若某多面体的三视图如右图所示，则此多面体的体积是 ，此多面体外接球的表面积是 .
【答案】
3
2
；π3. 【解析】
试题分析：该几何体的正方体内接正四面体，如图中红色，此四面体的所有棱长为2，因此底面积为
()
2
3
24
32
=
=
S ，顶点在底面上射影是底面的中心，高()
33
2263222
2
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅-=h ， 多面体的体积3
1
332233131=⋅⋅==
Sh V ； 多面体的外接球的直径是正方体的对角线3，表面积ππ32342
=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛.
考点：由三视图求表面积和体积.
13.已知函数22cos ,0
()sin(),0
x x x f x x x x α⎧+>=⎨-++<⎩是奇函数，则sin α= ．
【答案】1- 【解析】
试题分析：由于函数()x f 是奇函数，()()ππf f -=-，
()()
ππαππcos sin 2
2
+-=+-+-∴，整理得
1sin -=α.
考点：奇函数的应用. 14. 已知点0,2A 为圆2
2
:2200M x
y ax ay a 外一点，圆M 上存在点T 使
得0
45=∠MAT ，则实数a 的取值范围是 . 【答案】113<≤-a . 【解析】
试题分析：圆的方程()()2
2
2
2a a y a x =-+-，圆心()a a M ,，半径a r 2=
，
()2
22-+=∴a a AM ，a TM 2=，由于TM AM ,长度固定，当T 是切点时，MAT ∠最
大，
由题意圆M 上存在点T 使得0
45=∠MAT ，因此最大角度大于0
45，
()
02245sin sin 22=∠≥-+=∴
MAT a a a AM TM 22
=，
整理得0222
≥-+a a ，由于0>a ，解得13-≥a
又()
12222≤-+=a a a
AM TM
，解得1≤a ，
又点()2,0A 为圆M 外一点，04202
2>-+∴a ，解得1<a ，综上可得113<≤-a .
考点：圆的方程的应用.
15.已知O 是ABC ∆内心，若21
55
AO AB AC =
+，则cos BAC ∠= . 【答案】4
6
. 【解析】
试题分析：取AB 的中点D ，AC 的中点E ，连接OE OD ,，则
AO
AB AO
AD BAO 2cos =
=
∠AO
AC AO
AE CAO 2cos =
=
∠，
BAO AB AO AB AO ∠=⋅∴2
1
AB =，21AC AC AO =⋅，
在AC AB AO 5152+=两边同乘以AB BAC AC AB AB AB ∠=cos 51
5221
BAC AC AB ∠=5
1
101① 同理在AC AB AO 5152+=同乘以AC BAC AB AC ∠⋅=cos 5
2
103②，
BAC AC AB ∠=，代入②得8
3cos 2
=∠BAC ，由①知0cos >∠BAC ，
4
6cos =
∠∴BAC .
考点：平面向量数量积的应用.
三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16. 已知函数1
()3cos cos 2().2
f x x x x x R =⋅-∈
（1）求函数()f x 的最小值和最小正周期；
（2）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且︒=30B ,3,()1c f C ==，判断△ABC 的形状，并求三角形ABC 的面积.
【答案】（1）()1min -=x f ，π=T ；（2）ABC ∆是直角三角形，2
3
=S . 【解析】
试题分析：(1)熟悉三角公式的整体结构，灵活变换，要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形，把形如x b x a y cos sin +=化为
()ϕ++=x b a y sin 22，研究函数的性质；
（2）在解决三角形的问题中，面积公式B ac A bc C ab S sin 2
1
sin 21sin 21===
最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来，在求范围时，注意根据题中条件限制角的范围. 试题解析：（1）x x x x f 2cos 21cos sin 3)(-⋅=
＝x x 2cos 2
1
2sin 23-=sin(2)6x π-
1sin(2)16x R x π
∈∴-≤-≤
()x f ∴的最小值1-
22
T π
π∴=
=，故其最小正周期是π （2）∵1)(=C f 1)6
2sin(=-
∴π
C
又∵0<2C <2π，∴6
116
-26
π
π
π
<
<-
C ∴2
6
-
2π
π
=
C ，3
C π
∴=
∵B=
6π，∴A=2
π
，∴△ABC 是直角三角形 由正弦定理得到：
B b
sin
=
2sin c C ==，∴1=b 设三角形ABC 的面积为S, ∴S=
2
3
考点：1、求三角函数的最值和最小正周期；2、求三角形的面积.
17.已知数列{}n a （*N n ∈，146n ≤≤）满足1a a =， 1,115,1,1630,1
,3145,n n d n a a n n d
+⎧
⎪⎪
-=⎨⎪⎪⎩≤≤≤≤≤≤其中0d ≠，
*N n ∈．
（1）当1a =时，求46a 关于d 的表达式，并求46a 的取值范围； （2）设集合{|,,,,116}i j k M b b a a a i j k i j k *==++∈<<N ≤≤．若13a =
，1
4
d =，求证：2M ∈.
【答案】（1）(][)+∞-∞-,4614, ；（2）证明略. 【解析】
试题分析：（1）等差数列基本量的求解是等差数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用，对于x
b
ax +
的形式求最值，利用基本不等式，注意讨论0>x 及0<x 两种形式；（2）证明时根据题意由题中的条件逐渐过渡到结论，求出
k j i ,,的值要符合题中的限制范围，掌握数列的基本知识.
