高二数学上学期第二次月考试题文含解析_1

甘谷第一中学2021-2021学年高二数学上学期第二次月考试题 文〔含解析〕
本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

一、选择题〔每一小题5分，一共60分〕
1.全集U R =，{|1}A x x =>，2
{1}B x x =，那么()U C A B ⋂ 等于( )
A. {|11}x x -<≤
B. {|11}x x -<<
C. {|1}x x <-
D. {|1}x x ≤-
【答案】C 【解析】
【分析】
先解不等式得集合B ，再根据补集与交集定义求结果.
【详解】因为()()2
{|1
},11,B x x =>=-∞-⋃+∞，所以(){}()|1,1U C A B x x B ⋂=≤⋂=-∞-，选C. 【点睛】此题考察解不等式以及集合补集与交集定义，考察根本求解才能，属根底题. 2.命题“x R ∀∈，2x x ≠〞的否认是( ) A. x R ∀∉，2x x ≠ B. x R ∀∈，2x x = C. x R ∃∉，2x x ≠ D. x R ∃∈，2x x =
【答案】D 【解析】 【分析】
根据全称命题的否认即可.
【详解】根据全称命题的否认是特称命题，
∴命题的否认是：0x R ∃∈，200x x =．
应选D ．
【点睛】此题考察全称命题和特称命题的否认,属于根底题. 3.以下导数运算正确的选项是〔 〕
A. 211
'x x
⎛⎫=
⎪⎝⎭ B. (sin )cos x 'x =-
C. (3)'3x x =
D. 1(ln )x '=
x
【答案】D 【解析】 【分析】
根据导数的运算法那么和特殊函数的导数，逐一判断.
【详解】∵根据函数的求导公式可得，∵'
211x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，∴A 错；∵'
(sin )cos x x =，∴B 错；
∵'
(3)3ln 3x x
=，C 错；D 正确.
【点睛】此题考察了导数的运算法那么以及特殊函数的导数. 4.函数()sin cos f x x x x =+，那么'()2
f π
的值是〔 〕
A.
2
π
B. 1
C. 1-
D. 0
【答案】D 【解析】 【分析】
求出()f x 的导函数，代入即得答案.
【详解】根据题意，'()sin cos sin cos f x x x x x x x =+-=，所以'()02
f π
=，应选D.
【点睛】此题主要考察导函的四那么运算，比拟根底. 5.假设直线22
0x y 经过椭圆的一个焦点和一个顶点，那么该椭圆的HY 方程为
A. 2215x y +=
B. 22145
x y +=
C. 22
15
x y +=或者22145x y +
= D. 以上答案都不对
【答案】C 【解析】 【分析】
首先求出直线与坐标轴的交点，分别讨论椭圆焦点在x 轴和y 轴的情况，利用椭圆的简单性质求解即可． 【详解】直线与坐标轴的交点为(0,1),(2,0)-，
〔1〕当焦点在x 轴上时，设椭圆的HY 方程为22
221x y
a b
+=(0)a b >>
那么2
2,1,5c b a ==∴=，所求椭圆的HY 方程为2
215
x y +=.
〔2〕当焦点在y 轴上时，设椭圆的HY 方程为22221x y
b a
+=(0)a b >>
2
2,1,5b c a ==∴=，所求椭圆的HY 方程为22
154
y x +=.
故答案选C
【点睛】此题考察椭圆方程的求法，题中没有明确焦点在x 轴还是y 轴上，要分情况讨论，解题时要注意椭圆的简单性质的合理运用，属于根底题．
6.直线y =1kx k -+与椭圆22
94
x y
+
=1的位置关系为〔 〕 A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意，可得直线y =1kx k -+恒过定点()1,1，利用点()1,1在椭圆内部可判断直线与椭圆的位置关
系为相交．
【详解】由题意得直线1y -=()1k x -恒过定点()1,1，而点()1,1在椭圆22
94
x y +
=1的内部，所以直线与椭圆相交.应选A ．
【点睛】此题考察直线与椭圆位置关系的判断，在解题时，利用直线上某点与椭圆的位置来判断直线与椭圆的位置关系．
7.函数()2
2ln f x x x =-的单调减区间是( )
A. (]0,1
B. [
)1,+∞ C. (],1(0-∞-⋃，1] D. [)(]1,00,1-
【答案】A 【解析】
【详解】求解函数的导数可得()2'2f x x x =-，求2
2x x
-<0，由x >0，解得1x <．所以x 的取值范围为(]0,1． 应选A.
