数学奥林匹克初中训练题_74_
数学奥林匹克初中训练题(6套)
数学奥林匹克初中训练题(1)第 一 试一. 选择题.(每小题7分,共42分)( )1.已知33333a b c abc a b c++-=++,则22()()()()a b b c a b b c -+-+--的值为: (A)1 (B)2 (C)3 (D)4( )2.规定”Δ”为有序实数对的运算,如果(,)a b Δ(,)(,).c d ac bd ad bc =++如果对任意实数,a b 都有(,)a b Δ(,)(,),x y a b =则(,)x y 为:(A)(0,1) (B)(1,0) (C)(1,0)- (D)(0,1)-( )3.在ΔABC 中,211a b c=+,则∠A: (A)一定是锐角 (B)一定是直角 (C)一定是钝角 (D)非上述答案( )4.下列五个命题:①若直角三角形的两条边长为3与4,则第三边长是5;②2;a =③若点(,)P a b 在第三象限,则点1(,1)P a b --+在第一象限;④连结对角线垂直且相等的四边形各边中点的四边形是正方形;⑤两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.其中正确的命题的个数是:(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个( )5.设P 为等腰Rt ΔABC 斜边AB 上或其延长线上一点,22S AP BP =+,那么:(A)22S CP (B)22S CP = (C)22S CP (D)不确定 ( )6.满足方程222()x y x y xy +=++的所有正整数解有:(A)一组 (B)二组 (C)三组 (D)四组二. 填空题.(每小题7分,共28分)1.一辆客车,一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上朝同一方向行驶,在某一时刻,货车在中,客车在前,小轿车在后,且它们的距离相等.走了10分钟,小轿车追上了货车;又走了5分钟,小轿车追上了客车.问再过分钟,货车追上了客车.2.若多项式2228171642070P a ab b a b =-+--+,那么P 的最小值是 .3.如图1, ∠AOB=30O , ∠AOB 内有一定点P,且OP=10.在OA 上有一点Q,OB 上有一点R.若ΔPQR 周长最小,则最小周长是 .4.已知二次函数2(1)y ax a =≥的图象上两点A,B 的横坐标分别为1,2-,O 是坐标原点,如果ΔAOB 是直角三角形,则ΔAOB 的周长为 .第 二 试一.(20分)已知实数,,a b c 满足不等式,a b c b c a ≥+≥+,c a b ≥+,求a b c ++的值.二.(25分)如图2,点D 在ΔABC 的边BC 上,且与B,C 不重合,过点D 作AC 的平行线DE 交AB 于E,作AB 的平行线DF 交AC 于点F.又知BC=5.(1) 设ΔABC 的面积为S.若四边形AEFD 的面积为25S .求BD 长.(2) 若,AC 且DF 经过ΔABC 的重心G,求E,F 两点的距离.三.(25分)已知定理:”若三个大于3的质数,,a b c 满足关系式25a b c +=,则a b c ++是整数n 的倍数.”试问:上述定理中整数n 的最大可能值是多少?并证明你的结论.数学奥林匹克初中训练题(2)第一试一. 选择题.(每小题7分,共42分)( )1.有铅笔,练习本,圆珠笔三种学习用品.若购铅笔3支,练习本7本,圆珠笔1支共需3.15元;若购铅笔4支,练习本10本,圆珠笔1支共需4.2元.现购铅笔,练习本,圆珠笔各1件,共需:(A)1.2元 (B)1.05元 (C)0.95元 (D)0.9元( )2.三角形的三边,,a b c 都是整数,且满足7abc bc ca ab a b c ++++++=,则此三角形的面积等于:(A)2 (B)4 (C)4 (D)2( )3.如图1,ΔABC 为正三角形,PM ⊥AB,PN ⊥AC.设四边形AMPN, ΔABC 的周长分别是,m n ,则有: (A)1325m n (B)2334m n (C)80%83%m n (D)78%79%mn( )4.满足22(3)(3)6x y -+-=的所有实数对(,)x y ,使y x取最大值,此最大值为:(A)3+4+5+ (D)5( )5.设p .其中,,,a b c d 是正实数,且满足1a b c d +++=.则p 满足: (A)p ＞5(B)p ＜5 (C)p ＜2 (D)p ＜3( )6.如图2,点O 是正六边形ABCDEF 的中心,OM ⊥CD,N为OM 的中点.则:ABN BCN S S 等于:(A)9:5 (B)7:4 (C)5:3 (D)3:2二. 填空题.(每小题7分,共28分)1.若实数,x y 满足(1x y =,则x y += .2.如图3,CD 为直角ΔABC 斜边AB 上的高,DE ⊥AC.设ΔADE,ΔCDB,ΔABC 的周长分别是12,,p p p .当12p p p + 取最大值时,∠A= .3.若函数2543kx y kx kx +=++中自变量的取值范围是一切实数,则实数k 的取值范围是 .4.如图4所示,线段AB 与CD 都是⊙O 中的弦,其中108,,36,O O AB AB a CD CD b ====,则⊙O 的半径R= .第 二 试一.(共20分)n 是一个三位数,b 是一个一位数,且22,1a a b b ab ++都是整数,求a b +的最大值与最小值.二.(共25分)如图5,在ΔABC 中,∠A=60O ,O,I,H 分别是它的外心,内心,垂心.试比较ΔABC 的外接圆与ΔIOH 的外接圆的大小,证明你的论断.三.(共25分)求方程组33333x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩的所有整数解.参考答案一.1.(B)数学奥林匹克初中训练题(四)第 一 试三. 选择题.(每小题7分,共42分)( )1.在11,,0.2002,7223πn 是大于3的整数)这5个数中,分数的个数为: (A)2 (B)3 (C)4 (D)5( )2.如图1,正方形ABCD 的面积为256,点F 在AD上,点E 在AB 的延长线上,Rt ΔCEF 的面积为200,则BE 的长为:(A)10 (B)11 (C)12 (D)15( )3.已知,,a b c 均为整数,且满足2223a b c +++＜32ab b c ++.则以,a b c b +-为根的一元二次方程是:(A)2320x x -+= (B)2280x x +-=(C)2450x x --= (D)2230x x --=( )4.如图2,在Rt ΔABC 中,AF 是高,∠BAC=90O ,且BD=DC=FC=1,则AC 为:( )5.若222a b c a b c k c b a+++===,则k 的值为: (A)1 (B)2 (C)3 (D)非上述答案( )6.设0,0,26x y x y ≥≥+=,则224363u x xy y x y =++--的最大值是: (A)272(B)18 (C)20 (D)不存在四. 填空题.(每小题7分,共28分)1.方程222111013x x x x++=+的实数根是 . 2.如图3,矩形ABCD 中,E,F 分别是BC,CD 上的点,且2,3,4A B E C E F A D F S S S ===,则AEF S = .3.