北京四中2014-2015学年八年级上学期期中数学试卷 (解析版)

北京四中2014-2015学年八年级上学期期中数学试卷
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1．剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产，在民间广泛流传．下面四幅剪纸作品中，属于轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．下列各式不能分解因式的是（）
A．2x2﹣4x B．C．x2+9y2D．1﹣m2
3．点P（﹣3，5）关于y轴的对称点的坐标是（）
A．（3，5）B．（3，﹣5）C．（5，﹣3）D．（﹣3，﹣5）
4．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3cm，则点D到AB的距离DE是（）
A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
5．下列各式中，正确的是（）
A．B．C．D．
6．下列命题是真命题的是（）
A．等底等高的两个三角形全等
B．周长相等的直角三角形都全等
C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
D．有一边对应相等的两个等边三角形全等
7．如图，D是等腰Rt△ABC内一点，BC是斜边，如果将△ABD绕点A按逆时针方向旋转到△ACD′
的位置，则∠ADD′的度数是（）
A．25°B．30°C．35°D．45°
8．在等腰△ABC中，已知AB=2BC，AB=20，则△ABC的周长为（）
A．40 B．50 C．40或50 D．无法确定
9．已知三角形的两边长分别为5和7，则第三边的中线长x的取值范围是（）
A．2＜x＜12 B．5＜x＜7 C．1＜x＜6 D．无法确定
10．如图，在△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC的延长线于F，垂足为E．则结论：①AD=BF；②CF=CD；③AC+CD=AB；④BE=CF；⑤BF=2BE
其中正确结论的个数是（）
A．1B．2 C．3 D．4
二、填空题（本题共20分，每小题2分）
11．若式子有意义，则x的取值范围是．
12．计算= ．
13．如图，等腰三角形ABC中AB=AC，∠A=20°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE= ．
15．若a+b=7，ab=5，则a2﹣ab+b2= ．
16．当x取值时，x2+6x+10有最小值，最小值是．
17．某农场开挖一条长480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，如果设原计划每天挖x米，那么根据题意可列方程为．
18．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，在BC上截取BD=BA，作∠ABC的平分线与AD 相交于点P，连结PC，若BD=2CD，△ABC的面积为2cm2，则△DPC的面积为．
19．如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A=60°，∠1=90°，则∠2的度数为．
20．如果满足条件“∠ABC=30°，AC=1，BC=k（k＞0）”的△ABC是唯一的，那么k的取值范围
是．
三、解答题
21．把多项式分解因式：
（1）3a3b﹣12ab3；
（2）（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）+4．
22．（1）计算：；（2）解方程：．
23．已知：如图，A、B、C、D四点在同一直线上，AB=CD，AE∥BF且AE=BF．
求证：EC=FD．
24．（1）先化简，再求值：（），其中m=9；
（2）已知=3，求代数式的值．
25．列分式方程解应用题：（温馨提示：你可借助图示、表格等形式“挖掘”等量关系）
赵老师为了响应市政府“绿色出行”的号召，上下班由自驾车方式改为骑自行车方式．已知赵老师家距学校20千米，上下班高峰时段，自驾车的速度是自行车速度的2倍，骑自行车所用时间比自驾车所用时间多小时．求自驾车速度和自行速度各是多少．
四、解答题
26．某地区要在区域S 内 （即∠COD 内部） 建一个超市M ，如图所示，按照要求，超市M 到两个新建的居民小区A ，B 的距离相等，到两条公路OC ，OD 的距离也相等．这个超市应该建在何处？（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
