2014(模拟赛)全国初中数学竞赛初赛试题一(含详解)

全国初中数学竞赛初赛试题（一）
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．要使方程组⎩
⎨⎧=+=+23223y x a y x 的解是一对异号的数，则a 的取值范围是（ ） （A ）334<<a （B ）34<a （C ）3>a （D ）3
43<>a a 或
2．一块含有︒30角的直角三角形（如图），它的斜边AB ＝8cm , 里面空心DEF ∆的各边与ABC ∆的对应边平行，且各对应边的距离都是
1cm ,那么DEF ∆的周长是（ ）
(A)5cm (B)6cm
(C) cm )(36- (D) cm )(33+
3．将长为15cm 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有( )
(A)5种 (B) 6种 (C)7种 (D)8种
4．作抛物线A 关于x 轴对称的抛物线B ，再将抛物线B 向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C 的函数解析式是1122-+=)x (y ，则抛物线A 所对应的函数表
达式是( )
(A)2322-+-=)x (y (B) 2322
++-=)x (y
(C) 2122---=)x (y (D) 2322++-=)x (y 5．书架上有两套同样的教材，每套分上、下两册，在这四册教材中随机抽取两册，恰好组成一套教材的概率是( )
(A)32 (B) 31 (C) 21 (D) 6
1 6．如图，一枚棋子放在七边形ABCDEFG 的顶点处，现顺时针
方向移动这枚棋子10次，移动规则是：第k 次依次移动k 个
顶点。

如第一次移动1个顶点，棋子停在顶点B 处，第二次
移动2个顶点，棋子停在顶点D 。

依这样的规则，在这10次移动的过程中，棋子不可
能分为两停到的顶点是( )
(A)C ,E ,F (B)C ,E ,G (C)C ,E (D)E ,F .
7．一元二次方程)a (c bx ax 002
≠=++中，若b ,a 都是偶数，C 是奇数，则这个方程( )
(A )有整数根 (B )没有整数根 (C )没有有理数根 (D )没有实数根
8．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形，那么在由54⨯个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形图案个数是( )
(A)16 (B) 32 (C) 48 (D) 64
二、填空题：(共有6个小题，每小题5分，满分30分)
9．已知直角三角形的两直角边长分别为3cm ,4cm ，那么以两直角边为直径的两圆公共弦的
长为 cm .
10．将一组数据按由小到大(或由大到小)的顺序排列，处于最中间位置的数(当数据的个数是
奇数时)，或最中间两个数据的平均数(当数据的个数是偶数时)叫做这组数据的中位数，
现有一组数据共100个数，其中有15个数在中位数和平均数之间，如果这组数据的中位
数和平均数都不在这100个数中，那么这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的
百分比是
11．ABC ∆中，c ,b ,a 分别是C ,B ,A ∠∠∠的对边，已知
232310-=+==C ,b ,a ，则C sin c B sin b +的
值是等于 。

12．设直线1-+=k kx y 和直线k x )k (y ++=1(k 是正整数)及
x 轴围成的三角形面积为k s ，则2006321s ...s s s +++的值是 。

13．如图，正方形ABCD 和正方形CGEF 的边长分别是2和3，
且点B 、C 、G 在同一直线上，M 是线段AE 的中点，连结MF ，
则MF 的长为 。

14．边长为整数的等腰三角形一腰上的中线将其周长分为21:的
两部分，那么所有这些等腰三角形中，面积最小的三角形的面
积是 。

三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分）
15．(12分)已知c ,b ,a 都是整数，且42=-b a ,012
=-+c ab ,求c b a ++的值。

16. 做服装生意的王老板经营甲、乙两个店铺，每个店铺在同一段时间内都能售出A ，B 两
种款式的服装合计30件，并且每售出一件A 款式和B 款式服装，甲店铺获毛利润分别
为30元和40元，乙店铺获毛利润分别为27元和36元。

某日王老板进货A 款式服装
35件，B 款式服装25件。

怎样分配给每个店铺各30件服装，使得在保证乙店铺毛利
润不小于950元的前提下，王老板获取的总毛利润最大？最大的总毛利润是多少？
17. 如图所示，⊙O 沿着凸n 边形A 1A 2A 3…A n －1A n 的外侧（圆和边相切）作无滑动的滚动一
周回到原来的位置。

