《随机过程及其应用》PPT课件

• 我们称这个极限limP(x(n)=0)＝ 为{x(n),n 0} 的绝灭概率，显然 0 1 • 定理2.5设{x(n),n 0}是一个初始状态为1的以 f(s)=p(0)+p(1)s+…为本原母函数的分枝过程。 为其绝灭概率，则 • (1) =f( ) =1 • (2)当 1,p(1)<1时有 • (3)当1< 时, 是s=f(s)在[0,1)内的唯一解
• 所以对于一个取非负整数值的随机变量x,只要 知道了它的母函数其分布也就完全知道了。 • 二、分枝过程 • • • • 设有一个反应堆，最初有n(0)个质点，由于质 点之间的相互碰撞或其它射线的轰击，每隔一 单位时间，一个质点可分离成k个质点 （k=0,1,2…)并设 • （1）这些质点的分离情况是相互独立的，具 有共同分布 • （2）质点的分离情况与其年龄无关
k

(5) 2 (1) n(0) 2 , 2 f " (1) f ' (1) ( f ' (1))2 (6) 当 1时, 2 (n) n(0) 2 n ( n 1) /( 2 ) 2 2 当 = 1时， (n) n0 n 从定理2.4可知，只要f(s)已知，则{X(n),n 0} 的一切信息都知道了。 对于某一时刻n,若x(n)=0,则该过程就灭绝了。 下面来讨论过程灭绝的概率 • 因为{X(n)=0} {x(n+1) =0} • 所以0 P(x(n)=0) P(x(n+1)=0)1,即 {P(x(n)=0),n=1,2,…}是一个单调有界序列，故 其极限一定存在。 • • • • • •
• Z(n+1,i)表示时刻n存在的第i个质点在下一时刻 (n+1)时刻分离出的质点数。 • X(n)表示n时刻反应堆中的质点数，则有 • X(0)=n(0) • X(1)=Z(1,1)+Z(1,2)＋…+Z(1,n(0)) • X(2)=Z(2,1)+Z(2,2)+…Z(2,x(1)） • ……………. • X(n+1)=Z(n+1,1)+Z(n+1,2)+…+Z(n+1),x(n)) • 上面的假设（1）、（2）说明{z(n+1,i),i 1,n 0}是一族相互独立具有共同分布的取非负整数 的随机变量。令其共同分布为p(k)=P(z(n,i)=k)
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• 推论2.1：设x(1),…x(n)是相互独立的取非负整 数的随机变量，x(i)的母函数为f i (s),则 x(1)+…+x(n)的母函数为f 1(s)f 2 (s)…f n (s) • 例3：x,y,z相互独立，分别是B(3,p),B(5,p), • B(6,p)的二项式分布，则x+y+z~B(14,p). • 定理2.3：设N,x(1),…x(n)…都是取非负整数的 随机变量且相互独立，x(1),…x(n)…具有共同 的分布，其母函数为f(s),N的母函数为g(s),令当 N>0时,x=x(1)+…+x(N),当N=0时，x=0 • 则x的母函数为h(s)=g(f(s)) • 注:x的母函数与其分布函数1-1对应
P(k ) s • (k 0,i 1,n0),其母函数f(s)= k 0 • 则称{x(n),n 0}是一个初始状态为n(0)的以f(s) 为本原母函数的分枝过程。 • 定理2.4:设{x(n),n 0 }如上所设，令f(n,s)为x(n) (n)=E(x(n)), 2 (n) =var(x(n)),则 母函数， n ( 0) (1)f(1,s)=f(s) (2)f(n+1,s)=f(n,f(s)) (n 0) ' (3) (1)= n(0) ,其中 =f (1)=E(Z(n,i)) (4) (n) n(0) n (n 1)
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• 定理2.7:设{x(n),n 0}是一个初始状态为n(0)的 以f(s)为本原母函数的分枝过程, 是{x(n),n0} n(0) 的绝灭概率，则 • 证明：设y(n,i)表示初始时刻的第i个质点，在 时刻n时所产生的反应堆中的质点数 (i=1,2,…,n(0)). • 显然，对任意的 n,x(n)=y(n,1)+y(n,2)+…+y(n,n(0))且 y(n,1),y(n,2),…,y(n,n(0)独立同分布 • 所以 p(x(n)=0)=P(y(n,1)+…+y(n,n(0))=0)=P(y(n,1)=0
• 母函数有如下一些性质： • 定理2.1：设随机变量x的母函数为p(s)则 有 ' • （1）E(x)= P（1） 2 '' ' • （2）若E(x ) ,则 Var(x)=P (1)+P (1)2 ' (p (1))
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例如对普阿松随机变量x,因为E(x )< ' '' ' 所以,E(x)=P (1)=,var(x)=P (1)+P (1)2 2 2 ' (P(1)) = ( ) 定理2.2：设x与y相互独立，且f(s),g(s)分 别为其母函数，则x+y的母函数 h(s)=f(s)g(s).
第二章 分枝过程
• 一、母函数 • 假设 X是取非负整数值的随机变量，且 k P(X=k)= p k k=0,1,…，则称级数p(s)= pk s k 0 为随机变量X的母函数，(|s| S 0 ) • 例1：设X 是参数为 的普阿松数分布， 则其母函数p(s)= e (1s ) (|s|<) • 例2：设x~B(n,p),即x是二项式分q)
• ,Y(n,2)=0,…,y(n,n(0))=0)=P(y(n,1)=0)…P( y(n,n(0)=0) n(0) n(0) • 因此 =limP(x(n)=0)=limP(y(n,1)=0)
• 例4：设{x(n),n 0}是以初始状态为1的以 f(s)=p/(1-qs)为本原母函数的分枝过程，其中 0<p<1,p+q=1,试求其灭绝概率 ' 2 ' • 解：f (s)=pq/(1-qs) , =f (1)=pq/(1-q) =q/p • (1)当p q时，有1,显然有p(1)<1(因为当 p(1)=1时，f(s)=s)所以由定理2.5(2)有 =1 • (2)当p<q时，有 >1.此时是方程s=f(s)在[0,1)内 的唯一解.解这一方程s=p/(1-qs)得 =p/q