已知二次函数2(1)y x a x b =+++(,a b 为常数).当3x =时,3;y =当x 为任意实数时,都有y x ≥.则抛物线的顶点到原点的距离为 .4.如图4,半径为2cm ,圆心角为90O 的扇形OAB 的AB 上有一运动的点P.从点P 向半径OA 引垂线PH 交OA 于点H.设ΔOPH 的内心为I,当点P 在AB 上从点A 运动到点B 时,内心I 所经过的路径长为 .第 二 试一.(20分)在一个面积为1的正方形中构造一个如下的小正方形;将单位正方形的各边n 等分,然后将每个顶点和它相对应顶点最接近的分点连结起来,如图5所示.若小正方形的面积恰为13281,求n 的值. 二.(25分)一条笔直的公路l 穿过草原,公路边有一卫生站A,距公路30km 的地方有一居民点B,A,B 之间的距离为90km .一天某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居民点.已知汽车在公路上行驶的最快速度是60/km h ,在草地上行驶的最快速度是30/km h .问司机应以怎样的路线行驶,所用的行车时间最短?最短时间是多少?三.(25分)从1，2，3，……，3919中任取2001个数。
数学奥林匹克初中训练题(含答案)
数学奥林匹克初中训练题第一试一、选择题(每小题7分，共42分)1.设z y x ++=+++6323，且x 、y 、z 为有理数.则xyz =( ).(A)3／4 (B)5／6 (C)7／12 (D)13／182.设二次函数f (x )=ax 2+ax +1的图像开口向下，且满足f (f (1))=f (3).则2a 的值为( ).(A)－3 (B)－5 (C)－7 (D)－93.方程|xy |+|x +y |=1的整数解的组数为( ).(A)2 (B)4 (C)6 (D)84.a 、b 是方程x 2+(m －5)x +7=0的两个根.则(a 2+ma +7)(b 2+mb +7)=( ).(A)365 (B)245 (C)210 (D)1755.如图，Rt △ABC 的斜边BC =4，∠ABC =30°，以AB 、AC 为直径分别作圆.则这两圆的公共部分面积为( )(A)2332+π (B) 33265-π (C) 365-π (D) 332-π 6.从1，2，…，13中取出k 个不同的数，使这k 个数中任两个数之差既不等于5，也不等于8.则k 的最大值为( ).(A)5 (B)6 (C)7 (D)8二、填空题(每小题7分，共28分)1.若整系数一元二次方程x 2+(a +3)x +2a +3=0有一正根x 1和一负根x 2，且|x 1|<|x 2|，则a = .2.当x =2329-时，代数式x 4+5x 3－3x 2－8x +9的值是 . 3.给定两组数，A 组为:1，2，…，100;B 组为:12，22，…，1002.对于A 组中的数x ，若有B组中的数y ，使x +y 也是B 组中的数，则称x 为“关联数”.那么，A 组中这样的关联数有个.4.已知△ABC 的三边长分别为AB =2576a 2+，BC =62514a a 2++，AC =62514a -a 2+，其中a >7.则△ABC 的面积为 .第二试一、(20分)解方程:(12x +5)2(6x －1)(x +1)=255.二、(25分)如图，四边形ABCD 中，∠ACB =∠ADB =90°，自对角线AC 、BD 的交点N 作NM ⊥AB 于点M ，线段AC 、MD 交于点E ，BD 、MC 交于点F ，P 是线段EF 上的任意一点.证明:点P 到线段CD 的距离等于点P 到线段MC 、MD 的距离之和.三、(25分)矩形玻璃台板碎裂成一些小玻璃片，每块碎片都是凸多边形，将其重新粘合成原矩形后，有交结点30个，其中20个点在原矩形的周界上(包括原矩形的四个顶点)，其余10个点在矩形内部.在矩形的内部有45条粘缝(两个结点之间的线段算是一条粘缝，如图所示).试求该矩形台板所碎裂成的各种类型(指三角形、四边形、五边形等)的块数.说明:若凸多边形的周界上有n个点，就将其看成n边形,例如,图中的多边形ABCDE要看成五边形.数学奥林匹克初中训练题1参考答案第一试1.A .两边平方得3+2 +3+6=x +y +z +2xy +2yz +2xz . 根据有理数x 、y 、z 的对称性,可考虑方程组x +y +z =3,2xy = 2,2yz =3,2xz = 6.解得x =1,y =1／2,z =3／2.此时,xyz =3/4.2.B .注意到f (1)=2a +1,f (3)=12a +1,f (f (1))=a (2a +1)2+a (2a +1)+1.由f (f (1))=f (3),得 (2a +1)2+(2a +1)=12.所以,2a +1=3或－4.因a <0,故2a =－5.3.C .因x 、y 为整数,则|xy |、|x +y |为非负整数.于是,|xy |、|x +y |中一个为0,一个为1.分情形考虑得6组解.4.D .由ab =7,a 2+ma +7=5a ,b 2+mb +7=5b ,所以,(a 2+ma +7)(b 2+mb +7)=25ab =175.5.C .记两圆公共部分的面积为S .如图,易知S =S 扇形EAD +S 扇形F AD －S 四边形AEDF =5π／6－3 .6.B .将这13个数按照相邻两数的差为5或8排列于一个圆周上(如图5).若取出的数多于6个,则必有2个数在圆周上相邻.另一方面,可以取出适合条件的6个数(任取圆周上不相邻的6个数即可),因此,k 的最大值为6.二、1.－2.因方程的两根不等,故Δ>0,即(a +3)2>4(2a +3).解得a >3或a <－1.又由题设条件知,方程的两根和与积皆负,即－(a +3)<0,2a +3<0.从而,a >－3,a <－3/2,即－3<a <－3/2.而a 为整数,则a =－2. 2. 32297-. x =2329-是方程x 2+3x －5=0的根, 3.73.记x +y =a 2,y =b 2,则1≤b <a ≤100.而x=a2－b2=(a+b)(a－b)≤100,因a+b、a－b同奇偶,故a+b≥(a－b)+2.(1)若a－b=1,则a+b为奇数,且3≤a+b≤99.于是,a+b可取3,5,7,…,99,共49个值,这时,相应的x 也可取这49个值.(2)若a－b=2,则a+b为偶数,且4≤a+b≤50.于是,a+b可取4,6,8,…,50,共24个值,这时,相应的x 可取8,12,16,…,100这24个值.其他情况下所得的x值均属于以上情形.若a－b=奇数,则a+b=奇数.而x=a2－b2≥a+b≥3,归入(1).若a－b=偶数,则a+b=偶数.而x=(a－b)(a+b)为4的倍数,且a－b≥2,a+b≥4,故x≥8,归入(2).因此,这种x共有49+24=73个.4.168.注意到AB2=(2a)2+482,BC2=(a+7)2+242,AC2=(a－7)2+242.如图,以AB为斜边,向△ABC一侧作直角△ABD,使BD=2a,AD=48,∠ADB=90°.在BD上取点E,使BE=a+7,ED=a－7,又取AD的中点F,作矩形EDFC1.因BC21=BE2+EC21=(a+7)2+242=BC2,AC21=C1F2+AF2=(a－7)2+242=AC2,故点C与点C1重合.而S△ABD=48a,S△CBD=24a,S△ACD=24(a－7),则S△ABC=S△ABD－S△CBD－S△ACD=168.第二试一、将原方程变形得(12x+5)2(12x－2)(12x+12)=660.