27．阅读下列材料：
如图1，在四边形ABCD 中，已知∠ACB=∠BAD=105°，∠ABC=∠ADC=45°．求证：CD=AB ．
小刚是这样思考的：由已知可得，∠CAB=30°，∠DAC=75°，∠DCA=60°，∠ACB+∠DAC=180°，由求证及特殊角度数可联想到构造特殊三角形．即过点A 作AE ⊥AB 交BC 的延长线于点E ，则AB=AE ，∠E=∠D ． 在△ADC 与△CEA 中，
∵
∴△ADC ≌△CEA ， 得CD=AE=AB ．
请你参考小刚同学思考问题的方法，解决下面问题：
如图2，在四边形ABCD 中，若∠ACB+∠CAD=180°，∠B=∠D ，请问：CD 与AB 是否相等？若相等，请你给出证明；若不相等，请说明理由．
28．在等边△ABC中，D为射线BC上一点，CE是∠ACB外角的平分线，∠ADE=60°，EF⊥BC于F．（1）如图1，若点D在线段BC上．求证：①AD=DE；②BC=DC+2CF；
（2）如图2，若点D在线段BC的延长线上，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由．29．已知a2﹣3a﹣1=0，求a6+120a﹣2=．
30．如图中，∠ABC=∠BCD=∠DAB=45°，BD=2，求四边形ABCD的面积为．
31．已知：m2=n+2，n2=m+2（m≠n），求：m3﹣2mn+n3的值．
32．已知：△ABC中，∠ABC=2∠ACB，∠ABC的平分线BD与∠ACB的平分线CD相交于点D，且CD=AB，求证：∠A=60°．
北京四中2014-2015学年八年级上学期期中数学试卷
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1．剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产，在民间广泛流传．下面四幅剪纸作品中，属于轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
考点：轴对称图形．
分析：依据轴对称图形的定义，即一个图形沿某条直线对折，对折后的两部分能完全重合，则这条直线即为图形的对称轴，从而可以解答题目．
解答：解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
点评：此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．下列各式不能分解因式的是（）
A．2x2﹣4x B．C．x2+9y2D．1﹣m2
考点：因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．
专题：计算题．
分析：A、提取公因式分解因式，本选项不合题意；
B、利用完全平方公式分解因式，本选项不合题意；
C、本选项不能分解因式，符合题意；
D、利用平方差公式分解因式，本选项不合题意．
解答：解：A、2x2﹣4x=2x（x﹣2），本选项不合题意；
B、x2+x+=（x+）2，本选项不合题意；
C、x2+9y2不能分解因式，本选项符合题意；
D、1﹣m2=（1+m）（1﹣m），本选项不合题意．
故选C．
点评：此题考查了因式分解﹣运用公式法及提公因式法，熟练掌握公式是解本题的关键．
3．点P（﹣3，5）关于y轴的对称点的坐标是（）
A．（3，5）B．（3，﹣5）C．（5，﹣3）D．（﹣3，﹣5）
分析：根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y）即可得出答案．
解答：解：根据关于纵轴的对称点：纵坐标相同，横坐标变成相反数，
∴点P（﹣3，5）关于y轴的对称点的坐标是（3，5），
故选：A．
点评：本题主要考查了关于横轴的对称点：横坐标相同，纵坐标变成相反数；关于纵轴的对称点：纵坐标相同，横坐标变成相反数，比较简单．
4．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3cm，则点D到AB的距
离DE是（）
A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
考点：角平分线的性质．
分析：过D作DE⊥AB于E，由已知条件，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答．
解答：解：过D作DE⊥AB于E，
∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD，
∵CD=3cm，
∴DE=3cm．
故选C．
点评：本题主要考查角平分线的性质；作出辅助线是正确解答本题的关键．
5．下列各式中，正确的是（）
A．B．C．D．
考点：分式的基本性质．
专题：计算题．
分析：利用分式的基本性质化简各项得到结果，即可作出判断．
解答：解：A、﹣=，本选项错误；
C、=，本选项错误；
D、﹣=，本选项正确．
故选：D．
点评：此题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键．
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6．下列命题是真命题的是（）
A．等底等高的两个三角形全等
B．周长相等的直角三角形都全等
C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
D．有一边对应相等的两个等边三角形全等
考点：命题与定理；全等三角形的判定．
分析：根据全等三角形的判定方法对各选项分析判断利用排除法求解．
解答：解：A、等底等高的两个三角形全等，是假命题，故本选项错误；
B、周长相等的直角三角形都全等，是假命题，故本选项错误；
C、有两边和一角对应相等的两个三角形全等，是假命题，因为一角没有说明是两边的夹角，故本选项错误；
D、有一边对应相等的两个等边三角形全等是真命题，故本选项正确．
故选D．
点评：本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7．如图，D是等腰Rt△ABC内一点，BC是斜边，如果将△ABD绕点A按逆时针方向旋转到△ACD′的位置，则∠ADD′的度数是（）
A．25°B．30°C．35°D．45°
考点：旋转的性质．
分析：根据旋转的性质结合三角形的性质作答．
解答：解：∵将△ABD绕点A按逆时针方向旋转到△ACD′的位置，
∴AD=AD′，∠DAD′=∠BAC=90°，即△ADD′是等腰直角三角形，
∴∠ADD′=45°．
故选D．
点评：本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点为旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
8．在等腰△ABC中，已知AB=2BC，AB=20，则△ABC的周长为（）
A．40 B．50 C．40或50 D．无法确定
分析：先求出BC的长为10，再分腰长是10或20，两种情况都可能出现，因而分两种情况确定三角形的边长，即可求出周长．
解答：解：∵AB=2BC，AB=20，
∴BC=10，
三角形的腰长是10时，三角形的三边长是：10，10，20，不能构成三角形；
当三角形的腰长是20时，三角形的三边长是：10，20，20，则周长是：10+20+20=50．
故选B．
点评：本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
9．已知三角形的两边长分别为5和7，则第三边的中线长x的取值范围是（）
A．2＜x＜12 B．5＜x＜7 C．1＜x＜6 D．无法确定
考点：全等三角形的判定与性质；三角形三边关系．
分析：延长AD至E，使AD=DE，即可求证△BDE≌△CDA，在△ABE中，根据任意两边之和大于
解答：解：延长AD至E，使AD=DE，
第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解．
如图所示，AB=5，AC=7，
设BC=2a，AD=x，
在△BDE与△CDA中，
，
∴△BDE≌△CDA，（SAS）
∴AE=2x，BE=AC=7，
在△ABE中，BE﹣AB＜AE＜AB+BE，即7﹣5＜2x＜7+5，
∴1＜x＜6．
故选C．
点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证
△BDE≌△CDA是解题的关键．
10．如图，在△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC的延长线于F，垂足其中正确结论的个数是（）
为E．则结论：①AD=BF；②CF=CD；③AC+CD=AB；④BE=CF；⑤BF=2BE
A ． 1
B ． 2
C ． 3
D ． 4
考点： 线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
专题： 探究型． 分析： ①根据BC=AC ，∠ACB=90°可知∠CAB=∠ABC=45°，再由AD 平分∠BAC 可知
