人教B版高中数学选择性必修第三册精品课件 第六章 导数及其应用 第1课时 导数与函数的极值

为f(2)=-4-a.
函数f(x)的零点即方程f(x)=0的解,也就是方程x3-3x2=a的解,f(x)的零点个数
为直线y=a与曲线y=x3-3x2的公共点个数,易知函数y=x3-3x2的极大值为0,极
小值为-4(如图所示).
故当a>0或a<-4时,函数f(x)恰有一个零点.
【变式训练2】 若函数f(x)=ax3-bx+4,当x=2时,函数f(x)有极值 -4 .
答案:D
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)函数的极大值一定大于极小值.( × )
(2)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的.( × )
(3)可导函数f(x)在区间(a,b)内一定有极值.( × )
(4)若函数f(x)在区间(a,b)内有极值,则方程f'(x)=0在区间(a,b)内一定有
极值点与极值
1.如图,函数y=f(x)在点x=d,e,f,g,h,i处的函数值与这些点附近的函数值有什
么关系?y=f(x)在这些点处的导数值是多少?在这些点附近,y=f(x)的导数的
符号有什么规律?
提示:以d,e两点为例,函数y=f(x)在点x=d处的函数值f(d)比在点x=d附近其
他点的函数值都小,f'(d)=0,在x=d附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0.类似地,函
1
5
9
经检验,a=4,b=-2符合题意.故 a+b=-4.
9
答案:-4
随堂练习
1.已知函数f(x)的定义域为(a,b),导函数f'(x)在区间(a,b)内的图象如图所示,
则函数f(x)在区间(a,b)内的极小值点有(
A.5个
答案:C
B.4个
C.3个
)
D.2个
2.已知函数f(x)=x3-3x2+3x,则(
解:(1)函数f(x)的定义域为R,f'(x)=x2-2x-3.
令f'(x)=0,得x=3或x=-1.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化如下表:
x
f'(x)
f(x)
(-∞,-1)
+
-1
0
(-1,3)
-
3
0
(3,+∞)
+
↗
14
极大值
3
↘
极小值-6
↗
14
故 f(x)的极大值点为-1,极大值为 ,极小值点为 3,极小值为-6.
3
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若关于x的方程f(x)=k有三个不相等的实根,求实数k的取值范围.
解:(1)由题意可知 f'(x)=3ax2-b,
1
= 3,
所以有
解得
4
(2) = 8-2 + 4 = - ,
= 4.
3
'(2) = 12- = 0,
1
经检验 a=3,b=4 符合题意.
1 3
故函数 f(x)的解析式为 f(x)=3x -4x+4.
(2)由(1)知f'(x)=x2-4=(x-2)(x+2).
令f'(x)=0,得x=2或x=-2,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,-2)
-2
(-2,2)
2 (2,+∞)
f'(x)
+
0
-
0 +
f(x)
↗
28
↘
3
.
解析:由题意,关于 x 的方程 x2-2x+a=0 有一正一负两个实数根,设为 x1,x2,则
1 2 = < 0,
解得 a<0.故 a 的取值范围是(-∞,0).
= 4-4 > 0,
答案:(-∞,0)
反思感悟
已知函数极值的情况,逆向应用确定函数的解析式,进而研究函数性质时,
注意以下两点:
令y'>0,得0<x<4,令y'<0,得x<0或x>4,
故当x=4时,y极大值=32+m=13.故m=-19.
答案:-19
.
5.求函数f(x)=x2e-x的极值.
解:函数的定义域为R,f'(x)=2xe-x+x2·e-x·(-x)'=2xe-x-x2·e-x=x(2-x)e-x.
错解:f'(x)=3x2+2ax+b.
(1) = 10,
由题意,得
'(1) = 0,
2 + + + 1 = 10,
即
2 + + 3 = 0,
= 4,
解得
或 = -3,
= -11
= 3.
当a=4,b=-11时,f(2)=18.