8.假设抛物线y 2
=2px 〔p >0〕的焦点是椭圆
2231x y p
p
+
=的一个焦点，那么p =
A. 2
B. 3
C. 4
D. 8
【答案】D 【解析】 【分析】
利用抛物线与椭圆有一共同的焦点即可列出关于p 的方程，即可解出p ，或者者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为〔1，0〕，椭圆焦点为〔±2，0〕，排除A ，同样可排除B ，C ，应选D ．
【详解】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2
p
是椭圆
2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2
p
p p -=，解得8p =，应选D ．
【点睛】此题主要考察抛物线与椭圆的几何性质，浸透逻辑推理、运算才能素养． 9.函数()sin f x x x =-，[,]22
x ππ
∈-的最大值是〔 〕 A.
12
π- B. π
C. π-
D. 12
π
-
【答案】A 【解析】
【分析】
先对函数求导，确定函数在区间内的单调性，然后确定其最大值即可． 【详解】因为()sin f x x x =-， 所以()cos 1f x x '=-，易得当,22x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦时，()0f x '≤恒成立，所以()f x 在闭区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
内单调递减，故当2x π=-
时，()f x 取最大值，即()max sin 12222
f x f ππππ
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=---=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，应选A ．
【点睛】此题考察闭区间内函数最值问题，首先需要明白在闭区间内最值≠极值，其次是当()0f x '≤时
()f x 不一定单调递减，反之，当()f x 单调递减时，一定有()0f x '≤．
10.函数()(1)e x
f x x =-有( )
A. 最大值为1
B. 最小值为1
C. 最大值为e
D. 最小值为e
【答案】A 【解析】 【分析】
对函数进展求导，判断出函数的单调性，进而判断出函数的最值情况.
【详解】解:()e (1)e e x x x
f x x x '=-+-=-，当0x <时，()0f x '>，当0x >时，()0f x '<，
()f x ∴在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减， ()f x ∴有最大值为(0)1f =，应选A.
【点睛】此题考察了利用导数研究函数最值问题，对函数的导函数的正负性的判断是解题的关键.
11.设1F 、2F 是椭圆E ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，21F PF ∆是
底角为30的等腰三角形，那么E 的离心率为〔 〕
A.
1
2
B.
23
C.
34
D.
45
【答案】C 【解析】
试题分析：如以下图所示，21F PF ∆是底角为30的等腰三角形，那么有
1221221,30F F PF PF F F PF =∠=∠=
所以22
60,30PF A F PA ∠=∠=，所以22322322PF AF a c a c ⎛⎫
==-=- ⎪⎝⎭
又因为122F F c =，所以，232c a c =-，所以34
c e a == 所以答案选C.
考点：椭圆的简单几何性质. 【此处有视频，请去附件查看】 12.设函数
'()f x 是奇函数()f x ()x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，那么
使得()0f x >成立的x 的取值范围是〔 〕 A. (,1)(0,1)-∞- B. (1,0)
(0,1)-
C. (,1)(1,0)-∞--
D. (0,1)(1,)⋃+∞
【答案】A 【解析】 【分析】 构造函数()
f x y x
=
,利用不等式'()()0xf x f x -<得单调性,再根据单调性可解得不等式的解集. 【详解】因为()f x 是奇函数且(1)0f -=,所以(1)(1)0f f =--=,
令()
f x y x =
,那么2
()()xf x f x y x '-'=, 因为0x >时, '()()0xf x f x -<,所以0y '<,所以函数()
f x y x
=在(0,)+∞上为减函数, 所以当0x >时, ()0f x >化为
()(1)
01
f x f x >= ,所以01x <<,
当0x <时,0x ->,所以()0f x >等价于()0f x -->等价于()0f x -<,可化为()(1)
01
f x f x -<=- , 所以x -1> ,所以1x <-, 应选:A
【点睛】此题考察了利用导数研究函数的单调性,利用单调性解不等式,此题的解题关键是构造出一个函数,能利用不等式判断单调性,并能根据单调性解不等式.属于中档题/ 二、填空题〔每一小题5分，一共20分〕 13.设:2p x >或者2
3
x <；:2q x >或者1x <-，那么p ⌝是q ⌝的________条件． 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】
可先判断p 是q 的什么条件，根据原命题与逆否命题的关系即可得到答案.
【详解】由题意，当q 成立时，可得p 是成立的，反之不成立，所以p 是q 必要不充分条件， 从而p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，故答案是：p ⌝是q ⌝的充分不必要条件.
【点睛】此题主要考察了充分不必要条件的断定，以及命题的关系，其中解答中熟记充要条件的断定方法，着重考察了推理与论证才能，属于根底题.
14.()x
f x xe ax =+在(0,(0))f 处的切线方程为2y x =，那么实数a 的值是_______．
【答案】1 【解析】 【分析】
对函数进展求导，通过可以求出切线方程的斜率，然后把0x =代入导函数中，求出实数a 的值. 【详解】因为()x
f x xe ax =+，所以()x
x
f x e xe a =++'，由题意有()0
02f e a '=+=，所以1a =.