令12x+5=t,则t2(t－7)(t+7)=660,即t4－49t2=660.解得t2=60或t2=－11(舍去).由此得t=±2 15,即有12x+5=±215.因此,原方程的根为x1,2=121525-.二、如图,易知A、B、C、D四点共圆,B、C、N、M四点共圆,因此,∠ACD=∠ABD=∠MCN.故AC平分∠DCM.同理,BD平分∠CDM.如图,设PH⊥MC于点H,PG⊥MD于点G,PT⊥CD于点T;过点P作XY∥MC,交MD于点X,交AC于点Y;过点Y作YZ∥CD,交MD于点Z,交PT于点R;再作YH1⊥MC于点H1,YT1⊥CD 于点T1.由平行线及角平分线的性质得PH=YH1=YT1=RT.为证PT=PG+PH,只须证PR=PG.由平行线的比例性质得EP／EF=EY／EC=EZ／ED.因此,ZP∥DF.由于△XYZ与△MCD的对应边分别平行,且DF平分∠MDC,故ZP是∠XZY的平分线.从而,PR=PG.因此,所证结论成立.三、设全部碎片中,共有三角形a3个,四边形a4个,……,k边形a k个(a3,a4,…,a k为非负整数).记这些多边形的内角和为S角,于是,S角=a3×π+a4×2π+…+a k(k－2)π.另一方面,矩形内部有10个结点,对于每个点,围绕它的多边形顶角和为2π,10个内结点共获得10×2π弧度;矩形边界上(不含4个顶点)共有16个结点,在每个这种结点处,各多边形的顶角在此汇合成一个平角,16个这种结点共获得16π弧度;而原矩形的4个顶点处,共获得多边形碎片的2π弧度.因此,S角=20π+16π+2π=38π.于是,a3+2a4+…+(k－2)a k=38.①记这些多边形的边数和为S边.由于每个n边形有n条边,则S边=3a3+4a4+…+ka k.另一方面,在矩形内部的45条粘缝,每条都是两个多边形的公共边,故都计算了两次;矩形周界上的20条线段各被计算了一次,因此,S边=2×45+20=110.于是,3a3+4a4+…+ka k=110.②②－①得2(a3+a4+…+a k)=72.故a3+a4+…+a k=36.③①－③得a4+2a5+3a6+…+(k－3)a k=2.因所有a i∈N,故a6=a7=…=a k=0,a4+2a5=2.所以,或者a4=2,a5=0;或者a4=0,a5=1.综上,本题的解共有两种情况,即全部碎片共36块,其中,或含有34个三角形,2个四边形;或含有35个三角形，1个五边形.。
初中数学奥林匹克竞赛题及答案
初中数学奥林匹克竞赛题及答案奥数题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( )A．a，b都是0B．a，b之一是0C．a，b互为相反数D．a，b互为倒数答案：C解析：令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此a、b互为相反数。
2．下面的说法中正确的是 ( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式答案：D解析：x²，x3都是单项式．两个单项式x3，x²之和为x3+x²是多项式，排除A。
两个单项式x²，2x2之和为3x2是单项式，排除B。
两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D。
3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数B．没有最小的正有理数C．没有最大的负整数D．没有最大的非负数答案：C解析：最大的负整数是-1，故C错误。
4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( )A．a，b同号B．a，b异号C．a＞0D．b＞0答案：D5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( )A．2个B．3个C．4个D．无数个答案：C解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，－1，0共4个．选C。
6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。
这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( )A．0个B．1个C．2个D．3个答案：B解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故C错误。
7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是 ( )A．a大于－aB．a小于－aC．a大于－a或a小于－aD．a不一定大于－a答案：D解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。
8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( ) A．乘以同一个数B．乘以同一个整式C．加上同一个代数式D．都加上1答案：D解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。
数学奥林匹克初中训练题_120_
由于 △ACD △BQD , △CDQ △ADB , 从而 ,
CD CA DQ CQ = , = . DQ BQ BD AB
2
两式相乘得
CQ CD CA CQ CQ CA = ・ = ・ = . BQ BD BQ AB BQ AB
2
c
= 0.
所以 ,
于是 , 1 -
1
a
=1 -
1
b
=1 -
1
c
= 0.
故
=
2 007 x + 2 008 y + 2 009 z + 2 010w
k(
则 x1 + x2 + x3 = . 4. 已知 a、 b、 c 是 △AB C 的三边长 , 且满 足条件 2 2 2 2a 2b 2c 2 = b, 2 = c, 2 = a. 1 +a 1 +b 1 +c 则 △AB C 的面积为 .
BD BQ = . CD CQ 2
2
所以 , a = b = c = 1. 因此 , S △AB C =
3 . 4
第二试
( 1 ) 由题设知 c、 一、 a - b + c、 4a - 2b + c 都是整数 . 因此 , a - b = ( a - b + c) - c 与 4 a - 2 b = ( 4 a - 2 b + c) - c 都是整数 . 进而 , 2 a = ( 4 a - 2 b ) - 2 ( a - b) 及 2 b = ( 4 a - 2 b) - 4 ( a - b) 都是整数 . 所以 , 当 x 为偶数时 (不妨设 x = 2 k ) , 2 y = 4 ak - 2 bk + c为整数 ; 当 x 为奇数时 (不妨设 x = 2 k + 1 ) , 2 y = a ( 2k + 1) - b ( 2k + 1) + c 2 = 4 ak + 4 ak - 2 bk + ( a - b + c) 仍为整数 . ( 2 ) 因为当 x = 0 时 , y = c, 所以 , c 必为 整数 , 但 a、 b不一定是整数 . 1 2 1 1 如函数 y = x + x +1 = x ( x +1) +1, 2 2 2 当 x 为任何整数时 , y 的值都是整数 . 但此函 数中的二次项 、 一次项的系数并不是整数 .