（1）当⊙O 和凸n 边形的周长相等时，证明⊙O 自身转动了两圈；
（2）当⊙O 的周长是，凸n 边形的周长是时，请写明此时⊙O 自身转动的圈数。

18. 已知二次函数1122
+-++=m x )m (x y 。

（1）随着m 的变化，该二次函数图象的顶点P 是否都在某条抛物线上？如果是，请求
出该抛物线的表达式；如果不是，请说明理由；
（2）如果直线1+=x y 经过二次函数1122+-++=m x )m (x y 图象的顶点P ，求
此时m 的值。

参考答案
一、选择题
1．答案D 解：解方程组，得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=-=526,543a y a x 要使方程组的解是一对异号的数， 只需334026043026043><⎩⎨⎧<->-⎩⎨
⎧>-<-a a a a a a 或即或 2．答案B
解：连结BE ，分别过E ，F 作AC 的平行线 BC 于点M 和N ，
则EM =1，BM =3，MN =33134-=--
∴小三角形的周长是MN +2MN +3MN =6cm
3．答案C
解：能组成三角形的只有（1，7，7）、（2，6，7）、（3，5，7）、（3，6，6）、（4，4，7）、
（4，5，6）、（5，5，5）七种
4．答案：D
解：将抛物线C 再变回到抛物线A ：即将抛物线y =2(x +1)2－1向下平移1个单位，再向
右平移2个单位，得到抛物线y =2(x －1)2－2，而抛物线y =2(x －1)2－2关于x 轴对称的
抛物线是y =－2(x －1) 2+2
5．答案：A
解：四册教材任取两册共有6种不同的取法，取出的两册是一套教材的共有4种不同的取法，故所求概率是
3264= 6．答案：A
解：经实验或按下 方法可求得顶点C ，E 和F 棋子不可能停到
设顶点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别是第0，1，2，3，4，5，6格，
因棋子移动了k 次后走过的总格数是1+2+3+…+k =
)1(21+k k ，应停在第p k k 7)1(21-+格，这是P 是整数，且使0≤p k k 7)1(2
1-+≤6
，
分别取k =1，2，3，4，5，6，7时，p k k 7)1(2
1-+=1，3，6，3，1，0，0，发现第2，
4，5格没有停棋，若7<k ≤10，设k =7+t (t =1,2,3)代入可得，)1(2
177)1(21++=-+t t m p k k ，由此可知，停棋的情形与k =t 时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C ，E 和F 棋子不可能停到。

7．答案B
解：假设有整数根，不妨设它的根是2k 或2k +1（k 为整数），分别代入原方程得方程两
边的奇偶性不同的矛盾结果，所以排除A ；若a ，b ，c 分别取4，8，3则排除C ，D
8．答案C
解：每个2×2小方格图形有4种不同的画法，而位置不同的2×2小
方格图形共有12个，故画出不同位置的L 形图形案个数是12×4=48
二、填空题
9．答案：5
12 解：不难证明其公共弦就是直角三角形斜边上的高（设为h ），则5h =3×4,512=
h 10．答案：35%或65%（答对一个给3分）
解：如果平均数小于中位数，那么小于平均数的数据有35个；如果平均数大于中位数，那
么小于平均数的数据有65个，所以这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的百分比
是35%或65%
11．答案：10
解：不难验证，a 2=b 2+c 2，所以△ABC 是直角三角形，其中a 是斜边。