∠BAE=∠EAF=22.5°，在Rt △ACD 与Rt △BFC 中，∠EAF+∠F=90°，∠FBC+∠F=90°，可求出
∠EAF=∠FBC ，由BC=AC 可求出Rt △ADC ≌Rt △BFC ，故可求出AD=BF ； ②由①中Rt △ADC ≌Rt △BFC 可直接得出结论；
③由①中Rt △ADC ≌Rt △BFC 可知，CF=CD ，故AC+CD=AC+CF=AF ，∠CBF=∠EAF=22.5°，在Rt △AEF 中，∠F=90°﹣∠EAF=67.5°，根据∠CAB=45°可知，∠ABF=180°﹣∠EAF ﹣∠CAB=67.5°，即可求出AF=AB ，即AC+CD=AB ；
④由③可知，△ABF 是等腰三角形，由于BE ⊥AD ，故BE=BF ，在Rt △BCF 中，若BE=CF ，则∠CBF=30°，与②中∠CBF=22.5°相矛盾，故BE ≠CF ；
⑤由③可知，△ABF 是等腰三角形，由于BE ⊥AD ，根据等腰三角形三线合一的性质即可解答． 解答： 解：①∵BC=AC ，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠ABC=45°，
∵AD 平分∠BAC ，
∴∠BAE=∠EAF=22.5°，
∵在Rt △ACD 与Rt △BFC 中，∠EAF+∠F=90°，∠FBC+∠F=90°，
∴∠EAF=∠FBC ，
∵BC=AC ，∠EAF=∠FBC ，∠BCF=∠AEF ，
∴Rt △ADC ≌Rt △BFC ，
∴AD=BF ； 故①正确；
②∵①中Rt △ADC ≌Rt △BFC ，[来源:学.科.网Z.X.X.K]
∴CF=CD ， 故②正确；
③∵①中Rt △ADC ≌Rt △BFC ，
∴CF=CD ，AC+CD=AC+CF=AF ，
∵∠CBF=∠EAF=22.5°，
∴在Rt △AEF 中，∠F=90°﹣∠EAF=67.5°，
∵∠CAB=45°，
∴∠ABF=180°﹣∠F ﹣∠CAB=180°﹣67.5°﹣45°=67.5°，
∴AF=AB ，即AC+CD=AB ， 故③正确；
④由③可知，△ABF 是等腰三角形，
∵BE ⊥AD ， ∴BE=BF ，
∵在Rt △BCF 中，若BE=CF ，则∠CBF=30°，与②中∠CBF=22.5°相矛盾， 故BE ≠CF ，
故④错误；
⑤由③可知，△ABF 是等腰三角形，[来源:学&科&网Z&X&X&K]
∵BE ⊥AD ，
∴BF=2BE ， 故⑤正确．
所以①②③⑤四项正确．
故选D．
点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，熟知线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质是解答此题的关键．
二、填空题（本题共20分，每小题2分）
11．若式子有意义，则x的取值范围是x≠4．
考点：分式有意义的条件．
分析：根据分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．就可以求解．
解答：解：根据题意得：x﹣4≠0，解得：x≠4．
故答案是：x≠4．
点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．
12．计算=．
考点：分式的加减法．
分析：先通分，再根据同分母的分数相加减的法则进行计算即可．
解答：解：原式=﹣
=
=﹣．
故答案为：﹣．
点评：本题考查的是分式的加减法，熟知同分母的分式想加减，分母不变，把分子相加减是解答此题的关键．
13．如图，等腰三角形ABC中AB=AC，∠A=20°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE=60°．
考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
分析：由DE是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可求得AAE=BE，然后由等边对等角，可求得∠ABE的度数，又由等腰三角形ABC中AB=AC，∠A=20°，即可求得∠ABC的度数，继而求得答案．
解答：解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=20°，
∵等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=20°，
∴∠ABC=∠C==80°，
∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=80°﹣20°=60°．
故答案为：60°．
点评：此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
14．若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为﹣1．
考点：因式分解的意义．
专题：计算题．
分析：将因式分解的结果利用多项式乘以多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件求出k与b 的值，即可求出k+b的值．
解答：解：由题意得：x2+kx+b=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3，
∴k=﹣4，b=3，
则k+b=﹣4+3=﹣1．
故答案为：﹣1
点评：此题考查了因式分解的意义，以及多项式相等的条件，熟练掌握因式分解的意义是解本题的关键．
15．若a+b=7，ab=5，则a2﹣ab+b2=34．
考点：完全平方公式．
分析：先根据完全平方公式变形，再整体代入求出即可．
解答：解：∵a+b=7，ab=5，
∴a2﹣ab+b2=（a+b）2﹣3ab=72﹣3×5=34，
故答案为：34．
点评：本题考查了完全平方公式的应用，注意：完全平方公式是：（a+b）2=a2+2ab+b2，（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．
16．当x取﹣3值时，x2+6x+10有最小值，最小值是1．
考点：配方法的应用；非负数的性质：偶次方．
分析：把多项式x2+6x+10凑成完全平方式加常数项的形式．
解答：解：x2+6x+10，
=x2+6x+9+1，
=（x+3）2+1，
所以当x+3=0，即x=﹣3时，多项式x2+6x+10有最小值1．
故答案是：﹣3，1．
点评：此题主要考查了配方法的应用和非负数的性质，即完全平方式的值是大于等于0的，它的最小值为0．所以在求一个多项式的最小值时常常用凑完全平方式的方法进行求值．
17．（2分）某农场开挖一条长480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，如果设原计划每天挖x米，那么根据题意可列方程为﹣=4．
考点：由实际问题抽象出分式方程．
分析：如果设原计划每天挖x米，根据某农场开挖一条长480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务可列出方程．
解答：解：设原计划每天挖x米，
﹣=4．
故答案为：﹣=4．
点评：本题考查理解题意的能力，关键是设出未知数，根据时间做为等量关系列方程求解．
18．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，在BC上截取BD=BA，作∠ABC的平分线与AD 相交于点P，连结PC，若BD=2CD，△ABC的面积为2cm2，则△DPC的面积为．
考点：等腰直角三角形；等腰三角形的性质．
分析：根据等腰三角形三线合一的性质可得AP=PD，然后根据等底等高的三角形面积相等求出△BPC 的面积等于△ABC面积的一半，根据不同底等高的△DPC的面积等于△BPC的面积的代入数据计算即可得解．
解答：解：∵BD=BA，BP是∠ABC的平分线，
∴AP=PD，
∴S△BPD=S△ABD，S△CPD=S△ACD，
∴S△BPC=S△BPD+S△CPD=S△ABD+S△ACD=S△ABC，
∵△ABC的面积为2cm2，
∴S△BPC=×2=1cm2，
∵BD=2CD，
∴3DC=BC，
=S△BPC=．
故答案为．
点评：本题考查了等腰三角形三线合一的性质，三角形的面积，利用等底等高的三角形的面积相等求出△BPC的面积与△ABC的面积的关系是解题的关键．
19．如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A=60°，∠1=90°，则∠2的度数为30°．
考点：三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．
分析：根据三角形的内角和等于180°列式求出∠B′+∠C′，∠AEF+∠AFE，再利用四边形的内角和定
理列式计算即可得解．
解答：解：∵∠A=60°，
∴∠B′+∠C′=∠AEF+∠AFE=180°﹣60°=120°，
在四边形B′EFC′中，∠2=360°﹣120°×2﹣90°=30°．
故答案为：30°．