数学奥林匹克初中训练题(94)(含答案)-
数学奥林匹克初中训练题（94）第一试一、选择题（每小题7分，共42分）1．已知a 、b 、c 是两两不相等的实数．则方程（x-a ）（x-b ）+（x-b ）（x-c ）+（x-c ）（x-a ）=0根的情况为（ ）．（A ）必有两个不相等的实根 （B ）没有实根（C ）必有两个相等的实根 （D ）方程的根有可能取值a 、b 、c2．在半径为1的圆内，自点A 出发的所有长度不小于该圆的内接正△ABC•的边长a 的弦，所组成的图形的面积为（ ）（A ）2π+3 （B ）3π+2 （C ）2π（D ）3π3．已知a 、b 为实数，设b-a=2 006，如果关于x 的一元二次方程x 2+ax+b=0的根都是整数，则该方程的根共有（ ）组．（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）104．如图是一个三角形数表，从上到下依次称作第一行、第二行、……．•已知该三角形数表中每个“”中的数均为正整数的倒数，且等于与其相连的两脚下数之和．如果第一行中的那个数是11，则第三行中的数从左至右的填法有（ ）．（A ）恰有一种 （B ）恰有两种 （C ）恰有三种 （D ）有无数多种 5．在△ABC 中，AB<BC<CA ，且AC-AB=2，AD 为∠BAC 的平分线，E 为边AC 上的一点，•联结BE 交AD 于点G ，且2,AC AE AGCD BD GD===2 007，则边BC 的长为（ ）． （A ）2 008 （B ）2 007 （C ）2 006 （D ）2 0056．某次数学竞赛设选择题（含6个小题）、填空题（含4个小题）、解答题（含3个小题）分类，其中，选择题、填空题均每小题7分，解答题中第1小题20分、第2、3小题每小题25分，满分140分．评分标准是：选择题、填空题做对得7分，不做或做错得0分；解答题设0分，5分，10分，15分，20分，25分共6档．那么，这次考试所得的不同分数最多有（ ）种．（A ）141 （B ）129 （C ）105 （D ）117 二、填空题（每小题7分，共28分） 1．已知a 、b 、c 均为非零实数，满足：b c a c a b a b c a b c +-+-+-==，则()()()a b b c c a abc+++的值为_________． 2．点G 是△ABC 的重心，过点G 的直线与边AB 、AC 分别交于点M 、N ．已知,AM ANm AB AC==n ．则一次函数y=-nmx+n 与x 轴、y 轴所围成的三角形的面积的最小值为______．3．把n 个大小均不相同的正方形互不重叠地拼在一起，•所得的图形的面积恰为2006，则n 的最小值为______．4．如图，两个全等的边长为正整数的正△A 1B 1C 1和正△A 2B 2C 2的中心重合，•且满足A 1B 1⊥A 2C 2，若六边形ABCDEF 的面积为S=1m -m 、n 为有理数，则mn的值为_______．第二试一、（20分）求证：面积和周长分别对应相等的两个直角三角形全等．二、（25分）已知k、a都是正整数，2 004k+a、2 004（k+1）+a都是完全平方数．（1）请问这样的有序正整数（k，a）共有多少组？（2）试指出a的最小值，并说明理由．三、（25分）如图，已知圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点N，点M•在对角线BD上，且满足∠BAM=∠DAN，∠BCM=∠DCN．求证：（1）M为BD的中点；（2）AN AM CN CM．参考答案第一试 一、1．A ．原方程可化为3x 2-2（a+b+c ）x+ab+bc+ca=0． 其判别式为△=4（a+b+c ）2-4×3（ab+bc+ca ） =2[（a-b ）2+（b-c ）2+（c-a ）2]．因为a 、b 、c 两两不相等，则△>0，所以，方程必有两个不相等的实根． 2．D ．由题给条件易知，这些弦组成的图形恰为正△ABC 及其所对的弓形． 设△ABC 的中心为O ，则小扇形BOC 的面积为3π．而S △AOB =S △AOC =12×12×sin120°．故所求的图形的面积为2+3π． 3．B ．由韦达定理得x 1+x 2=-a ，x 1x 2=b ，则x 1+x 2+x 1x 2=2 006． 所以，（x 1+1）（x 2+1）=2 007=9×223=-9×（-223）=3×669=-3×（-669）=1×2 007=（-1）×（-2 007）． 易知方程有6组解． 4．C ．设第二行的两个数为m 、n ，则11m n+=1（m 、n ∈N +）． 于是，m=1111n n n =+--，解得n-1=1．从而，n=2，且n=2， 即第二行的数只能为12，12．设第三行中12脚下的两个数为12=11m n+（m 、n ∈N +）． 则m=24222n n n =+--． 故（n-2）│4，知n-2=1，2，4．于是，6,4,3,34, 6.m m m n n n ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩或或 故第三行的数由左到右是13，16，13或16，13，16或14，14，14． 5．B ．如图，过点E 作EF ∥AD 交CD 于点F ，设AB=x ，则AC CD CDAE DF BD==． 有BD=DF ．所以，DG 为△BEF 的中位线，则BG=GE ． 又∠BAG=∠EAG ，所以，AB=AE=x ． 得CE=AC-AE=AC-AB=2． 又因EF ∥AD ，所以AE CE ACDF CF CD===2． 故DF=2x，CF=1． 而222EF CE AD AC AE CE x ===++ 及22220081EF GD AG AD AG GD GD===++，故x=2 006． 因此，BC=2 007． 6．D（1）选择题及填空题的得分有0，7，14，…，70共11种可能，解答题得分有0，5，10，•…，70共有15种可能，故产生11×15=165种结果．（2）下列23个分数0，5，7，10，12，14，15，17，19，20，21，22，24，25，26，27，•28，•29，30，31，32，33，34可以得到且只有一种获得方法；又35=7×5=5×7，即35•分可表示为做对5个7分或7个5分的题，故前面23个分数相应分别加上35•所得的分数均有两种获得方法．于是，这新的23个分数各有两种获得方法，且均小于70．根据对称性，用140减去新的23个分数所得的数也均有两种表示方法，这些数恰为71到140之间的能够取到的分数．前后共计2×23=46个数．（3）由70=7×10=5×14=7×5+5×7，知共有三种获取方法．故满足不重复的要求的不同分数共165-46-2=117（种）．二、1．-1或8．令b c a c a b a b ca b c+-+-+-===k，则b+c=（k+1）a，c+a=（k+1）b，a+b=（k+1）c．于是，2（a+b+c）=（k+1）（a+b+c）．故a+b+c=0或b+c=2a，c+a=2b，a+b=2c．所以()()()a b b c c aabc+++=-1或8．2．29如图，在△ABD中，应用梅涅劳斯定理得AM BE DGMB ED GA=1，即12MB EDAM BE=．在△ADC中，应用梅涅劳斯定理得AG DE CNGD EC NA=1，即12DE CNEC NA=．则1122BM CN BE EC DEAM AN ED DE DE+=+==1．故BA CAAM AN+=3，即11m n+=3．所以，3mn=m+n≥mn≥49．而一次函数y=-nmx+n与x轴、y轴的交点坐标为（m，0），（0，n），故所求的三角形的面积S=12mn≥29，且当且仅当m=n时，等号成立．注：本题也可以用特殊值法求解．3．3．设n个正方形的边长分别为x1，x2，…x n，则x12+x22+…+x n=2006.由于x i2≡0或1（mod 4），而2 006≡2（mod 4），故x i中至少有两个奇数。
中等数学初中数学奥林匹克训练题
中等数学初中数学奥林匹克训练题1. 介绍中等数学初中数学奥林匹克训练题，是一种专门针对初中生进行数学训练和竞赛的题目。
这些题目通常涉及到复杂的数学概念和技巧，旨在培养学生的逻辑思维能力、数学解决问题能力和创新意识。