bsinB +csinC =102
22===+=∙+∙a a
a a
b
c a c c a b b 12．答案：2007
1003 解：方程组⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧++=-+=1
1)1(1y x k x k y k kx y 的解为直线的交点是（－1，－1） 直线⎪⎭⎫
⎝⎛-++=-+=0,1)1(,1k k x k x k y k kx y 轴的交点分别是与、 1
1121111210,1+-=+---⨯-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-k k k k k k Sk k k ，所以
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-++-+-+-=++++200712006141313121211212006321 S S S S 2007
100320071121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯= 13．答案：2
2 解：连结DM 并延长交EF 于N ，则△ADM ≌△ENM ，
∴FN =1，则FM 是等腰直角△DFN 的底边上的高，
所以FM =2
2 14．答案：
463 解：设这个等腰三角形的腰为x ，底为y ，分为的两部分边长分别为n 和2n ，得
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+3343532222;222n
y n x n y n x n y x n x x n y x n x x 或解得或 ∵3
5322n n <⨯（此时不能构成三角形，舍去） ∴取⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3
34n
y n
x 其中n 是3的倍数 三角形的面积222236633663634321n S n n n n S =∆=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯=∆对于 当n ≥0时，S △随着n 的增大而增大，故当n =3时，36
63=
∆S 取最小 三、解答题
15．解：将a =4+2b 代入ab +c 2－1=0，得2b 2+4b +c 2－1=0， ∴2
2622
c b -±-=
∵b ，c 都是整数，∴只能取⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧-==⎩⎨
⎧==1
2,12,10,1044332211c b c b c b c b 相对应a 1=4,a 2=4,a 3=0,a 4=0 故所求a +b +c 的值有4个：5，3，－1，－3
16．解：设分配给甲店铺A 款式服装x 件（x 取整数，且5≤x ≤30），则分配给甲店铺B 款装
（30－x ）件，分配给乙店铺A 款服装（35－x ）件，分配给乙店铺B 款式服装[25－(30－x )]=(x
－5)件，总毛利润（设为y 总）为：
Y 总=30x +40(30－x )+27(35－x )+36(x －5)=－x +1965
乙店铺的毛利润（设为y 乙）应满足：
Y 乙=27(35－x )+36(x －5)≥950，得x ≥9
520 对于y 总=－x +1965,y 随着x 的增大而减小，要使y 总最大，x 必须取最小值，又x ≥9520
,故取x =21，即分配给甲店铺A 、B 两种款式服装分别为21件和9件，分配给乙店铺A ，B
两种款式服装分别为14件和16件，此时既保证了乙店铺获毛利润不小于950元，又保证了
在此前提下王老板获取的总毛利润最大，
最大的总毛利润为y
总最大=－21+1965=1944（元）
17．解（1）一个圆沿着线段的一个端点无滑动地滚动到另
一个端点，圆自身转动的圈数=（线段的长度÷圆的周长），
因此若不考虑⊙O 滚动经过n 个顶点的情况，则⊙O 自身恰
好转动了一圈，现证明，当⊙O 在某边的一端，滚动经过该
端点（即顶点）时，⊙O 自身转动的角度恰好等于n 边形在
这个顶点的一个外角。

如图所示，设∠A 2A 1A n 为钝角，已知A n A 1是⊙O 的切线，
⊙O 滚动经过端点A 1后到⊙O ’的位置，此时A 1A 2是⊙O ’的切线，因此OA ⊥A n A 1，
O ’A 1⊥A 1A 2，当⊙O 转动至⊙O ’时，则∠γ就是⊙O 自身转动的角 。