点评：本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，四边形的内角和等于360°，熟记定理并准确识图是解题的关键．
20．如果满足条件“∠ABC=30°，AC=1，BC=k（k＞0）”的△ABC是唯一的，那么k的取值范围是k=2或0＜k≤1．
考点：全等三角形的判定．
分析：要对三角形解得各种情况进行讨论即：无解、有1个解、有2个解，从中得出恰有一个解时k 满足的条件．
解答：解：当AC＜BCsin∠ABC，即1＜ksin30°，即k＞2时，三角形无解；
当AC=BCsin∠ABC，即1=ksin30°，即k=2时，有一解；
当BCsin∠ABC＜AC＜BC，即ksin30°＜1＜k，即1＜k＜2，三角形有2个解；
当0＜BC≤AC，即0＜k≤1时，三角形有1个解．
综上所述，k的取值范围是k=2或0＜k≤1．
故答案是：k=2或0＜k≤1．
点评：本题属于解三角形的题型，主要考查了三角形解个数的问题，重在分情况分类讨论．易错点在于可能漏掉k=2的情况．
三、解答题
21．把多项式分解因式：
（1）3a3b﹣12ab3；
（2）（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）+4．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
专题：计算题．
分析：（1）原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可；
（2）原式利用完全平方公式分解，计算即可．
解答：解：（1）原式=3ab（a2﹣4b2）=2ab（a+b）（a﹣2b）；
（2）原式=（x2﹣x﹣2）2=[（x﹣2）（x+1）]2=（x﹣2）2（x+1）2．
点评：此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．22．（1）计算：；
（2）解方程：．
考点：解分式方程；分式的混合运算．
专题：计算题．
分析：（1）原式第一项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：（1）原式=•﹣
=﹣
=
=﹣；
（2）去分母得：x﹣5=8x﹣12，
移项合并得：7x=7，
解得：x=1．
点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
23．已知：如图，A、B、C、D四点在同一直线上，AB=CD，AE∥BF且AE=BF．
求证：EC=FD．
考点：全等三角形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：根据平行线的性质得到∠A=∠FBD，由AB=CD可得到AC=BD，然后根据三角形全等的判定
解答：解：∵AE∥BF，
方法可证出△AEC≌△BFD，再根据全等的性质即可得到结论．
∴∠A=∠FBD，
又∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC．
即AC=BD，
在△AEC和△BFD中
，
∴△AEC≌△BFD（SAS），
∴EC=FD．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组边对应相等，且它们所夹的角对应相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等，对应角相等．
24．（1）先化简，再求值：（），其中m=9；
（2）已知=3，求代数式的值．
考点：分式的化简求值．
分析：（1）先化简，再代入求值即可；
（2）先得出x﹣y与xy，再化简求值即可．
解答：解：（1）（）
=，
=．
当m=9时，原式=．
（2）∵，
∴x﹣y=﹣3xy
∴=．
点评：本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是正确的分简．
25．列分式方程解应用题：（温馨提示：你可借助图示、表格等形式“挖掘”等量关系）
赵老师为了响应市政府“绿色出行”的号召，上下班由自驾车方式改为骑自行车方式．已知赵老师家距学校20千米，上下班高峰时段，自驾车的速度是自行车速度的2倍，骑自行车所用时间比自驾车所用时间多小时．求自驾车速度和自行速度各是多少．
考点：分式方程的应用．
分析：根据题目中的关键语句“骑自行车所用时间比自驾车所用时间多小时”，找到等量关系列出分式方程求解即可．
解答：解：设自行车速度为x km/h，则汽车的速度为2x km/h，
依题意得：，
解方程得：180﹣90=5x
