苏教版高中数学必修一对数函数对数教案

第23课时 对 数（三）
教学目标：
使学生掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题；培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力.
教学重点：
换底公式及推论.
教学难点：
换底公式的证明和灵活应用.
教学过程：
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
对数的运算法则
若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则
(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；
(2)log a M N ＝log a M －log a N ；
(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )
Ⅱ.讲授新课
1.对数换底公式：
log a N ＝log m N log m a
(a ＞0，a ≠1，m ＞0 ，m ≠1，N ＞0) 证明：设log a N ＝x , 则 a x ＝N
两边取以m 为底的对数：log m a x ＝log m N ⇒x log m a ＝log m N
从而得：x ＝log m N log m a ∴ log a N ＝log m N log m a
2.两个常用的推论:
① log a b ·log b a ＝1
② log m a b n ＝n m
log a b （ a 、b ＞0且均不为1） 证：①log a b ·log b a ＝lg b lg a lg a lg b
＝1 ②log m a b n
＝lg b n lg a m ＝n lg b m lg a ＝n m log a b Ⅲ.例题分析
例1 已知 log 23＝a ， log 37＝b , 用 a , b 表示log 4256
解：因为log 23＝a ，则1a
＝log 32 , 又∵log 37＝b , ∴log 4256＝log 356log 342 ＝log 37＋3log 32log 37＋log 32＋1 ＝ab ＋3ab ＋b ＋1
例2计算：① 53log 12.0- ② log 43·log 92－log 21
432
解：①原式＝153
155555
31log 3log 52.0===
②原式＝12 log 23·12 log 32＋54 log 22＝14 ＋54 ＝32
例3设 x 、y 、z ∈（0，＋∞）且3x ＝4y ＝6z
1︒ 求证 1x ＋12y ＝1z ； 2︒ 比较3x ，4y ，6z 的大小
证明1︒：设3x ＝4y ＝6z ＝k ∵x 、y 、z ∈（0，＋∞） ∴k ＞1
取对数得：x ＝lg k lg 3 ， y ＝lg k lg4 ， z ＝lg k lg 6 ∴1x ＋12y ＝lg 3lg k ＋lg 42lg k ＝2lg 3＋lg42lg k ＝2lg 3＋2lg22lg k ＝lg 6lg k ＝1z 2︒ 3x －4y ＝（3lg 3 －4lg 4 ）lg k ＝lg64－lg81lg 3lg4 lg k ＝lg k ·lg 6481 lg 3lg4 ＜0
∴3x ＜4y
又：4y －6z ＝（4lg 4 －6lg 6 ）lg k ＝lg36－lg64lg 2lg6 lg k ＝lg k ·lg 916 lg 2lg6 ＜0 ∴4y ＜6z ∴3x ＜4y ＜6z
例4已知log a x ＝log a c ＋b ，求x
分析：由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将log a c 移到等式左端，或者将b 变为对数形式 解法一：
由对数定义可知：b c a a x
+=log b c a a a
⋅=log b a c ⋅= 解法二：
由已知移项可得log a x －log a c ＝b ， 即log a x c ＝b
由对数定义知：x c ＝a b ∴x ＝c ·a b
解法三：
∵b ＝log a a b ∴log a x ＝log a c ＋log a a b ＝log a c ·a b ∴x ＝c ·a b
Ⅳ.课堂练习
①已知 log 189＝a , 18b ＝5 , 用 a , b 表示log 3645
解：∵log 189＝a ∴log 18182 ＝1－log 182＝a ∴log 182＝1-a ∵18b ＝5 ∴ log 185＝b
∴log 3645＝log 1845log 1836 ＝log 189＋log 1851＋log 182 ＝a ＋b 2－a
②若log 83＝p ，log 35＝q , 求 lg 5
解：∵log 83＝p ∴3log 32 ＝p ⇒log 23＝3p ⇒log 32＝13p
又∵log 35＝q ∴ lg5＝log 35log 310 ＝log 35log 32＋log 35 ＝3pq 1＋3pq Ⅴ.课时小结
本节课学习了以下内容：换底公式及其推论
Ⅵ.课后作业
1．证明：b x
x a ab a log 1log log += 证法1： 设 p x a =log ，q x ab =log ，r b a =log 则：p a x = q q q b a ab x ==)( r a b = ∴)1()(r q q p a
ab a +== 从而 )1(r q p += ∵ 0≠q ∴r q
p +=1 即：b x x a ab a log 1log log +=（获证） 证法2： 由换底公式 左边＝
b ab a ab x x a a x x ab a log 1log log log log log +===＝右边 2．已知λ====n a a a b b b n log log log 2121
求证：λ=)(log 2121n a a a b b b n
证明：由换底公式 λ====n
n a b a b a b lg lg lg lg lg lg 2211 由等比定理得： λ=++++++n n a a a b b b lg lg lg lg lg lg 2121 ∴λ=)lg()lg(2121n n a a a b b b ∴λ==)
lg()lg()(log 21212121n n n a a a a a a b b b b b b n。