【点睛】此题考察了函数的导数的几何意义.
15.设P 是椭圆22
1169x y +=上一点，12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，假设12||.||12PF PF =，那么
12F PF ∠的大小_____.
【答案】60 【解析】 【分析】
1PF m =，2PF n =，利用椭圆的定义、结合余弦定理、条件，可得22122812282m n a mn m n mncos F PF
+==⎧
⎪
=⎨⎪=+-∠⎩
，
解得121
cos 2
F PF ∠=
，从而可得结果． 【详解】椭圆22
1169
x y +=，
可得28a =，设1PF m =，2PF n =，
可得2221228124282m n a mn c m n mncos F PF
+==⎧
⎪
=⎨⎪==+-∠⎩
，
化简可得：121
cos 2
F PF ∠=
， 1260F PF ∴∠=，故答案为60．
【点睛】此题主要考察椭圆的定义以及余弦定理的应用，属于中档题．对余弦定理一定要熟记两种形式：
〔1〕2
2
2
2cos a b c bc A =+-；〔2〕222
cos 2b c a A bc
+-=，同时还要纯熟掌握运用两种形式的条件.另
外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o
等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
16.抛物线C ：x 2＝8y 的焦点为F ，动点Q 在C 上，圆Q 的半径为1，过点F 的直线与圆Q 切于点P ，那么FP FQ ⋅的最小值为________． 【答案】3
【解析】 试题分析：
. 由抛物线的定义知：
为点
到准线的
间隔 ,易知,抛物线的顶点到准线的间隔 最短,.
考点：向量；抛物线的性质. 三、解答题 17.()221
:12,:21003
x p q x x m m --
≤-+-≤>，假设q 是p 的充分而不必要条件，务实数m 的取值范围．
【答案】03m <≤ 【解析】 【分析】
先解不等式化简命题,p q ,再根据真子集关系列式可解得答案. 【详解】∵1
13
x --
≤2 , ∴p : －2≤x ≤10 , 又∵22210x x m -+-≤(0)m >,所以[(1)][(1)]0x m x m ---+≤ , 因为0m >,所以11m m -<+,∴:11q m x m -≤≤+,
又∵q 是p 的充分而不必要条件,所以[1,1]m m -+ [2,10]-,
所以21m -≤-且110m +≤ ,解得3m ≤,又0m >, 所以03m <≤.
∴实数m 的取值范围03m <≤
【点睛】此题考察了绝对值不等式,一元二次不等式的解法,根据充分而不必要条件求参数,属于根底题. 18.在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且满足cos sin 0b A a B +=． 〔1〕求角A 的大小；
〔2〕22b c +=ABC ∆的面积为1，求边a ．
【答案】〔1〕34
π；〔2. 【解析】
【分析】
(1)利用正弦定理化简cos sin 0b A a B +=即得A 的值.(2)通过三角形的面积以及余弦定理，转 化求解即可．
【详解】〔1〕∵bcosA+asinB=0
∴由正弦定理得：sinBcosA+sinAsinB=0
∵0＜B ＜π，∴sinB ≠0，∴cosA+sinA=0 ∵2
A π
≠，∴tanA=﹣1又0＜A ＜π ∴34A π= 〔2〕∵34A π=，S △ABC =1，∴112
bcsinA =
即：bc =
又2b c +=
由余弦定理得：2222222()(2a b c bccosA b c b c =+-=+=+--
10bc =故：a =【点睛】此题考察正弦定理以及余弦定理的应用，三角形底面积的求法，考察计算才能．
19.椭圆的中心在原点，焦点为12(F F -，且离心率2
e =． ()1求椭圆的方程；
()2求以点(2,1)P -为中点的弦所在的直线方程．
【答案】〔1〕22
1164
x y +=；〔2〕240x y --=. 【解析】
【分析】
〔1〕焦点为()()1223,0,23,0F F -，求得c 23=,根据离心率32
e =，求得a 4=,可得b 2=,从而可得结果；〔2〕设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减，利用平方差公式分解因式；转化为斜率与中点坐标的关系式，可求出弦所在直线斜率，利用点斜式可得结果.
【详解】()1设椭圆方程为，
由，又，解得，所以，
故所求方程为．
()2由题知直线的斜率存在且不为，
设直线与椭圆相交代入椭圆方程得
作差得，即
得所以直线方程的斜率．
故直线方程是 即．
【点睛】此题主要考察椭圆的HY 方程和利用点差法求中点弦问题,利用设而不求得到斜率，从而求出直线方程. 求椭圆HY 方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而
写出椭圆的HY 方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法〞解决，往往会更简单.