∴x=18，
经检验：x=18是所列方程的解，且符合实际意义，
∴2x=36
答：自行车速度为18km/h，汽车的速度为36km/h．
点评：此题考查列分式方程解应用题，寻找题中的相等关系是关键．
四、解答题
26．某地区要在区域S内（即∠COD内部）建一个超市M，如图所示，按照要求，超市M到两个新建的居民小区A，B的距离相等，到两条公路OC，OD的距离也相等．这个超市应该建在何处？（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
考点：作图—基本作图．
专题：作图题．
分析：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，超市M建在∠COD的平分线上，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可知超市应建在AB的垂直平分线上，所以作出两线的交解答：解：
点即可．
如图所示，点M就是所要求作的建立超市的位置．
点评：本题主要考查了基本作图，有作线段的垂直平分线，角的平分线，是基本作图，需要熟练掌握．27．阅读下列材料：
如图1，在四边形ABCD中，已知∠ACB=∠BAD=105°，∠ABC=∠ADC=45°．求证：CD=AB．
小刚是这样思考的：由已知可得，∠CAB=30°，∠DAC=75°，∠DCA=60°，∠ACB+∠DAC=180°，由求证及特殊角度数可联想到构造特殊三角形．即过点A 作AE ⊥AB 交BC 的延长线于点E ，则AB=AE ，∠E=∠D ． 在△ADC 与△CEA 中，
∵
∴△ADC ≌△CEA ， 得CD=AE=AB ．
请你参考小刚同学思考问题的方法，解决下面问题：
如图2，在四边形ABCD 中，若∠ACB+∠CAD=180°，∠B=∠D ，请问：CD 与AB 是否相等？若相等，请你给出证明；若不相等，请说明理由．
考点： 全等三角形的判定与性质．
分析： 作AE=AB 交BC 延长线于E 点，则∠B=∠E ，而∠B=∠D ，得到∠D=∠E ，由
∠ACB+∠DAC=180°，∠ACB+∠ECA=180°可得到∠DAC=∠ECA ，然后根据“AAS ”可判断△DAC ≌△ECA ，根据全等的性质得CD=AE ，于是有CD=AB ．
解答： 答：CD 与AB 相等．
证明如下：作AE=AB 交BC 延长线于E 点， ∴∠B=∠E
∵∠B=∠D
∴∠D=∠E ，
∵∠ACB+∠DAC=180°，∠ACB+∠ECA=180°，
∴∠DAC=∠ECA ，
∵在△DAC 和△ECA 中，
，
∴△DAC ≌△ECA （AAS ），
∴CD=AE
∴CD=AB ．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．
28．在等边△ABC中，D为射线BC上一点，CE是∠ACB外角的平分线，∠ADE=60°，EF⊥BC于F．（1）如图1，若点D在线段BC上．求证：①AD=DE；②BC=DC+2CF；
（2）如图2，若点D在线段BC的延长线上，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由．
考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
分析：（1）过D作DG∥AC交AB延长线于G，证得△AGD≌△DCE，得出：①AD=DE；进一步（2）证明方法同（1）得出①成立；②不成立．
利用GD=CE，BD=CE得出②BC=DC+2CF；
解答：证明：（1）如图，
①过D作DG∥AC交AB于G
∵△ABC是等边三角形，AB=BC，
∴∠B=∠ACB=60°
∴∠BDG=∠ACB=60°，
∴∠BGD=60°
∴△BDG是等边三角形，
∴BG=BD
∴AG=DC
∵CE是∠ACB外角的平分线，
∴∠DCE=120°=∠AGD
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB+∠EDC=120°=∠ADB+∠DAG
∴∠EDC=∠DAG，
在△AGD和△DCE中，
，
∴△AGD≌△DCE（SAS）
∴AD=DE
②∵△AGD≌△DCE，
∴GD=CE，
∴BD=CE
∴BC=CE+DC=DC+2CF
（2）过D作DG∥AC交AB延长线于G，
①成立；
∵DG∥AC
AG=DC
∠BFGD=∠BDG=∠B=60°
∠AGD=180°﹣60°=120°
∵∠ACB=60，CE是∠ACB的外角平分线
∴∠ACE=×（180°﹣∠ACB）=60°
∠DCE=120°