∵∠γ+∠β=90°，∠α+∠β=90°，∴∠γ+∠α，即⊙O 滚动经过顶点A 1自身转动的角度恰好等
于顶点A 1的一个外角。

对于顶点是锐角或直角的情况，类似可证（注：只证明直角的情况）
∵凸n 边形的外角和为360°
∴⊙O 滚动经过n 个顶点自身又转动一圈
∴⊙O 自身转动的圈数是)1( a
b 圈 18．解：（1）该二次函数图象的顶点P 是在某条抛物线上，求该抛物线的函数表达式如下：
利用配方，得y =(x +m +1)2－m 2－3m ，顶点坐标是P （－m －1,－m 2－3m ）
方法一：分别取m =0,－1,1，得到三个顶点坐标是P 1(－1,0)、P 2(0,2)、P 3(－2,－4)，过这三
个顶点的二次函数的表达式是y =－x 2+x +2
将顶点坐标P (－m －1,－m 2－3m )代入y =－x 2+x +2的左右两边，左边=－m 2－3m ,右边=－(－
m －1)2+(－m －1)+2=－m 2－3m ，∴左边=右边，即无论m 取何值，顶点P 都在抛物线y =－
x 2+x +2上，即所求抛物线的函数表达式是y =－x 2+x +2（注：如果没有“左边=右边”的证明，
那么解法一最多只能得4分）
方法二：令－m －1=x ，将m =－x －1代入－m 2－3m ，得
－(－x －1)2－3(－x －1)=－x 2+x +2
即所求抛物线的函数表达式是y =－x 2+x +2上
（2）如果顶点P (－m －1,－m 2－3m )在直线y =x +1上，则－m 2－3m =－m －1+1，
即m 2=－2m ∴m =0或m =－2
∴当直线y =x +1经过二次函数y =x 2+2(m +1)x －m +1图象的顶点P 时，m 的值是－2或0
全国初中数学竞赛预赛（二）
一、选择题（本题共8小题，每小题6分，满分48分）：下面各题给出的选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填在题后的括号内.
1．化简22y
x x 8)x y x 4y x x 2(-÷--+得 （ ） 4
y x 3.D 4y x 3.C 4y 3x .B 4
y 3x .A ++-+-
+ 2．满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧--≥+--+<2x 35x 131x 231x 35x 的所有整数的个数为( ) A.1 B.2 C.21 D.22
3．两个相似三角形，他们的周长分别是36和12.周长较大的三角形的最大边为15，周长较小的三角形的最小边为3，则周长较大的三角形的面积是（ ）
A.52
B.54
C.56
D.58
4．由一元二次方程x 2+px +q =0的两个根为p 、q ，则p 、q 等于 （ ）
A.0
B.1
C.1或－2
D.0或1
5．如图，△ABC 中，∠B =400，AC 的垂直平分线交AC 于D ，交BC 于E ,且
∠EAB ∶∠CAE =3∶1，则∠C 等于 （ ）
A.280
B.250
C.22.50
D.200 6．全班有70%的学生参加生物小组，75%的学生参加化学小组，85%的学生参加物理小组，
90%的学生参加数学小组，则四个小组去参加的学生至少占全班的百分比是 （ ）
A.10%
B.15%
C.20%
D.25%
7．有纯农药一桶，倒出20升后用水补满；然后又倒出10升，在用水补满，这是桶中纯农药与水的容积之比为3∶5，则桶的容积为 （ ）
A.30升
B.40升
C.50升
D.60升
8．三角形的三条外角平分线所在直线相交构成的三角形 （ ）
A.一定是锐角三角形 A B E C D
B1
A1
C1
B
C A B.一定是钝角三角形 C.一定是直角三角形 D.与原三角形相似
二、填空题（本提供4小题，每小题8分，满分32分）：将答案直接填在对应题中的横线上
9．如图，在△ABC 中，AB =AC , AD ⊥BC , CG ∥AB , BG 分别交