当a=-3,b=3时,f(2)=11.故f(2)的值为11或18.
(2)求函数f(x)的极值.
解:(1)∵f'(x)=3x2+2ax-9,
∴f'(2)=12+4a-9=15,∴a=3.
∴f(x)=x3+3x2-9x,f'(x)=3x2+6x-9,
∴f(0)=0,f'(0)=-9.∴切线方程为y=-9x.
(2)令f'(x)=0,得x=-3或x=1.
当x变化时,f(x)与f'(x)的变化情况如下表:
a+b=
.
解析:由f(x)=x3+ax2+bx+b2,得
f'(x)=3x2+2ax+b,又当x=-1时,f(x)取极值8,
'(-1) = 0,
-2 + + 3 = 0,
故
即 2
(-1) = 8,
+ --1 = 8,
1
= ,
= 3,
4
解得或5 来自 3.=2当 a=3,b=3 时,f'(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,不合题意,舍去.
即
2 + + 3 = 0,
= 4,
解得
或 = -3,
= -11
= 3.
但当a=-3,b=3时,f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,
故f(x)在R内单调递增,不可能在x=1处取得极值,
所以 = -3,不符合题意,应舍去;
=3
= 4,
而当
时,经检验知符合题意.
x
f'(x)
f(x)
(-∞,-3)
+
↗
-3
0
27
(-3,1)
↘
1
0
-5
故当x=-3时,f(x)取极大值27,当x=1时,f(x)取极小值-5.
(1,+∞)
+
↗
探究二
已知函数极值求参数
【例2】 函数
1 3 2
f(x)= x -x +ax-1有极值点,则a的取值范围为
3
.
解析:f'(x)=x2-2x+a.由题意,关于x的方程x2-2x+a=0有两个不同的实数根,所
数.
解:f'(x)=3x2-6x,函数f(x)的定义域为R,由f'(x)=0得x1=0,x2=2.当x变化时,f'(x)
与f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,0)
0
f'(x)
+
0
f(x)
↗
极大值
(0,2)
↘
2
0
极小值
(2,+∞)
+
↗
因此,函数f(x)在x=0处有极大值,极大值为f(0)=-a;在x=2处有极小值,极小值
(1)常根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法
求解;
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法
求解后必须验证根的合理性.
探究三
极值的综合运用
【例3】 求函数f(x)=x3-3x2-a(a∈R)的极值,并讨论当a为何值时,函数f(x)恰
有一个零点.
分析:先求出函数的单调区间和极值,再借助函数的图象判定函数零点的个
①如果对于x0左侧附近的任意x,都有 f'(x)>0 ,对于x0右侧附近的任意x,都有
f'(x)<0 ,那么此时x0是f(x)的极大值点.
②如果对于x0左侧附近的任意x,都有 f'(x)<0 ,对于x0右侧附近的任意x,都有
f'(x)>0 ,那么此时x0是f(x)的极小值点.
③如果f'(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为 正号 (或均为 负号 ),则x0一定
)
A.当x=1时,f(x)取得极大值
B.当x=1时,f(x)取得极小值
C.当x=-1时,f(x)取得极大值
D.f(x)无极值
解析:f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0恒成立,故f(x)在R上是增函数,f(x)无极值.故
选D.
答案:D
3.函数y=2x3-15x2+36x-24的极小值为
.
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防
范?
提示:应注意“f'(x0)=0”是“可导函数f(x)在x=x0处有极值”的必要不充分条件.
错解忽略了对解进行检验,导致出现增解.
正解:f'(x)=3x2+2ax+b.
(1) = 10,
由题意,得
'(1) = 0,
2 + + + 1 = 10,
解.( √ )
(5)函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值的充要条件是f'(x)=3x2+2ax+b=0有解,即
Δ≥0.( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
求函数的极值
【例1】 求下列函数的极值点和极值.
1 3 2
(1)f(x)= x -x -3x+3;
3
3
(2)f(x)= +3ln x.

