勾股定理测试题

《勾股定理》单元测试题
出题人：姜明
一． 选择题：
1.在△ABC 中，∠C ＝90°，周长为60，斜边与一直角边比是13∶5，则这个三角形三边长分别是（ ）
A ．5，4，3
B ．13，12，5
C ．10，8，6
D ．26，24，10
2．在△ABC 中，已知AB =12cm ，AC =9cm ，BC =15cm ，则△ABC 的面积等于（ ）
A ．108cm 2
B ．90cm 2
C ．180cm 2
D ．54cm 2
3.在直角坐标系中，点P （-2，3）到原点的距离是（ ）
A ．5
B ．13
C ．11
D ．2
4. 在△ABC 中，∠A =90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边长分别为a 、b 、c ，则下列结论错误的
是（ ）
A ．a 2+b 2=c 2
B ．b 2+c 2=a 2
C ．222a b c -=
D ．222
a c
b -= 5..如图1，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》（也称《赵爽弦图》），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形式面积是1，直角三角形的短直角边为a ，较长直角边为b ，那么2
()a b +的值为 （ ） A ．13 B ．19 C ．25 D ．169
6．如图2，分别以直角△ABC 的三边AB ，BC ，CA 为直径向外作半圆．设直线AB 左边阴影部分的面积为S 1，右边阴影部分的面积和为S 2，则（ ） A ．S 1＝S 2 B ．S 1＜S 2 C ．S 1＞S 2 D ．无法确定 7. 直角三角形有一条直角边长为13，另外两条边长是连续自然数，则周长为（ ） A ．182 B ．183 C ．184 D ．185
8.在ABC △中，::1:1:2A B C ∠∠∠=，则下列说法错误的是（ ） A ．90C ∠=
B ．2
2
2
a b c =-
C ．22
2c a = D ．a b =
9.如图3，一块直角三角形的纸片，两直角边6cm AC =，8cm BC =．现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ） A ．2cm B ．3cm C ．4cm D ．5cm
10.在下列以线段a ，b ，c 的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ）
A
B C 图
2
图
1 Ｃ D B
A 、a ＝11，b ＝12，c ＝15
B 、a ＝b ＝5，c ＝25
C 、 a ：b ：c ＝1：1：2
D 、a ＝1，b ＝3，c ＝2 11. 如图5、点A 表示的实数是（ ）
A 、3
B 、5
C 、5-
D 、3-
12. 等边△ABC 的边长是2cm ，则等边△ABC 的高是（ ）厘米。

A 、 2
B 、1
C 、0.5
D 、3
13.△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，下列命题中的假命题是（ ） A ．如果∠C －∠B=∠A ，则△ABC 是直角三角形。

B ．如果c 2= b 2—a 2
，则△ABC 是直角三角形，且∠C=90°。

C ．如果（c ＋a ）（c －a ）=b 2
，则△ABC 是直角三角形。

D ．如果∠A ：∠B ：∠C=5：2：3，则△ABC 是直角三角形。

14. 如图，四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝３ｃｍ，ＢＣ＝４ｃｍ，ＤＡ＝１３ｃｍ，∠ＡＢＣ
＝９００
，则四边形ＡＢＣＤ的面积（ ）Ａ. ８４ Ｂ 。

３６ Ｃ。

2
51
Ｄ. 无法确定 15.如图，已知距形ＡＢＣＤ沿着直线ＢＤ折叠，使点Ｃ落在Ｃ‘
处，ＢＣ’
交ＡＤ于Ｅ， ＡＤ＝８，ＡＢ＝４，则ＤＥ的长为（ ）Ａ。

３ Ｂ。

４Ｃ。

５ Ｄ。

６
16. 已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足2
(6)10
0a c -+-=，则三角
形的形状是（ ）
A ：底与边不相等的等腰三角形
B ：等边三角形
C ：钝角三角形
D ：直角三角形
17. 一艘轮船以16海里∕小时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船12海里∕
小时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口3小时后，则两船相距（ ） A ：36 海里 B ：48 海里 C ：60海里 D ：84海里
D
C
B
A
18. 池塘中有一朵荷花，它直立在水中，荷花高出水面半尺处长着一朵红莲，一阵风吹来把荷花吹倒在一边，红莲倒在水面位置距荷花生长处水平距离为2尺，则池塘深（ ）
（A ）3.75尺 （B ）3.25尺 （C ）4.25尺 （D ）3.5尺
19. 已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a +b ＝14cm ，c ＝10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ）
A.24cm 2
B.36cm 2
C.48cm 2
D.60cm 2 20. 已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（ ）
A.
5
2
B.3
+2
二．填空题：
21. 在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则
1234S S S S +++=
．
22. 如图1，正方形A 的面积是144，正方
形B 的面积是169，则正方形C 的边长是 。