通过解答这些题目，学生能够在数学领域得到更深入的理解和掌握。
2. 挖掘数学思维中等数学初中数学奥林匹克训练题的背后，不仅仅是简单的计算和公式运用，更是要求学生发挥出自己的数学思维和分析能力。
这些题目通常设计得非常巧妙，需要学生灵活运用各种数学知识和技巧来解决问题。
解答这些题目不仅需要正确的答案，更需要清晰的思路和严谨的推导过程。
通过这样的训练，学生将逐渐形成扎实的数学思维，为今后的学习和发展打下坚实的基础。
3. 探索数学知识中等数学初中数学奥林匹克训练题涉及的数学知识面非常广，涵盖了初中阶段的各种数学概念和技巧。
通过解答这些题目，学生将会对数学知识有更深入的了解和掌握。
由于这些训练题的复杂性和挑战性，学生也将在实践中不断拓展数学知识的边界，在实际问题中提升自己的解决能力。
4. 个人观点个人认为，中等数学初中数学奥林匹克训练题对于培养学生的数学思维和解决问题能力起着非常重要的作用。
这种训练不仅能够帮助学生更好地掌握数学知识，更能培养其良好的思维习惯和学习态度。
未来，这种能力将在学生的发展过程中发挥重要的作用，不仅仅局限于数学领域，更会对其整体的学习和人生有着积极的影响。
中等数学初中数学奥林匹克训练题是一种非常有价值的数学训练方式，它不仅可以帮助学生更深入地理解和掌握数学知识，更能够培养他们良好的思维习惯和解决问题能力。
希望更多的学生能够参与到这样的训练中，从中受益，不断成长。
中等数学初中数学奥林匹克训练题是一项引人注目的数学竞赛活动，它旨在挑战学生的数学思维和解决问题能力。
这些题目不仅仅是简单的数学运算，更是要求学生在复杂的情境下应用数学知识来解决问题。
这种训练不仅可以提高学生的数学水平，还能够培养他们的创造性思维和解决实际问题的能力。
初中数学奥林匹克训练题(五)及答案
数学奥林匹克初中训练题(五)第 一 试一. 选择题.(每小题7分,共42分)( )1.若,a b 均为质数,且22003a b +=,则a b +的值为:(A)1999 (B)2000 (C)2001 (D)2002( )2.设0,1,a b c a b c ++=f f f ,,,b c a c a b M N P a b c +++===,则,,M N P 之间的关系是:(A)M N P f f (B)N P M f f(C)P M N f f (D)M P N f f( )3.设ΔABC 的三边长为,,a b c 满足28,1252b c bc a a +==-+,则ΔABC 的周长是: (A)10 (B)14 (C)16 (D)不能确定( )4.下面四个命题:①直角三角形的两边长为3,4,则第三边长为5;②1x x x-=-,③对角线相等且互相垂直的四边形是正方形;④若四边形ABCD 中,AD ∥BC,且 AB+BC=AD+DC,则四边形ABCD 是平行四边形.其中正确的命题的个数为:(A)0 (B)1 (C)2 (D)3( )5.一个四位数aabb u u u u u r 为平方数,则a b +的值为:(A)11 (B)10 (C)9 (D)8( )6.如果满足60,12,O ABC AC BC k ∠===的ΔABC 恰有一个,那么k 的取值范围是:(A)83k = (B)012k ≤p (C)12k ≥ (D)012k ≤p 或83k =二. 填空题.(每小题7分,共28分)1.已知,,a b c 为实数,且多项式32x ax bx c +++能被234x x +-整除,则22a b c --的值是 .2.设正整数,,a b c 满足518,360ab bc ab ac +=-=,则abc 的最大值是 . 3,若abc =1,2003111x x x a ab b bc c ac++=++++++,则x = . 4.如图1,AB 是半圆O 的直径,四边形CDMN 和DEFG 都是正方形,其中C,D,E 在AB 上,F,N 在半圆上.若AB=10,则正方形CDMN 的面积与正方形DEFG 的面积之和是 .第 二 试一.(20分)若AD 是ΔABC 角平分线,I 是线段AD 上的点,且1902O BIC BAC ∠=+∠. 求证:I 是ΔABC 的内心.二.(25分)用汽船拖载重量相等满载货物的小船若干只,在两港之间来回送货物.已知每次拖4只小船,一日能来回16次;每次拖7只小船,一日能来回10次.每日来回次数是拖小船只数的一次函数(一天中每次拖小船只数不变).问每日来回多少次,每次拖多少只小船,才能使运货问题达到最大?三.(25分)设,,a b c 是从1到9的互不相同的整数,求a b c abc++的最大的可能值.。
初中数学奥林匹克训练题及答案
初中数学奥林匹克训练题第一试一、选择题(每小题7分，共42分)1.已知m 、n 是两个连续正整数，m<n ，且a=mn ，设x=m -a n a ++，y=m -a n a -+.下列说法正确的是( ).(A)x 为奇数，y 为偶数 (B)x 为偶数，y 为奇数 (C)x 、y 都为奇数 (D)x 、y 都为偶数2.设a 、b 、c 和S 分别为三角形的三边长和面积，关于x 的方程b 2x 2+(b 2+c 2-a 2)x+c 2=0的判别式为Δ.则Δ与S 的大小关系为( ).(A)Δ=16S 2 (B)Δ=-16S 2 (C)Δ=16S (D)Δ=-16S 3.设a 为5353--+的小数部分，b 为336336--+的小数部分.则ab12-的值为( ). (A)6 +2 -1 (B) 6- 2+1 (C) 6- 2-1 (D) 6+2+14.如图，D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的点，△ACD 与△BCD的周长相等，△ABE 与△CBE 的周长相等，记△ABC 的面积为S.若∠ACB=90°，则AD ·CE 与S 的大小关系为( ).(A)S=AD·CE(B)S>AD·CE(C)S<AD ·CE(D)无法确定5.如图，在△ABC 中，AB=8，BC=7，AC=6，延长边BC 到点P ，使得△PAB 与△PCA 相似.则PC 的长是( ).(A)7 (B)8 (C)9 (D)10 6.如图，以PQ=2r(r ∈Q)为直径的圆与一个以R(R ∈Q)为半径的圆相切于点P .正方形ABCD 的顶点A 、B 在大圆上，小圆在正方形的外部且与边CD 切于点Q.若正方形的边长为有理数，则R 、r 的值可能是( ).(A)R=5，r=2 (B)R=4，r=3/2(C)R=4，r=2 (D)R=5，r=3/2 二、填空题(每小题7分，共28分) 1.已知方程x 2+x-1=0的两个根为α、β.则αββα33+的值为 .2.把1，2，…，2 008个正整数分成1 004组:a 1，b 1;a 2，b 2;…;a 1 004，b 1 004，且满足a 1+b 1=a 2+b 2=…=a 1004+b 1004.对于所有的i(i=1，2，…，1 004)，a i b i 的最大值为 .3.AD 、BE 、CF 为△ABC 的内角平分线.若BD+BF=CD+CE=AE+AF ，则∠BAC 的度数为 .4.下列四个命题:①一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形; ②一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形;③一组对角相等且这一组对角的顶点所联结的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形;④一组对角相等且这一组对角的顶点所联结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形.其中，正确命题的序号是.第二试一、(20分)已知△ABC中，∠A>∠B>∠C，且∠A=2∠B.若三角形的三边长为整数，面积也为整数，求△ABC面积的最小值.二、(25分)已知G是△ABC内任一点，BG、CG分别交AC、AB于点E、F.求使不等式S△BGF ·S△CGE≤kS2△ABC恒成立的k的最小值.三、(25分)已知(x+1y2+)(y+1x2+)=1.求证:x+y=0.初中数学奥林匹克训练题参考答案第一试一、1.C.x=n+m=m+m+1=2m+1，y=n-m=1.所以，x 、y 都是奇数. 2.B. 