试题解析：（1）当1a =时，
16115a d =+，311615a d =+，461
1615()a d d =++．
因为0d ≠，21d d
+
≥，或21
d d -+≤，
所以46(,14][46,)a ∈-∞-+∞．
（2）由题意1134n n a -=+，116n ≤≤，3
14i j k b ++-=+．
令3
124
i j k ++-+
=，得7i j k ++=． 因为,,i j k *∈N ，116i j k <<≤≤， 所以令1,2,4i j k ===，则2M ∈． 考点：等差数列的通项公式及应用.
18.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AB BC ⊥侧面PAB ⊥底面ABCD ，2PA AD AB ===，4BC =. （1）若PB 中点为E .求证：//AE PCD 平面；
（2）若0
60PAB ∠=，求直线BD 与平面PCD 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明略；（2）5
10
. 【解析】
试题分析：（1）解决立体几何的有关问题，空间想象能力是非常重要的，但新旧知识的迁移
融合也很重要，在平面几何的基础上，把某些空间问题转化为平面问题来解决，有时很方便；
A
B
C
（2）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；（3）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；（4）在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算. 试题解析：（1）取PC 的中点F ，连结DF ，EF 由于F E ,分别是PC PB ,的中点，BC EF //∴，BC EF 2
1
= 又由于BC AD //，BC AD 2
1
=
//AD EF ，且AD EF =，所以ADFE 为平行四边形． //AE DF ∴，且AE 不在平面PCD 内，DF 在平面PCD 内，
所以//AE PCD 平面 （2）等体积法
令点B 到平面PCD 的距离为h
P BCD V -=B PCD V -
P BCD V -=
，1
3
B PCD PCD V S h -∆=
又
PCD S ∆=
h ∴=
直线BD 与平面PCD 所成角θ
的正弦值sin 5
h BD θ===． 考点：1、直线与平面平行的判定；2、直线与平面所成的角.
19.已知抛物线x y 22
=上有四点),(),(2211y x B y x A 、、),(),(4433y x D y x C 、，点M （3,0），直线AB 、CD 都过点M ，且都不垂直于x 轴，直线PQ 过点M 且垂直于x 轴，交AC 于点P ，交BD 于点Q.
（1）求21y y 的值； （2）求证：MQ MP =.
【答案】（1）6-；（2）证明略. 【解析】
试题分析：(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程；（2）在解决与抛物线性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此；（3）解决直线和抛物线的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与抛物线的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式∆：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论. 试题解析：（1）设直线AB 的方程为3+=my x ，与抛物线联立得：0622
=--my y ∴621-=y y
（2） 直线AC 的斜率为
3
131312y y x x y y +=
--∴直线AC 的方程为1131)(2
y x x y y y +-+= ∴点P 的纵坐标为3
13
16y y y y y P ++=
6
)
(66
)6(6323232
32
--=
+-
-+=
y y y y y y y y
同理：点Q 的纵坐标为=
Q y 6
)
(63223--y y y y
∴0=+Q P y y ，又PQ⊥x 轴∴MQ MP =
考点：1、抛物线的几何性质；2、直线与抛物线的综合问题. 20.已知函数22(),(04)f x x a x kx a a =-++<<为常数且。

（1）若1a k ==，求不等式()2f x >的解集； （2）若函数()f x 在(0,2)上有两个零点12,x x ，求
12
11
x x +
的取值范围. 【答案】（1）312x x x ⎧
⎫><-⎨⎬⎩⎭或；（2）⎪⎭
⎫
⎝⎛a a 2,2. 【解析】
试题分析：(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；（2）二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个”二次，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点值符合四个方面分析；（3）二次函数的综合问题应用多涉及单调性与最值或二次方程根的分布问题，解决的主要思路是等价转化，多用到数形结合思想与分类讨论思想,
试题解析：（1）若210x -≥，则2212x x x -++>，即2
230x x +->，
312
x x ∴><-或； 若2
10x -<，则2212x x x -++>，即22
12x x x -++>，1x ∴>，无解
综上所述：()2f x >的解集312x x x ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭
或
（2）因为04a <<
，所以222)()x kx a
x f x kx a
x ⎧+-∈⎪=⎨
+∈⎪⎩
因为函数()f x 在(0,2)
上有两个零点有两种情况：可以在
上有一解，在上有
一解或在上有两解 当()0f x =
在上有两解：
(2)0
2
4
f
f
k
⎧>
⎪
>
⎪⎪
∴⎨∆>
<-<
8
2
k
a
k
k k
k
⎧>
⎪
-
⎪>
⎪
∴⎨
⎪><-
⎪
⎪<-
⎩
4a
-<
，所以无解。

当在
上有一解，在
上有一解：
(82)(2)0
a
k
k a a a
⎧
<-<
⎪
⎨
⎪+-+<
⎩
，04
a
<<
，
8
2
a-
∴<8
2
k
a
k
⎧<
⎪
⎨-
<<
⎪
⎩
所以k
的取值范围为
8
2
a
k
-
<<
不妨令
12
,
4
a k
x
x
k
-+
=-=
12
11k
x
x a
∴+=-+=
令
()
f k k
=
所以()
f k
在区间
8
(,
2
a-
上为减函数
()
f k
∴∈
12
112
)
x x a
∴+∈
考点：1、含绝对值的不等式解法；2、二次函数的应用.。