23.如图2，一个梯子AB 长为10米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 间的距离为6米，梯子滑动后停在DE 的位置上，测得DB 的长为2米，则梯子顶端A 下落了 米。

24.如图3，将一根长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是为h cm ，则h 的取值范围是 。

25.如图4，要将楼梯铺上地毯，则需要 米的地毯。

26. 如图，90,4,3,12C ABD AC BC BD ︒
∠=∠====,则AD= ； 27. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为
（第21题图）
20dm 、3dm 、2dm ，•A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是 ；28. 一艘小船早晨8：00出发，它以8海里/时的速度向东航行，1小时后，
另一艘小船以12海里/时的速度向南航行，上午10：00，两小相距 海里。

29. 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小刚头顶正上方4000米处，过了20秒，飞
机距离小刚5000米，则飞机每小时飞行 千米。

30. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，若a:b=3:4，c=20，则a= ，b= 31. 如图，在正方形ABCD 中，对角线为22， 则正方形边长为 。

32. 小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边 1.5m 远的水底，竹竿高出水面
0.5m ，把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面刚好相齐，河水的深度为 . 33．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______.
34. 如果一个三角形的三个内角之比是1∶2∶3，且最小边的长度是8，最长边的长度是
________.
35. 如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处. 树折断之前有______米.
36. 木工做一个长方形桌面, 量得桌面的长为60cm, 宽为32cm, 对角线为68cm, 这个桌面 (填”合格”或”不合格”). 三．解答题;
37. 有一块四边形的空地ABCD ，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮， 经测量∠A=90°，AB=3m ，BC=12m ，CD=13m ，DA=4m ，若每平方米草皮需要200天， 问学校需要投入多少资金买草皮？
38.如图所示，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边上的点F 处，已知AB =8cm ，BC =10cm ，求EC 的长。

39. 为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图所示AB 所在的直线建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C 和点D 处，CA ⊥AB 于A ，DB ⊥AB 于B ，已知AB = 25km ，CA = 15 km ，DB = 10km ，试问：图书室E
应该建在距点A 多少km 处，才能使它到两所学校的距离相等。

40. 如图所示，△ABC 中，2,30,45=
︒=∠︒=∠AB C B 。

求：AC 的长。

41. 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC =18cm ，BC =24cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出BD 的长吗？
D
A B
E C x
B C A
B
E
C
D
42.已知：如图正方形ABCD ，E 是BC 的中点，F 在AB 上，且BF ＝AB 4
1
，猜想EF 与DE 的位置关系，并说明理由．
43. 在△ABC 中，∠C ＝450
，AC ＝2，∠A ＝1050
，求△ABC 的面积。

44.细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：
∠21A OA =∠21A OA =∠43A OA =…=90°，1433221=∙∙∙===A A A A A A
=
22OA ()
2112
=+ 2
1
1=
S =
23
OA ()3122
=+ 22
2=S
=
2
4OA ()
4132
=+ 2
33=
S （1）用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律： ； （2）写出OA 20的长是 ；
（3）求出S 12 + S 22 + S 32 + … + S 202
的值。

1
A1
A2A4第20题
45. 如图7所示,Rt △ABC 中,BC 是斜边,将△ABP 绕点A 逆时针旋转后,能与△ACP •′重合,如果AP=3,你能求出PP′的长吗?
46. 已知，如图2，在矩形ABCD 中，P 是边AD 上的动点，AC PE ⊥于E ，BD PF ⊥于F ，如果AB =3，AD = 4，求PE PF +的值。

47. 在△ABC 中，∠C =90°，M 是BC 的中点，MD ⊥AB 于D ，求证：2
2
2
AD AC BD =+；
C
48.如图，海中有一小岛A，在该岛周围10海里内有暗礁，今有货船由西向东航行，开始在A岛南偏西45º的B处，往东航行20海里后达到该岛南偏西30º的C处，之后继续向东航行，你认为货船继续向东航行会有触礁的危险吗？计算后说明理由。

49.如图所示,有一条小路穿过长方形的草地ABCD,若AB=60m,BC=84m,AE=100m,•则这
条小路的面积是多少?
50. 阅读下列解题过程：已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，
试判断△ABC的形状。

解：∵ a2c2－b2c2＝a4－b4，①
∴ c2（a2－b2）＝（a2 + b2）（a2－b2），②
∴ c2＝ a2+b2，③
∴△ABC为直角三角形。

问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号；
（2）错误的原因是；
（3）本题正确的结论是。