因为Δ=(b 2+c 2-a 2)2-4b 2c 2=(b 2+c 2-a 2+2bc)(b 2+c 2-a 2-2bc) =[(b+c)2-a 2][(b-c)2-a 2]=(b+c+a)(b+c-a)(b-c+a)(b-c-a). 记p=21 (a+b+c)，所以，Δ=2p·2(p-a)·2(p-c)[-2(p-b)]=-16p(p-a)(p-b)(p-c).由海伦公式知S 2=p(p-a)(p-b)(p-c). 故Δ=-16S 2.3.B.4.A.设BC=a ，CA=b ，AB=c.由题意知AD+AC=BC+CE=21 (a+b+c).故AD=21 (a+c-b)，CE=21 (b+c-a).则AD ·CE=41 (a+c-b)(b+c-a)=41[c 2-(a-b)2]=41(c 2-a 2-b 2)+12ab.由∠ACB=90°，知a 2+b 2=c 2，S=21ab.于是，AD ·CE=S.5.C.由题意知只能是△PAB ∽△PCA.则有PA/PC=PB/PA=AB/AC=8/6=4/3.故PB=34PA ，PB=PC+BC=PC+7，PA=34PC.又PA 2=PB ·PCPC=9. 6.D.辅助线如图.由题意知OA 2=OE 2+AE 2.设AB=2x ，则AE=x. 于是，R 2=[2x-(R-2r)]2+x 2.化简得5x 2-4(R-2r)x+4(r 2-Rr)=0.①要使AB 为有理数，只要x 为有理数，也即方程①的Δ=[-4(R-2r)]2-4×5×4(r2-Rr)=16(R 2+Rr-r 2)为完全平方式，也即只需R 2+Rr-r 2为完全平方式. 经验证知，只有选项(D)符合题意. 二、1.-7. 令A=αββα33+，B=ββαα33+=α2+β2.由已知有α+β=-1，αβ=-1.故B=(α+β)2-2αβ=1+2=3.① A+B=)=(α3+β3)(1/α+1/β)=-4.②由式①、②得A=-4-3=-7. 2.1 009 020. 注意到a i b i =41[(a i +b i )2-(a i -b i )2]，a i +b i =(1+2 008)×1 004/1 004=2 009.要使a i b i 的值最大，须a i -b i 的值最小，而a i -b i 的最小值为1，此时a i +b i =2 009，a i -b i =1.于是，a i =1 005，b i =1 004，此时，a i b i 的最大值为1 005×1 004=1 009 020. 3.60°.记BC=a ，CA=b ，AB=c.由内角平分线定理知 BD=cb ac +，CD=cb ab +，BF=ba ac +，CE=ca ab +.由BD+BF=CD+CE ，.去分母并化简得a 2c+2ac 2+2bc 2+c 3=a 2b+2ab 2+2b 2c+b 3， 即 (c-b)(a 2+2ac+2ab+b 2+c 2+3bc)=0.显然a 2+2ac+2ab+2bc+b 2+c 2+bc=(a+b+c)2+bc>0. 于是，c-b=0，即b=c.同理，当CD+CE=AE+AF 时，有c=a.所以，a=b=c ，△ABC 为等边三角形. 故∠BAC=60°. 4.④.命题①、②、③可分别给出如下反例:命题①:如图5(a)中的四边形ABCD ，其中，△ABD △CDE.命题②:如图5(b)，作等腰△ADE ，延长底边ED 到任意点O ，以O 为对角线的交点可作出 ABCE ，而此时四边形ABCD 满足条件AD=(AE=)BC ，且AO=CO ，但不是平行四边形.命题③:如图5(c)中的四边形ABCD ，其中，A 、C 是BD 垂直平分线上的任意两点.图5 以下证明命题④是正确的.如图5(d)，已知∠BAD=∠DCB ，且OB=OD.以点O 为中心，将△ABD 逆时针旋转180°.因为OB=OD ，所以，点D 与B 重合， 点B 与D 重合，点A 与射线OC 上某点A 1重合.如果A 1不是C ，则∠BA 1D>∠BCD(A 1在线段OC 内部)或∠BA 1D<∠BCD(A 1在OC 的延长线上)，都与∠BA 1D=∠BAD=∠BCD 矛盾，从而，A 1即是C ，即OA=OA 1=OC.所以，四边形ABCD 是平行四边形. 第二试一、记BC=a ，CA=b ，AB=c.如图，作∠BAC 的平分线AD ，则∠BAD=∠DAC=∠B ，∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B.故△ACD △BCA.于是，b/a=CD/b.①又由角平分线定理知b/c=CD/BD.从而，cb b +=BDCD CD + =aCD .②由式①、②得ac b +=ba .故a 2=b(b+c).若(b ，c)=d ，则由式①知d|a ，故不妨设(b ，c)=1.于是，可令 b=m 2，b+c=n 2.则a=mn ，c=n 2-m 2.由∠A>∠B>∠C ，知a>b>c ，即mn>m 2>n 2-m 2. 故m<n<2 m.③又m 、n 为正整数，从而，2m-m>1，即m>2 +1.④设△ABC 的面积为S ，由海伦公式知 S=41n(n+m)(n-m)·n)-n)(2m (2m +.由式④知m ≥3.又由式③容易验证:当3≤m ≤7时，只有m=5时，n=6，n)-n)(2m (2m + =8(有理数)，此时， S=14×6×11×1×8=132.下证当m ≥8，n ≥9时，S>162. 由式③、④知(2m+n)(2m-n)>3m(2m-2m)=(6-32)m 2>(6-42)m 2=(2-2)2m 2，n(n+m)(n-m)>n(1+22n)×1=21 (2+ 2)n 2.由式⑤知 S>14×12(2+ 2)n 2(2- 2)m=14n 2则当m ≥8，n ≥9时，有S>162.故S 的最小值为132，此时，m=5，n=6.所以，a=30，b=25，c=11时，△ABC 面积最小，最小值为132.二、如图，设AF/AB=x ，AE/AC=y.则0<x 、y<1.在△ABE 中，由梅涅劳斯定理有BG/GE·EC/CA·AF/FB=1..从而，u 2+(t-2)u+2t=0在[0，2]内有实根，则Δ=(t-2)2-8t ≥0 t ≥6+42或t ≤6-42.从而t ≤6-4 2. 所以，tmax=6-4 2，此时u=22 -2.因此，当u=22-2，x=y ，即x=y=2-1时，(S △BFG ·S △CEG /S 2△ABC )max=41(6-4 2)2=17-122.故k ≥17-122，kmin=17-12 2.三、用反证法证明.(1)先证x=0时y=0，或y=0时x=0.如若不然，假设x=0时，y>0.则 (x+1y 2+)(y+1x 2+)=1y 2+ (y+1)>1，与已知矛盾.当x=0，y<0时，又有 (x+1y 2+)(y+1x 2+)=1y 2+ (y+1)<12y 2+-y (1+y)=(1-y)(1+y)=1-y 2<1，与已知矛盾.故x=0时，y=0. 同理，y=0时，x=0.(2)再证x ≠0，y ≠0时，x+y=0.为此先证xy<0. 如若不然，则x>0，y>0或x<0，y<0.当x>0，y>0时，(x+1y 2+)(y+1x 2+)>1，与已知矛盾.当x<0，y<0时，(x+1y 2+)(y+1x 2+)=y)-1x x)(-1y ()y -1)(x x -1(y 222222++++=y)-1x x)(-1y ()x -(y -122222++≤y)-1x x)(-1y (122++.但(1y 2+-x>1，1x 2+-y>1，则y)-1x x)(-1y (122++<1，与已知矛盾.从而，xy<0. 以下分两种情形讨论.(i)若x+y>0，由于原式关于x 、y 对称，不妨设x>0，y<0.则x>-y ，x2>y2， 有(x+1y 2+)(y+1x 2+)>(1y 2+-y)(1y 2++y)=1，与已知矛盾.同理，当x<0，y>0时，也与已知矛盾. (ii)若x+y<0，不妨设x>0，y<0.则x<-y ，x 2<y 2，有(x+1y 2+)(y+1x 2+)<(1y 2+-y)(1y 2++y)=1，与已知矛盾.由(i)、(ii)知，x+y>0和x+y<0均不成立. 因此，x+y=0. 综上知x+y=0.。
初中数学奥林匹克竞赛题4套带详解.pptx
于点.F.又知BC=5.
