【数学】河北省唐山市第一中学2019-2020学年高一上学期期末考试试题 (解析版)

联系电话：4000-916-716
河北省唐山市第一中学2019-2020学年高一上学期期末考试
数学试题
卷Ⅰ（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.设全集U =R ，()(){
}310
A x x x =-->，{}2
B x x =<，则()⋂=
U
C
A B （ ）
A. {}12x x ≤<
B. {}12x x <<
C.
{}2x x <
D.
{}1x x ≥
【答案】A 【解析】()()310x x -->,3x ∴>或1x <
即
{
}31
A x x x =><或，[1,3]
U
C
A ∴=，
()⋂=U C A B {}12x x ≤<故选：A
2.函数()22log 3
x f x x =+-的零点所在区间( )
A.
()0,1 B.
()1,2 C . ()2,3 D.
()3,4
【答案】B
【解析】由题意，可得函数在定义域上为增函数，()212log 1310f =+-=-<，
()2222log 235320f =+-=-=>，
所以
()()120
f f <，根据零点存在性定理，
()
f x 的零点所在区间为
()1,2
故选B ．
3.函数
2
(2)y x a x =+-在区间(4,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A. 2a ≤- B. 2a ≥- C. 6a ≤- D. 6a ≥-
【答案】D
【解析】函数2
(2)y x a x =+-的对称轴方程为
22a x -=
，
联系电话：4000-916-716
函数在区间(4,)+∞上是增函数，所以24
2a
-≤，
解得6a ≥-.故选:D.
4.若扇形的圆心角120α=︒，弦长12cm AB =，则弧长l =（ ）cm
A.
B.
C.
4π3 D. 8π3
【答案】B
【解析】设扇形的半径为r
，依题意06
sin 60r =
=，
弧长2ππ33
l r ==. 故选:B.
5.将函数()sin 2y x ϕ=+的图象沿轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的
一个可能取值为( )
A. B.
C. 0
D. 4
π
-
【答案】B
【解析】得到的偶函数解析式为πsin 2sin 28π4y x x ϕϕ⎡⎤⎡⎤
⎛
⎫⎛⎫=+
+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣
⎦，显然.4πϕ= 6.已知函数()22
log ,0
41,0x x x x f x x -+>⎧=⎨-≤⎩若()3f a ＝，则()2f a －＝( ) A. －15
16
B. 3
C. －63
64或3
D. －1516或3
【答案】A
联系电话：4000-916-716
【解析】当0a >时，若()3
f a ＝，则
2log 32
a a a +=⇒=；当0a ≤时，若
()3
f a ＝，
则2
4
133a a --=⇒=，不满足0a ≤舍去．于是，可得2a =.
故
()0215
2)160(41f a f -=-=-
-＝.故本题选A.
7.在ABC 中，3CD BD =，O 为AD 的中点，若AO AB AC λμ=+，则λμ⋅=（ ）
A.
34-
B. 316-
C. 3
4 D. 316
【答案】B
【解析】13
3,33,22AC CD BD AD A AC
D AB AD AB =-=-=-+，
O 为AD 的中点，
113
44=2A B AD AC A O -+=
，
133
,,4416λμλμ∴=-=⋅=-
.
故选:B.
8.已知定义在R 上奇函数
()
f x 满足
()()20
f x f x +=+，且当[0,1]x ∈时，
()21=log ()
f x x +，则下列不等式正确的是( )
A. ()()2log 756()f f f -<<
B.
()()2log 7()
65f f f -<<
C.
()()
25log (76)f f f <<- D.
()()
256o )l g 7(f f f -<<
【答案】C 【解析】由()()++2=0
f x f x ，得
()
()=+2f x f x -，所以
()
+4()f x f x =，
()
f x 的周
期4T =.又()()f x f x -=-，且有()()20=0=f f -，
所以
()()2551log 2==1
()==f f f -----，
()()620
f f ==.
又
22log 73
<<，所以
20log 721
<-<，即
2
7
0log 14<<，
的
联系电话：4000-916-716
因为[0,1]x ∈时，
()2()[]
log 10,1f x x +∈=，
所以()222log 7log 727()(log )4f f f =--=-222277
log (log 1)log (log )
42=-+=- 又
2
71log 22<<，所以2270log (log )12<<，所以227
1log (log )02-<-<，
所以
2(5)(log 7)(6)
f f f -<<.