分析:求f(x)的定义域→求f'(x)→解方程f'(x)=0→列表分析→结论
不是y=f(x)的极值点.
3.已知函数f(x)=ax3+bx2+c,其导函数的图象如图所示,则函数f(x)的极小值
是(
)
A.a+b+c
B.8a+4b+c
C.3a+2b
D.c
解析:由f(x)的导函数的图象可知函数f(x)在区间(-∞,0)内单调递减,在区间
(0,2)内单调递增,所以函数f(x)在x=0处取得极小值c.
第六章
6.2.2 第1课时 导数与函数的极值
内
容
索
引
01
自主预习 新知导学
02
合作探究 释疑解惑
03
随堂练习
课标定位素养阐释
1.了解极大值、极小值的概念.
2.会用导数求函数的极大值、极小值.
3.会根据函数的极值求参数.
4.通过利用导数研究函数的极值,提高直观想象、数学运算与逻辑推理的
核心素养.
自主预习 新知导学
= -11
故f(x)=x3+4x2-11x+16.
故f(2)=18.
防范措施
“f'(x0)=0”是“x0为极值点”的必要不充分条件.对于给出函数极大(小)值的条
件,一定既要考虑f'(x0)=0,又要检验是否符合“左正右负”(“左负右正”)的条
件.
【变式训练】 已知f(x)=x3+ax2+bx+b2,当x=-1时,f(x)取极值8,则
解析:y'=6x2-30x+36=6(x2-5x+6)=6(x-2)(x-3).
令y'>0,得x<2或x>3,令y'<0,得2<x<3,
故当x=3时,y取得极小值2×33-15×32+36×3-24=3.
答案:3
4.若函数y=-x3+6x2+m的极大值为13,则实数m等于
解析:y'=-3x2+12x=-3x(x-4).
② f(x)>f(x0) ,则称x0为函数f(x)的一个极小值点,此时f(x)在x0处取极小值.
极大值点与极小值点都称为 极值点 ,极大值与极小值都称为 极值 .
(2)一般地,如果x0是y=f(x)的极值点,且f(x)在x0处可导,则必有 f'(x0)=0 .
(3)一般地,设函数f(x)在x0处可导,且f'(x0)=0.
以Δ=4-4a>0,解得a<1.
答案:(-∞,1)
延伸探究
1.若例2中函数f(x)的极大值点是-1,则a的值为
解析:f'(x)=x2-2x+a.
由题意,f'(-1)=1+2+a=0,解得a=-3.
则f'(x)=x2-2x-3.
经验证可知,f(x)在x=-1处取得极大值.
答案:-3
.
2.若例2中函数f(x)有一正一负两个极值点,则a的取值范围为
3
3
3 3(-1)
(2)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=- 2 + = 2 .令 f'(x)=0,得 x=1.



当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(0,1)
f'(x)
f(x)
↘
1
0
极小值3
故f(x)的极小值点为1,极小值为3,无极大值点和极大值.
(1,+∞)
4
-3 ↗
28
4
故当 x=-2 时,f(x)有极大值 3 ;当 x=2 时,f(x)有极小值-3.
4
28
要使关于 x 的方程 f(x)=k 有三个不等实根,则 k 应满足-3<k< 3 .故实数 k 的
4 28
取值范围为 - ,
.
3 3
【易错辨析】
将导数为零的点误认为极值点而致误
【典例】 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,求f(2)的值.
数y=f(x)在点x=e处的函数值f(e)比在点x=e附近其他点的函数值都
大,f'(e)=0,在x=e附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0.
2.(1)一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,设x0∈D,如果对于x0附近的任意不
同于x0的x,都有
① f(x)<f(x0) ,则称x0为函数f(x)的一个极大值点,此时f(x)在x0处取极大值;
+
↗
反思感悟
求函数的极值应注意以下两点:
(1)在讨论可导函数f(x)在定义域内的极值时,若方程f'(x)=0的实数根较多,
则应注意使用表格,使极值点一目了然;