/A
(1) 设△ABC的面积为S.若四边形AEFD的面积为-£ .求
2
5 ED长.
⑵ 若AC = -J2AP,且DF经过△ ABC的重心G,求E, F两
点的距离，
=. （25分）已知定理："若三个大于3的庙教貞，成二满足关系式2a-\-5b = c ,贝LI a +占+二
是整数点的倍数试问：上述定理中整数推的最大可能值是峯少T并证明你的结论.
fj£,(«+ ft + f):^yr 队&异曲乂 故("+ A + c):
s o.Mifti. n + t+ r=o. 二.如图7. W •:健:浦.网抓
，'-,2,稀#；s丄况4 s乙 ix：f.
记 S jtn = Si •
■ y .1.
①
,啓 HI) _ CD 一厅=商71 =此.
TH '/si g HD+IX： Bf： 于也
值与最小值. 二. （共狷分）如图5,在厶ABC中，ZA=60：J 0,
LH分别是它的外心，内心，垂心.试比较厶 ABC 的外接圆与厶IOH的外接圆的大小，证明 你的论 断.
x+y+z = 3 三. （共25分■）求方程组f 5 % 的所有
X3+/+Z3 = 3 整数解.
6
学海无涯
参考答案：2 没购铅宅、炼习本個球笔各I件分别元寸
4.已知二汶函数y=aX2（a>V）的圏象上两点A, B的橫坐标分别为-1,丄。是坐标原点,
如SAA0B是直角三角形，则AAOB的周长为____. 第二试
—.（20分）已知实数淳&二满足不等式园乏杓+二，冋乏Z+刘|, m |a+占|,求a+占+二
数学奥林匹克初中训练题(7)(含解答)
数学奥林匹克初中训练题(7)第 一 试一. 选择题:(每小题7分,共42分)1.在112,,0.2002,(3222),7223n n π----(n 是大于3的整数)这5个数中,分数的个数为( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)52.如图1,正方形ABCD 的面积为256,点F 在AD 上,点E在AB 的延长线上,Rt ΔCEF 的面积为200,则BE 的长为( )(A)10 (B)11 (C)12 (D)153.已知,,a b c 均为整数,且满足2223a b c +++＜32ab b c ++.则以,a b c b +-为根的一元二次方程是( )(A)2320x x -+= (B)2280x x +-=(C)2450x x --= (D)2230x x --=4.如图2,在Rt ΔABC 中,AF 是高,∠BAC=90O ,且BD=DC=FC=1,则AC 为( )(A)32 (B)3 (C)2 (D)335.若222a b c a b c k c b a+++===,则k 的值为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)非上述答案 6.设0,0,26x y x y ≥≥+=,则224363u x xy y x y =++--的最大值是( )(A)272(B)18 (C)20 (D)不存在 二. 填空题:(每小题7分,共28分)1.方程222111013x x x x++=+的实数根是 . 2.如图3,矩形ABCD 中,E,F 分别是BC,CD 上的点,且2,3,4ABE CEF ADF SS S ===,则AEF S = .3.已知二次函数2(1)y x a x b =+++(,a b 为常数).当3x =时,3;y =当x 为任意实数时,都有y x ≥.则抛物线的顶点到原点的距离为 .4.如图4,半径为2cm ,圆心角为90O 的扇形OAB 的AB 上有一运动的点P.从点P 向半径OA 引垂线PH 交OA 于点H.设ΔOPH 的内心为I,当点P 在AB 上从点A 运动到点B 时,内心I 所经过的路径长为 .第 二 试一.(20分)在一个面积为1的正方形中构造一个如下的小正方形;将单位正方形的各边n 等分,然后将每个顶点和它相对应顶点最接近的分点连结起来,如图5所示.若小正方形的面积恰为13281,求n 的值.二.(25分)一条笔直的公路l穿过草原,公路边有一卫生站A,距公路30km的地方有一居民点B,A,B之间的距离为90km.一天某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居km h,在草地上行驶的最快速度是民点.已知汽车在公路上行驶的最快速度是60/km h.问司机应以怎样的路线行驶,所用的行车时间最短?最短时间是多少? 30/三.(25分)从1，2，3，……，3919中任取2001个数。
数学奥林匹克初中训练题
’
则 ｋ＝
．
２ ． 若 关 于 的方 程
＋２（ ｍ ＋３） ＋ｍ ＋３＝０
若＇ ｔ Ｏ＝２ ｘ 一２ ｙ＋ Ｚ － ， 则 Ｗ 的最 小值 为
（ ） ．
， ， １
的两 实数根分别为 ． 、 ， 则Ｉ ｘ 一ｌ ｌ ＋Ｉ ２ 一 ｌ Ｉ 的最 小值 为 ．
器ｊ Ｂ Ｃ ＝ ．
所以， △Ａ Ｂ Ｃ的周长为 ５＋￣ ／ ／ １ ０．
５ ． Ｂ．
当 ｍ＝ｌ时 ， 原 方程 为 ｌ Ｙ 一１ Ｉ ＝３或 １
故有五个不同的实根 ± ２ ， ± ， ０ ．
６ ．Ｒ
如图 ６ ， 延 长 Ｃ Ａ、 Ｆ Ｍ 交于点 Ｐ ． 则Ｃ Ｆ：Ｃ Ｐ ．
（ Ｄ） ５＋ １ ０
４ ． 设 表示数 ｎ 的个 位数字 ． 则
ｌ ＋ ２ ＋ … ＋ Ｘ２ ０ １ ２＝
— —
・
５ ． 若关于 Ｙ 的方程 ｌ ｌ Ｙ 一 １ Ｉ 一 ２ Ｉ ＝ ｍ恰
有五个 不 同 的实根 ， 则ｒ ａ＝（ ） ．
一
第 二 试
、
（ ２ ０分 ） 如图 ２ ， 在等 腰 Ｒ ｔ △Ａ Ｂ Ｃ
（ Ａ） ０ （ Ｂ） １ （ Ｃ） ２ （ Ｄ） 大于 ２
６ ． 如图 １ ， 在△ Ａ Ｂ Ｃ中 ， Ａ Ｂ： Ａ Ｃ， Ｃ Ｍ 平
中， Ｃ＝ ９ ０ 。 ， 点 Ｄ、 Ｅ在 边 Ｂ Ｃ上 ， 点 在Ａ Ｃ的延 长线 上 ，
且Ｂ Ｅ ＝Ｅ Ｄ ＝Ｃ Ｆ ． 求
分 Ａ Ｃ Ｂ， 与Ａ Ｂ 交 于 点 Ｍ， Ａ Ｄ ＿ ｌ －Ｂ Ｃ 于 点 Ｄ， ＭＥ＿ ｌ ＿Ｂ Ｃ 于 点 Ｅ， ＭＦ上 ＭＣ与 Ｂ Ｃ 交 于 点
数学奥林匹克初中训练题(八)含答案
数学奥林匹克初中训练题(八)第 一 试一. 选择题.(每小题7分,共42分)( )1. 已知,,,,x y z a b 均为非零实数,且满足33311,xy yz x y a b y z a ==+-+,331zx z x a b =++,112xyz xy yz zx =++,则a 的值是: (A)1 (B)2 (C)1- (D)2-( )2.如图1,在等腰Rt ABC ∆中,AC=BC,以斜边AB 为一边作等边ΔABD, 使点C,D 在AB 的同一侧.再以CD 为一边作等边ΔCDE,使点C,E 在AB 的异偶.若AE=1,则CD 的长为:1 2 (C)12 (D)2( )3.对于任意给定的正整数6,3n n m +为某正整数的立方,其中m 为正整数.那么,这样的m :(A)只有一个 (B)只有两个 (C)有无数多个 (D)不存在( )4.如图2,在Rt ABC ∆中,∠ABC=90O ,AB=12AC.在直线AB 或BC 上取一点P,使ΔPAC 为等腰三角形.那么,符合条件的点P 共有:(A)4个 (B)6个 (C)7个 (D)8个( )5.已知锐角ΔABC 的三边长不相等,D 是边BC 上一点, ∠BAD+∠C=90O .那么,AD 必通过ΔABC 的:(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心( )6.若正整数m 使得关于x 的函数0)y x x =≥的最大值也是正整数,那么,这个最大值等于:(A)3 (B)4 (C)7 (D)8二. 填空题.(每小题7分,共28分)1.已知,a b 为正整数,且满足22449a b a ab b +=++.则a b +的 值等于 .2.如图3,在正方形ABCD 中,过点B 作BE ∥AC,使得CE=AC.延长EC 交BA 的延长线于点F.则∠F= .3.已知,a b 是方程2230x px ++=的两个实根,,c d 是方程2230x qx ++=的两个实根,,e f 是方程2222()30x p q x +-+=其中,p q 是实数.则()()()()a c b c a d b d e f--+++的值是 .4.如图4,直线13y x =-+与x 轴,y 轴分别交于点A,B,以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰Rt ABC ∆,∠BAC=90O .如果第二象限内存在一点1(,)2P a ,使得ΔABP与ΔABC 的面积相等,则实数a 的值为 .第 二 试一.(20分)在二次函数2y ax bx c =++中,a 为正整数,1,1a b c c ++≥≥.且方程20ax bx c ++=有两个小于1的不等正实数根,求a 的最小值.二.(25分)如图5,已知⊙O 1与⊙O 2相离,OP 和OQ 是它们的两条外公切线,线段O 1O 2的垂直平分线交射线OP 于A,过点A 分别作⊙O 1,⊙O 2的切线,分别交射线OQ 于B,C 两点. 求证: ΔABC 是等腰三角形.三.(25分)是否存在正整数,a b ,使得等式323()2a a b b b a +++=++成立?如果存在,求 出所有,a b 的所有值;如果不存在,请说明理由.。
