九年级数学第二十七章相似综合复习测试习题(含答案) (34)

九年级数学第二十七章相似综合复习测试习题（含答案） 如图，ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥于D 点，DE AB ⊥于点E ，BF AC ⊥于点F ，3cm DE =，则BF =__________cm .
【答案】6
【解析】
【分析】由等腰三角形的性质可得∠C ＝∠ABC ， BD=DC=12
BC ，再根据∠BED=∠CFB=90°，可证∠BED ∠∠CFB ，根据相似三角形的对应边成比例即可求得.
【详解】∠AB=AC ，
∠∠C ＝∠ABC ，
又∠AD ∠BC 于 D 点，
∠ BD=DC=12
BC ， 又 DE ∠AB ，BF ∠AC ，
∠∠BED=∠CFB=90°，
∠∠BED ∠∠CFB ，
∠DE ：BF=BD ：BC=1：2，
∠BF=2DE=2×3=6cm ，
故答案为：6.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，得到∠BED∠∠CFB是解本题的关键.
三、解答题
67．如图，四边形ABCD是矩形，E为CD边上一点，且AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC．
（1）求证：∠ADE∠∠BCE；
（2）已知AD＝3，求矩形的另一边AB的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）AB＝6．
【分析】
（1）根据矩形的性质，即可得到∠D＝∠C，AD＝BC，∠DAE＝∠CBE＝45°，进而得出∠ADE∠∠BCE；
（2）依据∠ADE是等腰直角三角形，即可得到DE的长，再根据全等三角形的性质以及矩形的性质，即可得到AB的长．
【详解】
解：（1）∠四边形ABCD是矩形，
∠∠D＝∠C＝∠BAD＝∠ABC＝90°，AD＝BC，
又∠AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC，
∠
11
45,45 22
DAE DAB CBE CBE
∠∠=︒∠∠=︒＝＝
∠∠DAE＝∠CBE＝45°，
∠∠ADE∠∠BCE（ASA）；
（2）∠∠DAE＝45°，∠D＝90°，
∠∠DAE＝∠AED＝45°，
∠AD＝DE＝3，
又∠∠ADE∠∠BCE，
∠DE＝CE＝3，
∠AB＝CD＝6．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
68．如图，四边形ABDC为矩形，AB＝4，AC＝3，点M为边AB上一点（点M不与点A、B重合），连接CM，过点M作MN∠MC，MN与边BD 交于点N．
（1）当点M为边AB的中点时，求线段BN的长；
（2）直接写出：当DN最小时∠MNB的面积为___________．
【答案】（1）BN＝4
3；（2）4
3
【分析】
（1）由矩形的性质及“一线三等角“推得∠ACM＝∠BMN，利用有两个角相等的三角形相似，可证得∠ACM∠∠BMN，利用相似三角形的性质可得比例式，将相关数据代入即可求得BN的值；
（2）设BM＝x，DN＝y，根据AM AC
BN BM
=，得出y关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得DN最小时相应的x值及y值，再利用三角形的面积公式求得答案即可．
【详解】
解：（1）∠AB＝4，
∠当点M为边AB的中点时，AM＝BM＝2，
∠四边形ABDC为矩形，
∠∠A＝∠B＝90°，
∠MN∠MC，
∠∠CMN＝90°，
∠∠ACM+∠AMC＝90°，∠BMN+∠AMC＝180°﹣∠CMN＝90°，
∠∠ACM＝∠BMN，
又∠∠A＝∠B，
∠∠ACM∠∠BMN，
∠AM AC BN BM
=，
∠AC＝3，AM＝BM＝2，
∠
23
2 BN
=，
∠BN＝4
3；
（2）设BM＝x，DN＝y，
∠四边形ABDC为矩形，AB＝4，AC＝3，
∠AM＝AB﹣BM＝4﹣x，BN＝BD﹣DN＝3﹣y，由（1）知，AM AC
BN BM
=，
∠43
3
x
y x
-
=
-
，
∠（4﹣x）x＝3（3﹣y），∠﹣x2+4x＝9﹣3y，
∠y＝1
3
x2﹣4
3
x+3
＝1
3（x﹣2）2+5
3
，
∠当x＝2时，y取得最小值，即DN最小，此时DN＝y＝5
3，
∠BM＝2，BN＝3﹣5
3
＝4
3
，
∠∠MNB的面积为：1
2×2×
4
3
＝4
3
．
故答案为：4
3
．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质和判定，矩形的性质，二次函数与几何问题．（1）能证明相似，并通过相似的性质列出比例式是解题关键；（2）能借助相似列出y 与x的表达式是解题关键．
69．如图，折叠矩形ABCD，使点C重合于点A（点D重合于点G），折痕为EF交对角线AC于O．
（1）判断四边形AECF的形状，并说明理由；
（2）若AB＝4，BC＝8，求四边形AECF的面积．
【答案】（1）见解析（2）20
【解析】
【分析】
（1）根据平行线及折叠的性质可得出∠CAE＝∠CAD＝∠ACF＝∠ACB，从而利用等腰三角形的性质可得出EC＝EA，结合AE∠CF可判断AECF为菱形．（2）设CE＝x，则BE＝8﹣x，由AE2＝CE2，列出等式可解出x的值，求出BE后，即可计算出四边形AECF的面积．
【详解】
解：（1）四边形AECF是菱形，
∠四边形ABCD是矩形，
∠AD∠BC，
∠∠DAC＝∠ACB，
由折叠的性质得：∠CAE＝∠CAD，∠ACF＝∠ACB，
∠∠CAE＝∠CAD＝∠ACF＝∠ACB，
∠AE∠CF，EC＝EA，
∠四边形AECF是菱形．
（2）设CE＝x，则BE＝8﹣x，
在Rt∠ABE中，42+（8﹣x）2＝x2，
∠x＝5，
∠四边形AECF是菱形，
∠四边形AECF的面积＝EC•AB＝5×4＝20．
【点睛】
本题考查折叠的性质、勾股定理及菱形的性质，根据折叠的性质及平行线的性质得出∠CAE＝∠CAD＝∠ACF＝∠ACB，是判断AECF形状的关键，另外在解答第二问时要注意根据勾股定理求出BE的长．
70．已知平行四边形．
（1）尺规作图：作的平分线交直线于点，交延长线于点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
试题分析：（1）作∠BAD的平分线交直线BC于点E，交DC延长线于点F 即可；
（2）先根据平行四边形的性质得出AB∠DC，AD∠BC，故∠1=∠2，∠3=∠4．再由AF平分∠BAD得出∠1=∠3，故可得出∠2=∠4，据此可得出结论．试题解析：（1）如图所示，AF即为所求；
（2）∠四边形ABCD是平行四边形，
∠AB∠DC，AD∠BC，∠∠1=∠2，∠3=∠4．
∠AF平分∠BAD，∠∠1=∠3，∠∠2=∠4，∠CE=CF．考点：作图—基本作图；平行四边形的性质.。