故选：C.
9.
若
sin 25α=
，sin()βα-=
，且π[,π]4α∈，3π[π,]2
β∈，则αβ+的值是（） A. 9π4 B. 7π4 C. 5π4或7π4 D. 5π4或9π4
【答案】B
【解析】π[4α∈，π]，[πβ∈，3π
]2，
π
2[2
α∴∈，2π]，
又
10sin 22α<=
<
，
5π2(
6α∴∈，π)，即5π(12α∈，π)2
， π(2βα∴-∈，13π
)12
，
cos2α∴==；
又
sin()βα-=
，
π
(2
βα∴-∈，π)，
cos()βα∴-==，
联系电话：4000-916-716
=
又5π(
12α∈，π)2，[πβ∈，3π]2
， 17π
()(12αβ∴+∈，2π)，7π4
αβ∴+=. 故选B
10.已知函数
2(),x
f x e x =+且(32)(1)f a f a ->-，则实数a 的取值范围是（ ） A. 13,,24⎛⎫⎛⎫
-∞+∞ ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭ B. 1,2⎛⎫
+∞ ⎪
⎝⎭ C. 1,2⎛
⎫-∞ ⎪
⎝⎭ D. 130,,24⎛⎫⎛⎫
+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】A 【解析】因为
()2
x
f x e x =+，所以()()f x f x -=,() f x 为偶函数，
因为当0x >时，
()
f x 单调递增，所以()()
321f a f a ->-等价于
()()
321f a f a ->-，即
321
a a ->-，
2223912421,810304a a a a a a a -+>-+-+>∴>
或12a
<，
选A.
11.若cos()
4θ+，则sin 2θ=（ ）
A. 1
3 B. 14
C.
14-
D. 1
3-
【答案】C
【解析】2(cos sin )cos()4θθθ==+=+，
联系电话：4000-916-716
cos sin θθ+=
，两边平方可得31+sin 24θ=
， 1sin 24θ∴=-
.
故选:C.
12.已知函数
()2cos()1(0,||)
2f x x ωϕωϕπ
=++><，其图象与直线3y =相邻两个交点的距离为23π，若()1f x >对任意
(,)
126x ππ
∈-恒成立，则ϕ的取值范围是（ ） A. [,]66ππ-
B. [,0]4-π
C. [,]312ππ-
D. [0,]4
π
【答案】B
【解析】函数()f x 图象与直线3y =相邻两个交点的距离为23
π
，
所以周期22,33
T ωω
π
π
=
=
∴=， ()1f x >对任意
(,)
126x ππ∈-
恒成立， 即cos(3)0x ϕ+>，
(,)
126x ππ∈-
恒成立，
,3,1264222x x ϕππππππ-
<<-<<-<<, 33442
x ϕϕϕπππ
-
<-+<+<+<π, 422
2ϕϕ⎧-+≥-⎪⎪∴⎨⎪+π
≤ππ⎩π⎪，解得04ϕπ-≤≤.
故选:B.
卷Ⅱ（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
联系电话：4000-916-716
13.
函数
y =
的定义域为________. 【答案】(1,0)
(0,3]-
【解析】函数有意义需2230
1011x x x x ⎧-++≥⎪
+>⎨⎪+≠⎩
，
解得10x -<<或03x <≤；函数的定义域为(1,0)(0,3]-.故答案为:(1,0)(0,3]-.
14.已知函数
π
()sin()(0,0,||)
2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则ϕ=________.
【答案】4π
【解析】由图像可得
2,,244T T ωω
ππ==π=∴=， 58
x =
π
函数取得最小值， 所以
532(),2()424
k k k k ϕϕπππ
+=π+∈=π+∈Z Z ， ππ||,24
ϕϕ<
∴
=. 故答案为:4π.