AD ,AC 于E ,F .若
b a BE EF ，那么
BE
GE
等于 . 10.方程||x －3|+3x |=1的解是 .
11．AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条中线，若BC =a ,CA =b ,AB =c ,
则AD 2+BE 2+CF 2= .
12．有两个二位数，它们的差是58，它们的平方数的末两位数相同，则这个二位数
是 .
三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分）
13．△ABC 中，AB =1,AC =2,D 是BC 中点,AE 平分∠BAC 交BC 于E ,且DF ∥AE .求CF 的长.
A
B
C
G
F E
D
F
E D A
B C
14．某建筑公司承包了两项工程，分别由两个工程队施工，根据工程进度情况，建筑公司可随时调整两队的人数，如果从甲队调70人到乙队，则乙队人数为甲队人数的2倍，如果从乙队调若干人去甲队，则甲队人数为乙队人数的3倍，问甲队至少有多少人？
15．把数字1，2，3，…，9分别填入右图的9个圈内，要求三角形ABC和三角形DEF的每条边上三个圈内数位之和等于18.
Ⅰ给出符合要求的填法
Ⅱ共有多少种不同填法？证明你的结论
A
E
B
F
C D
参考答案（二）
一、选择题 DCBCACBA 二、填空题 9．BE b
a
EF b a AB AF BE EF =∴==
a
b ab a a b BE BE
b a
BE ab )a b )(a b (BE EF GF BE GE BE b
a
b a a b )BE b a BE (a a b )EF BE (a a b GF a
a b 1AF AB AF AF AB AF CF BF GF 222=+-=++-=+=+-=+-=+-=∴-=-=-==
10.－2或－1 11.)(4
32
22c b a ++ 12.79和21
三、解答题
13．解：分别过E 作EH ⊥AB 于H ，EG ⊥AC 于G ,因AE 平分∠BAC ,所以有EH =EG 从而有
2
1
AC AB S S CE BE AEC ABE ===∆∆ 又由DF ∥AE ,得
4
3
)121(21)1CE BE (21CE EC BE 21CE BC 21CE CD CA CF =+=+=+=== 所以CF =
⨯43CA =243⨯=2
3
14.解：设甲队有x 人，则乙队有[2(x －70)－70]人，即乙队有(2x －210)人 设从乙队调y 人去甲队，甲队人数为乙队人数的3倍，则 3(2x －210－y )=x +y , 即 x =126+
5
4y 由y >0知y 至少为5，即x =126+4=130.所以甲队至少有130人. 15.解：Ⅰ右图给出了一个符合要求的填法； Ⅱ共有6种不同填法
把填入A ,B ,C 三处圈内的三个数之
和记为x ；D ,E ,F 三处圈内的三个数之和记为y ；其余三个圈所填的数位之和为z .显然有x +y +z =1+2+…+9=45 ①
图中六条边，每条边上三个圈中之数的和为18，所以有
A
E B F
D
9
8 4
1
3
7 2
5
6
z+3y+2x=6×18=108 ②
②－①,得
X+2y=108－45=63 ③
把AB,BC,CA每一边上三个圈中的数的和相加，则可得
2x+y=3×18=54 ④
联立③，④，解得x=15，y=24，继而之z=6.
在1，2，3，…，9中三个数之和为24的仅为7，8，9，所以在D,E,F三处圈内，只能填7，8，9三个数，共有6种不同填法.显然，当这三个圈中指数一旦确定，根据题目要求，其余六个圈内指数也随之确定，从而的结论，共有6种不同的填
全国初中数学竞赛试题（三）
一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。