20.数列{}n a 满足121n n a a -=+〔*n N ∈，2n ≥〕，且11a =，1n n b a =+．
〔1〕证明：数列{}n b 是等比数列；
〔2〕求数列{}n nb 的前n 项和n T ．
【答案】〔Ⅰ〕见解析〔Ⅱ〕12(1)2n n T n +=+-⋅
【解析】
【分析】
〔Ⅰ〕由条件可得()1121n n a a -+=+，即1
2n n b b -=可得结论；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕求得2n n b =，利用错位相减法求其前n 项和.
【详解】〔Ⅰ〕证明：∵当2n ≥时，121n n a a -=+，
∴()1112221n n n a a a --+=+=+． ∴1
2n n b b -=，1112b a =+=． ∴数列{}n b 是以2为首项，公比为2的等比数列．
〔Ⅱ〕解：1122n n n b b -=⋅=
∵()231122232122n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+
+-⋅+⋅， ① ∴()23412122232122n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅，②
①-②：23411222222n n n T n +-=⨯++++
+-⋅， ∴()11222221212
n n n n T n n ++-⋅=-+⋅=+-⋅-． 【点睛】此题主要考察了等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见
的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于n n n c a b =+，其中{}n a 和{}n b 分别为特殊数列，裂项相消法类似于()11n a n n =
+，错位相减法类似于n n n c a b =⋅，其中{}
n a 为等差数列，{}n b 为等比数列等.
21.函数2()f x x xlnx =-．
〔1〕求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； 〔2〕假设2
()2
x f x k ->在(1,)+∞上恒成立，务实数k 的取值范围． 【答案】〔1〕0x y -=；〔2〕1(,]2
-∞.
【解析】
【分析】
〔1〕对()f x 求导得到()f x '，代入切点横坐标1x =得到斜率，再写出切线方程； 〔2〕令()()22
22
x x g x f x xlnx =-=-，证明其导函数在()1,+∞上恒为正，即()g x 在()1,+∞上恒增，而k 要满足()k g x <在()1,+∞上恒成立，从而得到k 的取值范围
【详解】〔1〕()2f x x xlnx =-，()'21f x x lnx ∴=--，
'f 〔1〕1=，又f 〔1〕1=，即切线的斜率1k =，切点为()1,1，
∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程0x y -=；
〔2〕令()()22
22
x x g x f x xlnx =-=-，()1,x ∈+∞，那么()'1g x x lnx =--， 令()1h x x lnx =--，那么()11'1x h x x x
-=-=． 当()1,x ∈+∞时，()'0h x >，函数()h x 在()1,+∞上为增函数，故()h x h >〔1〕0=； 从而，当()1,x ∈+∞时，()''g x g >〔1〕0=．
即函数()g x 在()1,+∞上为增函数，故()g x g >〔1〕12
=． 因此，()2
2
x f x k ->在()1,+∞上恒成立，必须满足12k ．
∴实数k 的取值范围为(-∞，1]2
． 【点睛】此题考察利用导数求函数在某一点的切线，利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，属于常规题.
22.抛物线2y x =与直线l ：
(-1)y k x =相交于A 、B 两点，点O 为坐标原点 . 〔1〕当k=1时,求OA OB ⋅的值；
〔2〕假设OAB ∆的面积等于54
，求直线l 的方程. 【答案】〔1〕0 〔2〕2320x y +-=或者2320x y --=
【解析】
【分析】
〔1〕联立直线与抛物线方程，化为关于y 的一元二次方程，由根与系数关系求出A ，B 两点的横纵坐标的和与积，直接运用数量积的坐标运算求解；
〔2〕直接代入三角形面积公式求解即可.
【详解】〔1〕设()211A y y ，，()
222B y y ，由题意可知：k=1，∴1x y =+， 联立y 2＝x 得：y 2
-y ﹣1＝0显然：△＞0， ∴1212
11y y y y +=⎧⎨⋅=-⎩， ∴OA OB ⋅=〔y 12〕〔y 22〕+y 1y 2＝〔﹣1〕2
-1＝0，
〔2〕联立直线l ： ()-1y k x =与y 2＝x 得ky 2-y ﹣k ＝0显然：△＞0， ∴121211
y y k y y ⎧+=⎪⎨⎪⋅=-⎩，
∵S △OAB 12=⨯1×|y 1﹣y 2
|54
===， 解得：k ＝±
23，
∴直线l的方程为：2x+3y+2＝0或者2x﹣3y+2＝0．
【点睛】此题考察了直线和圆锥曲线的关系，考察了平面向量数量积的坐标运算，训练了三角形面积的求法，是中档题．
本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。