∵∠GAD=∠BGD﹣∠ADG=60°﹣∠ADG
∵∠CDE=180°﹣∠GDB﹣∠ADE﹣∠ADG=180°﹣60°﹣60°﹣∠ADG=60°﹣∠ADG 在△AGD和△DCE中，
，
∴△AGD≌△DCE（ASA），
AD=DE
②不成立，此时BC=2CF﹣CD
∵△AGD≌△DCE，
∴GD=CE，
∴BD=CE
∴BC=BD﹣CD=CE﹣DC=2CF﹣CD．
点评：此题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定，利用边角关系以及等量代换求得结论．
29．已知a2﹣3a﹣1=0，求a6+120a﹣2=1309．
考点：分式的混合运算．
专题：计算题．
分析：由已知等式得到a2=3a+1，化简a6的值，利用a2﹣3a=1化简120a﹣2，再相加即可求出结果．
解答：解：∵a2﹣3a﹣1=0，
∴a2=3a+1，
a6=（a2）3=（3a+1）2（3a+1）=（9a2+6a+1）（3a+1）=[9×（3a+1）+6a+1]（3a+1）=（33a+10）（3a+1）=99a2+63a+10=99（3a+1）+63a+10=360a+109，
∵a2﹣3a=1，
120a﹣2=（a2﹣3a）=120﹣=120﹣×（a2﹣3a）=120﹣360a+1080，
∴a6+120a﹣2=360a+109+120﹣360a+1080=1309．
点评：本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是利用a2=3a+1及a2﹣3a=1化简求和．
30．如图中，∠ABC=∠BCD=∠DAB=45°，BD=2，求四边形ABCD的面积为2．
[来源:学&科&网Z&X&X&K]
考点：等腰直角三角形；三角形的面积；勾股定理．
分析：分别延长AD、CD，交BC、AB于点E、F，设DE=x，BE=y，可分别表示出BC、DF、AB，可表示出四边形ABCD的面积，整理可求得其面积．
解答：解：延长AD交BC于点E，延长CD交AB于点F，
设DE=x，BE=y，
∵∠C=∠A=∠ABC=45°，
∴AE⊥BC，CF⊥AB，
∴CE=DE=x，CD=x，
∴AD=AE﹣DE=y﹣x，
∴AB=BE=y，DF=（y﹣x）
∴S四边形ABCD=S△BCD+S△ABD=BC•DE+AB•DF=x（y+x）+×（y﹣x）×y=（xy+x2+y2﹣xy）
=（x2+y2），
在Rt△BDE中，x2+y2=BD2=4，
∴S四边形ABCD=×4=2．
故答案为：2．
点评：本题主要考查等腰直角三角形的性质，利用条件构造出等腰直角三角形，设出边长表示出四边形的面积是解题的关键．
31．已知：m2=n+2，n2=m+2（m≠n），求：m3﹣2mn+n3的值．
考点：因式分解的应用；因式分解-提公因式法．
专题：因式分解．
分析：用降次的方法把m3和n3降次，m3=m•m2=m（n+2），n3=n•n2=n（m+2），达到降次的目的，然后再因式分解．
解答：解：∵m2=n+2，n2=m+2
∴m2﹣n2=（n+2）﹣（m+2）
=n﹣m
又∵m2﹣n2=（m+n）（m﹣n）
∴（m+n）（m﹣n）=n﹣m
∵m≠n
∴m+n=﹣1
∴m3﹣2mn+n3
=m（n+2）﹣2mn+n（m+2）
=2（m+n）
=2×（﹣1）
=﹣2．
点评：运用平分差公式和提公因式法因式分解，然后求出代数式的值．
32．已知：△ABC中，∠ABC=2∠ACB，∠ABC的平分线BD与∠ACB的平分线CD相交于点D，且CD=AB，求证：∠A=60°．
考点：全等三角形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：过点A作AE∥BC交BD延长线于E，连接CE，设AC、BE相交于点O．构建全等三角形：解答：证明：过点A作AE∥BC交BD延长线于E，连接CE，设AC、BE相交于点O．
△AOB≌△EOC，利用该全等三角形的性质和等腰三角形的性质来去∠A的度数即可．
则∠1=∠ACB，∠2=∠3．
∵∠ABC=2∠ACB，
∴∠3=∠ACB，
∴OB=OC，∠1=∠2，
∴OA=OE．
在△AOB与△EOC中，
，
∴△AOB≌△EOC（SAS）．
∴∠BAC=∠CED，∠5=∠4=∠3，AB=CE
∵CD=AB，
∴CD=CE，
∴∠CED=∠CDE=∠3+∠6，
又∵∠DCE=∠5+∠7，∠6=∠7，
∴∠CED=∠CDE=∠DCE=60°，
∴∠BAC=∠CED=60°．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边、公共角、对顶角，必要时添加适当辅助线构造三角形．。