以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里。

不填、多填或错填均得0分）
1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ）
（A ）36 （B ）37 （C ）55 （D ）90 答：C ．
解：因为4和9的最小公倍数为36，19＋36=55，所以第二次同时经过这两种设施的千米数是在55千米处． 故选C ．
2．已知21+=m ，21-=n ，且)763)(147(2
2
--+-n n a m m =8，则a 的值等于（ ）
（A ）－5 （B ）5 （C ）－9 （D ）9 答：C ．
解：由已知可得122
=-m m ，122
=-n n ．又
)763)(147(22--+-n n a m m =8，所以 8)73)(7(=-+a 解得a =－9
故选C ．
3．Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2
x y =上，并且斜边AB 平行于x 轴．若斜边上的高为h ，则（ ）
（A ）h <1 （B ）h =1 （C ）1<h <2 （D ）h >2 答：B ．
解：设点A 的坐标为（a ，a 2），点C 的坐标为（c ，c 2）（|c |<|a |），则点B 的坐标为 （－a ，a 2），由勾股定理，得2
22
2
2
)()(a c a c AC -+-=，
22222)()(a c a c BC -++=， 222AB BC AC =+
所以 2
2222)(c a c a -=-．
由于2
2
c a >，所以a 2－c 2=1，故斜边AB 上高h = a 2－c 2=1 故选B ．
4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，
再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）
（A ）2004 （B ）2005 （C ）2006 （D ）2007 答：B ．
解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过k 次后，可得(k ＋1)个多边形，这些多边形的内角和为(k ＋1)×360°．
因为这(k ＋1)个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为34×(62－2)×180°=34×60×180°，其余多边形有(k ＋1)－34= k －33(个)，而这些多边形的内角和不少于(k －33) ×180°．所以(k ＋1)×360°≥34×60×180°＋(k －33)×180°，解得k ≥2005．
当我们按如下方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便34个六十二边形和33×58个三角形．于是共剪了 58＋33＋33×58=2005（刀）．
故选B ．
5．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ．若QP =QO ，则
QA
QC
的值为（ ） （A ）132-
（B ）32 （C ）23+
（第5题图）
A
B
C
D O
Q
P
（D ）23+ 答：D ．
解：如图，设⊙O 的半径为r ，QO =m ，则QP =m ，QC =r ＋m ， QA =r －m ．
在⊙O 中，根据相交弦定理，得QA ·QC =QP ·QD ．
即 (r －m )(r ＋m )=m ·QD ，所以 QD =m
m r 22-．
连结DO ，由勾股定理，得QD 2=DO 2＋QO 2，
即 222
2
2m r m
m r +=⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-， 解得r m 33= 所以，
231
313+=-+=-+=m r m r QA QC 故选D ．
二、填空题 （共5小题，每小题6分，满分30分）
6．已知a ，b ，c 为整数，且a ＋b =2006，c －a =2005．若a <b ，则a ＋b ＋c 的最大值
为 ． 答：5013．
解：由2006=+b a ，2005=-a c ，得 4011+=++a c b a ． 因为2006=+b a ，a <b ，a 为整数，所以，a 的最大值为1002． 于是，a ＋b ＋c 的最大值为5013．
7．如图，面积为c b a -的正方形DEFG 内接于 面积为1的正三角形ABC ，其中a ，b ，c 为整数， 且b 不能被任何质数的平方整除，则b
c
a -的值 等于 ．
答：3
20-．
解：设正方形DEFG 的边长为x ，正三角形ABC 的边长为m ，则3
42
=
m ，
（第7题图）
A
B
C
D G
F
E （第5题图）
A
B
C
D O Q P
由△ADG ∽△ABC ，可得m x
m m x 2
3
23
-=， 解得m x )332(-= 于是 48328)332(2
22-=-=m x ，
由题意，28=a ，3=b ，48=c ，所以
3
20
-=-b c a ． 8．正五边形广场ABCDE 的周长为2000米．甲、乙两人分别从A 、C 两点同时出发，沿A →B →C →D →E →A →…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分．那么出发后经过 分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上． 答：104．
解：设甲走完x 条边时，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上，此时甲走了400x
米，乙走了46×
50
400x
=368x 米．于是368(x －1)＋800－400(x －1)>400， 所以，12.5≤x <13.5． 故x =13，此时10450
13
400=⨯=t ．
9．已知0<a <1，且满足183029302301=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+
a a a ，则[]a 10的值等于 ．([]x 表示不超过x 的最大整数) 答：6． 解：因为0<23029302301<+<<+<+
a a a ，所以⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+301a ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+302a ，…，
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
+3029a 等于0或1．由题设知，其中有18个等于1，所以 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+3011302301a a a =0，⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+302930133012a a a =1， 所以 130110<+
<a ，1≤3012