联系电话：4000-916-716
15.设25a b
m ==，若112a b +=，则m =_____．
【答案】
【解析】 试题分析：
2525log ,log a b m a m b m ==⇒==⇒
211
log 2log 5log 10210
m m m m a b
+=+==⇒
=m ⇒= 16.设函数2
2(sin 1)()sin 1x f x x +=
+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=________. 【答案】2
【解析】
22222(sin 1)sin 12sin 2sin ()1sin 1sin 1sin 1x x x x
f x x x x +++===+
+++, 22sin ()sin 1x g x x =
+，2
2sin ()()sin 1x g x g x x --==-+，
()g x 为奇函数，max min ()()0g x g x +=，
max min 1()1()2
M m g x g x +=+++=.
故答案为:2
三、解答题：（本大题共6小题，17题10分，其它题12分，共70分.） 17.已知角α
的终边在直线y =上.
（1）求tan α，并写出α与终边相同的角的集合S ；
（2
）求值cos()cos()
2αα++π+. 解：（1）∵角α
的终边在直线y =上，
∴tan α=α终边相同的角的集合
2{|22,}33S k k k αααππ
==π+
=π-∈Z 或，
联系电话：4000-916-716
即
2{|,}3S k k ααπ
==π+
∈Z ；
（2
）cos()cos()2αα=
++π+
4
=
=
=
18.
已知函数2
()1cos 2sin ,f x x x x x R =+-∈，
（1）求函数()f x 的单调增区间；
（2）用“五点作图法”作出()f x 在[0,]π上的图象；（要求先列表后作图）
（3）若把()f x 向右平移6π
个单位得到函数()g x ，求()g x 在区间π
[,0]2
-上的最小值和最
大值.
解：（1
）2π
()1cos 2sin 2cos22sin(2)6
f x x x x x x x =+-=+=+，
由πππ
2π22π()262k x k k -
+≤+≤+∈Z ， 解得ππ
ππ()36
k x k k -
+≤≤+∈Z ()f x 的单调增区间[,k ππππ]36
k -+，k ∈Z ；
（2）[0,π]x ∈，ππ132[,]666
π
x +
∈，列表如下：
联系电话：4000-916-716
（3）()f x 向右平移6π
个单位得到函数()g x ，
所以π()2sin(2)6g x x =-，ππ130,226π6
π6x x -
≤≤-≤-≤-， 当πππ2,626x x -=-=-时，()g x 取得最小值为2-，
当π13ππ2,662
x x -
=-=-时，()g x 取得最大值为1， 所以函数()g x 的最小值为2-，最大值为1.
19.已知定义域为R 的函数，
1
2()2x x b
f x a +-+=+是奇函数. （1）求a ，b 的值，并用定义证明其单调性；
（2）若对任意的t ∈R ，不等式
22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围. 解：（1）因为()f x 是奇函数，所以(0)0f =，即101
2b
b a -+=⇒=+，
∴1
2()2x
x b f x a +-=+，又由
(1)(1)f f -=-知211122221a a a --=-⇒=++，
所以2a =，1b =，经检验2a =，1b =时，
1
21()22x x f x +-=+是奇函数，
联系电话：4000-916-716
11211
()22221x x x f x +-==-+
++，
则12,x x ∀∈R ，且12x x <，则
21
121
2
121122()()2121(21)(21)x x x x x x f x f x --=-=++++ ∵12x x <，∴1222x x <，∴12()()
f x f x >，
∴()f x 在R 上是单调递减； （2）因为()
f x 奇函数，
所以
22
(2)(2)0f t t f t k -+-<等价于 222(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-，
因为()f x 为减函数，由上式可得：22
22t t k t ->-，
即对一切t R ∈有：2
320t t k -->，
从而判别式
141203k k ∆=+<⇒<-
，
所以k 的取值范围是
1(,)
3-∞-. 20.美国对中国芯片的技术封锁，这却激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A ，B 两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A 芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B 芯片的毛收入y （千万元）与投入的资金x （千万元）的
函数关系为
(0)a
y kx x =>，其图像如图所示.
是
联系电话：4000-916-716
（1）试分别求出生产A ，B 两种芯片的毛收入y （千万元）与投入资金x （千万元）的函数关系式；
（2）如果公司只生产一种芯片，生产哪种芯片毛收入更大？
（3）现在公司准备投入4亿元资金同时生产A ，B 两种芯片，设投入x 千万元生产B 芯片，用()f x 表示公司所过利润，当x 为多少时，可以获得最大利润？并求最大利润.（利润A =芯片毛收入B +芯片毛收入-研发耗费资金）
解：（1）设投入资金x 千万元，则生产A 芯片的毛收入π
(0)4
y x =
>； 将()1,1 ()4,2代入a y kx =，得1,42,a k k =⎧⎨⨯=⎩ 1,1
,2k a =⎧⎪
∴⎨=⎪⎩
所以，生产B
芯片的毛收入0)y x =
>.
