第七章 三角形 复习

第七章 《三角形》复习
与三角形有关的线段 一、三角形的边 1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的直线上的三条线段首尾顺次相接所组
成的图形叫三角形。

如图，线段AB ，BC ，CD 是三角形的边。

点A ，B ，C 是三角形的顶点。

∠A ，∠B ，∠C 是相邻两边组成的角,叫做三角形的内角,简称三角形的角 2.三角形的表示
“三角形”用符号“△”表示，顶点是A ，B ，C 的三角形,记作“△ABC ”读作“三角形ABC ” 3.三角形的分类
按边分类： 按角分类：
4.三角形的三边的大小关系
三角形两边之和大于第三边，可以推出三角形两边之差小于第三边。

此关系可以判断三边是否能构成三角形，（看：较小两边之和是否﹥第三边） 还可以利用三角形的两边，判断第三边的范围。

（a －b ﹤c ﹤a ＋b ） 5.等腰三角形
在等腰三角形中，相等的两边都叫腰，另一边叫底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

（注：等腰三角形求周长应注意有多种情况）
二、三角形的高、中线与角平分线 1.三角形的高
如图所示，从△ABC 的顶点A 向它所对的
边BC 所在的直线画垂线，垂足为D ，
2.三角形的中线
如图所示，连接△ABC 的顶点A 和它所对的边BC 的中点D, 所得线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的中线。

一个三角形有三条中线，它们都在三角形内部，并且相交于一点。

三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分。

3.三角形的角平分线
如图所示，画∠A 的角平分线AD ，交∠A 所对的边BC 于点D ，
所得线段AD 叫做△ABC 的角平分线。

一个三角形有三条角平分线，它们都在三角形内部，并且相交于一点。

注意：三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线。

注：三角形的高，中线和角平分线都是线段。

三、三角形的稳定性
三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性。

与三角形有关的角 一、三角形的内角
1.
定义：三角形中相邻两边组成的角叫做
2.三角形内角和定理：三角形内角和等于180°
3.三角形内角和定理的应用：
①在三角形中，已知两个内角，求第三个内角的度数。

②在直角三角形中，两个锐角互余。

③已知三角形三个角的关系，可以求出其内角的度数。

二、三角形的外角
1.2.三角形外角的特征：
①顶点在三角形的一个顶点上 ②一条边是三角形的一条边
③另一条是三角形某边的延长线。

3.三角形的外角性质
①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。

②三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

③三角形的外角和等于360° 4.三角形外角的性质应用
①性质1的作用：已知外角和它不相邻的两个内角中的一个，可以求另一个；可以证明一个角等于已知两个角的和，经常利用它作为中间量关系式证明两个角相等。

②性质2的作用：利用它证明两个角的不等关系。

多边形及其内角和 一、多边形
1.定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

2.凸多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形。

二、多边形的对角线
定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

n 边形从一个顶点出发可以画（n －3）条对角线，将n 边形分成（n －2）个三角形， n 边形共有 条对角线。

D
D
C
A ∠ACD 为△ABC 的一个外角
∠ACD ＝∠A ＋∠B
三、正多边形
1.定义：各个角相等，各条边相等的多边形叫做正多边形。

各个角相等，各个边相等是正多边形必备的条件，二者缺一不可。

如：四条边相等的四边形不一定是正方形（比如：菱形）
四个角相等的四边形也不一定是正方形（比如：长方形）
只有四条边相等且四个角相等的四边形才是正方形。

四、多边形的内角和定理
1.定理：n边形内角和公式：（n－2）·180°（n≥3）
2.定理的证明
①从n边形的一个顶点做对角线，可以做（n－3）条对角线，并且将n边形分成（n－2）个三角形，则（n－2）个三角形的内角和恰好是多边形的内角和（n－2）·180°
②n边形内任取一点，并把这点与各顶点连接起来，共构成n个三角形，则n个三角形的内角和为n·180°，再减去一个周角，即得到多边形的内角和为（n－2）·180°
五、多边形的外角和定理
1.定理：多边形的外角和等于360°
2.多边形外角和定理的证明
注意：多边形的每个内角与它相邻的外角都是邻补角，
所以n边形的内角和加外角和为n·180°
那么外角和等于n·180°－（n－2）·180°=360 °
六、多边形的边数与内角和、外角和的关系
1.内角和与边数成正比例关系：边数增加，内角和增加；边数减少，内角和减少，
每增加一条边，内角和就增加180°（反过来也成立）
2.多边形外角和总等于360°，与边数无关
3.多边形的内角中最多有三个是锐角，最少没有锐角（如矩形（长方形）），
多边形的外角中最多有三个钝角，最少没有钝角。

课题学习镶嵌
1.平面镶嵌的定义：用一些不重叠摆放的多边形把一个平面的一部分完全覆盖，叫做多边形覆盖平面（或
平面镶嵌。

2.镶嵌的条件：在一个顶点处所有角的和为360°
用一种图形进行镶嵌：①任意三角形（如：钝角三角形，锐角三角形）
②任意四边形（如：梯形，长方形）
③用一种正多边形：正三角形，正方形，正六边形（正五边形不可以镶嵌）用两种正多边形进行镶嵌：①正三角形和正方形，正三角形和正六边形，正三角形和正十二边形
②正方形和正八边形
③正五边形和正十边形
用三种正多边形进行镶嵌：①正3＋正4＋正6，正3＋正4＋正12，
②正4＋正5＋正20
③正4＋正6＋正12
例如：用两种不同的正多边形进行镶嵌
设在一个顶点处有m个正三角形，n个正方形，则应满足60°·m＋90°·n＝360°即m＝3，n＝2，则一个顶点处需要3个正三角形，2个正方形。

一些重要的结论
解：由角平分线定义及三角形
内、外角性质得
∠BDC＝180°－（∠DBC＋∠DCB）
＝180°－
2
1
（∠ABC＋∠ACB
＝180°－
2
1
（180°－∠A）
＝90°＋
2
1
∠A
三角形两内角平分线组成的角=90°＋
2
1
∠A
∠BPC＝180°－（∠PBC＋∠PCB）
＝180°－
2
1
(∠MBC＋∠NCB)
＝180°－
2
1
（∠A ＋∠ACB＋∠A＋∠ABC）
＝180°－
2
1
（180°＋∠A）
＝90°－
2
1
∠A
三角形两外角角平分线组成的角=90°－
2
1
∠A 例1：如图所示，已知∠1＝20°，∠2＝25°，
∠A＝35°，求∠BDC的度数。

解：在△BCD中
∠BDC＋∠DBC＋∠BCD＝180°
在△ABC中
∠A＋∠1＋∠2＋∠DBC＋∠BCD＝180°
所以∠BDC＝∠A＋∠1＋∠2（等量代换）
例2：如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当
点A落在四边形BCDE内部（如A‘处）
∠1＋∠2与∠A之间有一种数量关系始
终保持不变，请找出规律，并说明理由.
例3：如图在△ABC中P是高BD和CE的交点，
试探究∠BPC与∠A之间的数量关系？
解：∠BPC＝180°－∠PBC－∠PCB
＝180°－（90°－∠ACB）－（90°－∠ABC）
＝∠ACB＋∠ABC
＝180°－∠A
例4：如图，在△ABC中，若∠A的度数已知，
则∠ABC的平分线与∠ACB的平分线的夹角∠BDC
与∠A的数量关系。

以及∠CBM的平分线与∠BCN的角平分线的夹角
∠BPC与∠A的数量关系。