+a ＜2． 故18≤30a ＜19，于是6≤10 a ＜3
19
，所以[]a 10=6．
10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，
成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六
位数的81倍，则小明家原来的电话号码是 ． 答：282500．
解：设原来电话号码的六位数为abcdef ，则经过两次升位后电话号码的八位数为
bcdef a 82．根据题意，有81×abcdef =bcdef a 82．
记f e d c b x +⨯+⨯+⨯+⨯=101010102
3
4
，于是 x a x a +⨯+⨯=+⨯⨯6
5
5
1010208811081，
解得x =1250×(208－71a ) ．
因为0≤x ＜5
10，所以0≤1250×(208－71a )＜5
10，故
a <71128≤
71
208
． 因为a 为整数，所以a =2．于是x =1250×(208－71×2)=82500．
所以，小明家原来的电话号码为282500． 三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分） 11．已知a
b
x =
，a ，b 为互质的正整数（即a ，b 是正整数，且它们的最大公约数为1），且a ≤8，1312-<
<-x ．
（1）试写出一个满足条件的x ； （2）求所有满足条件的x ．
解：（1）21
=
x 满足条件． ……………5分 （2）因为a b
x =，a ，为互质的正整数，且a ≤8，所以
1312-<<-a
b
， 即 a b a )()(1312-<<-．
当a =1时，113112⨯-<<⨯-)()(b ，这样的正整数b 不存在．
当a =2时，213212⨯-<<⨯-)()(b ，故b =1，此时21
=
x ． 当a =3时，313312⨯-<<⨯-)()(b ，故b =2，此时3
2
=x ．
当a =4时，413412⨯-<<⨯-)()(b ，与a 互质的正整数b 不存在． 当a =5时，513512⨯-<<⨯-)()(b ，故b =3，此时5
3=
x ． 当a =6时，613612⨯-<<⨯-)()(b ，与a 互质的正整数b 不存在．
当a =7时，713712⨯-<<⨯-)()(b ，故b =3，4，5此时73=x ，74，7
5． 当a =8时，813812⨯-<<⨯-)()(b ，故b =5，此时8
5=x 所以，满足条件的所有分数为
21，32，53，73，74，75，8
5
．………………15分 12．设a ，b ，c 为互不相等的实数，且满足关系式
14162222++=+a a c b ① 542--=a a bc ②
求a 的取值范围．
解法一：由①－2×②得01242
>+=-)()(a c b ，所以a >－1．
当a >－1时， 1416222
2
++=+a a c b =0712>++))((a a ．………………10分 又当b a =时，由①，②得 14162
2
++=a a c ， ③
542--=a a ac ④
将④两边平方，结合③得2
2
2
2
541416)()(--=++a a a a a
化简得 025408242
3=--+a a a ， 故 0524562
=--+))((a a a ，
解得6
5
-
=a ，或4211±=a ．
所以，a 的取值范围为a >－1且6
5
-
≠a ，4211±≠a ．………………………15分
解法二：因为141622
2
2
++=+a a c b ，542
--=a a bc ，所以
222221448454214162)()()(+=++=--+++=+a a a a a a a c b ，
所以 )(12+±=+a c b ． 又542
--=a a bc ，所以b ，c 为一元二次方程
0541222=--++±a a x a x )( ⑤
的两个不相等实数根，故0544142
2
>---+=∆)()(a a a ，所以a >－1．
当a >－1时， 141622
22++=+a a c b =0712>++))((a a ．………………10分 另外，当b a =时，由⑤式有 054122
2
=--++±a a a a a )(，
即 05242
=--a a 或 056=--a ，解得，4211±=
a 或6
5
-=a ． 当c a =时，同理可得6
5
-
=a 或4211±=a ．
所以，a 的取值范围为a >－1且6
5
-
≠a ，4211±≠a ．………………………15分
13．如图，点P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ．过点A 作PB 的平行线，交⊙O 于点C ．连结PC ，交⊙O 于点E ；连结AE ，并延长AE 交PB 于点K ．求证：PE ·AC =CE ·KB ．
证明：因为AC ∥PB ，所以∠KPE =∠ACE ．又P A 是⊙O 的切线， 所以∠KAP =∠ACE ，故∠KPE =∠KAP ，于是 △KPE ∽△KAP ，
所以 KP
KE KA KP =
， 即 KA KE KP ⋅=2
． 由切割线定理得 KA KE KB ⋅=2
所以 KB KP =． ………………10分 因为AC ∥PB ，△KPE ∽△ACE ，于是
AC KP CE PE = 故 AC
KB
CE PE =
， 即 PE ·AC =CE ·KB ． ………………………………15分
14．10个学生参加n 个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小
组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．求n 的最小值．
解：设10个学生为1S ，2S ，…，10S ，n 个课外小组1G ，2G ，…，n G ． 首先，每个学生至少参加两个课外小组．否则，若有一个学生只参加一个课外小组，设这个学生为1S ，由于每两个学生至少在某一个小组内出现过，所以其它9个学生都与他在同一组出现，于是这一组就有10个人了，矛盾． …………5分
若有一学生恰好参加两个课外小组，不妨设1S 恰好参加1G ，2G ，由题设，对于这两组，至少有两个学生，他们没有参加这两组，于是他们与1S 没有同过组，矛盾．
（第13题）
A
B
C
O
P
E
K
所以，每一个学生至少参加三个课外小组．于是n 个课外小组1G ，2G ，…，n G 的人数之和不小于3×10=30．
另一方面，每一课外小组的人数不超过5，所以n 个课外小组1G ，2G ，…，n G 的人数不超过5n ， 故 5n ≥30， 所以n ≥6． ……………………………10分
下面构造一个例子说明n =6是可以的．
}{543211S S S S S G ,,,,=，}{876212S S S S S G ,,,,=，}{1096313S S S S S G ,,,,=， }{1097424S S S S S G ,,,,=，}{987535S S S S S G ,,,,=，}{1086546S S S S S G ,,,,=．
容易验证，这样的6个课外小组满足题设条件．
所以，n 的最小值为6． ……………………………15分。