（2
）由4x >16x >
；由4x
=16x =；
由4x
<016x <<.
所以，当投入资金大于千16万元时，生产A 芯片的毛收入大； 当投入资金等于16千万元时，生产A 、B 芯片的毛收入相等； 当投入资金小于16千万元，生产B 芯片的毛收入大.
（3）公司投入4亿元资金同时生产A ，B 两种芯片，设投入x 千万元生产B 芯片，则投入
()
40x -千万元资金生产
A 芯片.公司所获利润
(
)4024x
f x -=
+=
)
2
129
4
-+
2=，即4x =千万元时，公司所获利润最大.最大利润9千万元.
联系电话：4000-916-716
21.已知函数3(()log 91)x
f x kx =+-是偶函数.
（1）求实数k
值；
（2）当0x ≥时，函数()()g x f x x a =--存在零点，求实数a 的取值范围； （3）设函数
3()log (?32)
x h x m m =-，若函数()f x 与()h x 的图像只有一个公共点，求实数
m 的取值范围.
解 ：（1）因为()(
)
3log 91x f x kx
=+-是R 上的偶函数，
所以
()()
11f f =-，即
()()
1133log 91log 91k k
-+-=++
解得1k =，经检验：当1k =时，满足题意. （2）因为1k =，所以
()()
3log 91x f x x
=+-
因为0x ≥时，()()3log 912x g x x a =+--存在零点，
即关于x 的方程
()
3log 912x a x
=+-有解，
令()()3log 912x x x ϕ=+-，则
()33911log log 199x x x x ϕ+⎛
⎫
==+ ⎪⎝⎭
因为0x ≥，所以
(]1
11,29x +
∈，所以()(]30,log 2x ϕ∈，
所以，实数a 的取值范围是(]30,log 2.
（3）因为函数
()
f x 与
()
h x 的图像只有一个公共点，
所以关于x 的方程()()
33log 32log 91x
x
m m x •-=+-有且只有一个解，
所以·
3233x x x
m m --=+ 令3(0)x
t t =>，得()21210m t mt ---=
（*），记
()()2121
t m t mt ζ=---，
①当1m =时，方程（*）的解为
1
2t =-
，不满足题意，舍去；
的
联系电话：4000-916-716
②当1m >时，函数
()
m t 图像开口向上，又因为图像恒过点
()0,1-，方程（*）有一正一
负两实根，所以1m >符合题意；
③当1m <时，
()()2
2410
m m ∆=-+-=且
()
20
21m
m --
>-
时，解得
m =
，
方程（*
）有两个相等的正实根，所以
m =
满足题意.
综上，m 的取值范围是
{
}112m m ⎧-⎪⋃⎨⎪⎪⎩⎭. 22.如图，在半径为2，圆心角为2π
的扇形金属材料中剪出一个四边形MNQP ，其中M 、N 两点分别在半径OA 、OB 上，P 、Q 两点在弧AB 上，且OM ON =，//MN PQ .
（1）若M 、N 分别是OA 、OB 中点，求四边形MNQP 面积的最大值； （2）2PQ =，求四边形MNQP 面积的最大值. 解：（1）连接OP 、OQ ，则四边形MNQP 为梯形， 设(0,)4AOP BOQ θπ∠=∠=∈，则22POQ θ
π∠=-，
且此时1OM ON ==，四边形MNQP 面积
211113
2sin 2sin 22sin(2)4sin 2sin 222222S θθθθθπ=⨯+⨯+⨯⨯--=-++
，
∴
1sin 4θ=
，S 取最大值7
4；
联系电话：4000-916-716
（2）设(0,2)OM ON x ==∈，
由2PQ =可知3POQ π
∠=
，
12AOQ BOP π∠=∠=
，
314sin
sin()122πππ=-=
∴四边形MNQP 面积
221122S x x x =
+=-+
∴x ，S
取最大值为.。