初中数学奥林匹克训练题七及答案
山西信息职业技术学院毕业设计毕业设计题目：校园网规划与设计系别：信息工程系专业：计算机系统维护班级：维护0701班学生姓名：苏超指导教师：王敏2010年4月20 日摘要从20世纪90年代初迅速发展起来的internet，已经飞速改变了人们的生活和工作。
人们被其丰富无穷的信息资源、方便快捷的交流方式深深吸引。
但是，许多人没有能力或条件购置上网所需的微机与线路，比如学生、流动人口和收入较低者。
为了满足这些人群的上网需求，网吧应势诞生了。
就我国民目前的收入情况分析，投资网吧是一大商机。
从2000年开始，随着网络使用成本的降低和网络游戏的发展，全国各地的网吧如雨后春笋一样拔地而起，网吧作为一种新型的消费娱乐场所开始得以普及并成为令人瞩目的信息产业。
如今的网吧产业，在中国已带动了电信接入商、计算机生产商、游戏厂商等一系列行业的发展。
如今，随着计算机软件、硬件以及操作系统的不断升级，中国网吧历经10年的发展，已经具有了较大的产业规模与影响。
本课题的主要研究方法为调查分析法、行动研究法。
对网吧组建维护可行性分析，对网吧的管理方式、内容设置、开办规模、硬件配置采用观察、问卷调查、经验总结对比分析等方法和手段，进行多个轮回的研究。
关键词：网吧局域网维护AbstractIn the early 1990s, the rapid development of Internet has been rapid change people's life and work. People are its rich endless information resources, fast and convenient communication. However, many people have no ability to online purchase or conditions, such as computer and line students, floating population andlower-income people. In order to meet the needs of Internet cafe, people should be potential was born. My current situation analysis of national income, investment is a business Internet cafes.Since 2000, with the Internet use cost reduction and online game development throughout the country, as the Internet cafe, like as a new consumption entertainment and start to become remarkable information industry. Now the Internet industry in China, has led to JieRuShang telecom, computer manufacturers, game manufacturers and so on a series of industry development. Nowadays, with the computer software, hardware and operating system of Chinese Internet has escalated, 10 years of development, has large scale and influence of the industry.This topic research methods for survey analysis, action research. Established in Internet cafes to maintain the feasibility analysis, the management mode, content, size, hardware configuration, questionnaire investigation, by observing experience summary analysis method and means, the research on multiple rebirth.Keywords：Internet LAN maintain目录引言 (3)一、网吧的组建概述 (3)二、局域网的组建类型 (3)2.1总线型网络 (3)2.2星型网络 (4)2.3制定IP地址 (4)2.4网络连通测试 (4)2.5服务器的配置 (5)三、连接ISP (5)3.1拨号连接 (5)3.2专线接入 (6)四、设置代理服务器 (7)五、网吧的计费管理 (8)六、网吧电脑的维护 (8)6.1网吧电脑硬件的维护 (8)5.2 网吧电脑软件的维护 (9)七、网吧诊断网络 (9)八、网吧电脑查杀维护 (10)8.1定期查杀病毒 (10)8.2定期更新病毒库 (10)8.3定期更新系统补丁 (10)九、结语 (10)参考文献 (9)致谢 (10)引言从2000年开始，随着网络使用成本的降低和网络游戏的发展，全国各地的网吧如雨后春笋一样拔地而起，网吧作为一种新型的消费娱乐场所开始得以普及并成为令人瞩目的信息产业。
初中数学奥林匹克训练题10(试卷)
初中数学奥林匹克训练题（10）第一试一、填空题1、设H 为锐角三角形ABC 的垂心，已知30A ∠=︒，3BC =，则AH =___________.2、有六张分别写有数字1，2，3，4，5，6的卡片，每次从中抽取一张，记下上面的数字，然后放回. 这样取了4次，则抽到的最大数与最小数的差等于5的概率为__________.3、已知三个正数,,a b c 满足3a b c a ≤+≤，223()5b a a c b ≤+≤，则2b c a -的最小值是________.4、设x R ∈，则函数()f x =的最小值为 .5、从前2008个正整数构成的集{}1,2,,2008M = 中取出一个k 元子集A ，使得A 中任两数之和不能被这两数之差整除，则k 的最大值为 ．6、已知()()2222212f x x a b x a ab b =++-++-的对称轴是y 轴，则函数图象与y 轴交点的纵坐标的最大值是7、＝ 。
8、设,,,a b c d 为非负实数，满足a b c d b c d a c d a b d a b c ===++++++++，则 a b b c c d d a c d a d a b b c+++++++++++＝ 。
9、设实系数一元二次方程2220x ax b ++-=有两个相异实根，其中一根在区间(0,1)内，另一根在区间(1,2)内，则41b a --的取值范围是 。
10、考虑集合{}1,2,,10S = 的所有非空子集，若一个非空子集中的偶数的数目不少于奇数的数目，称这个子集是“好子集”，则“好子集”的数目有（ ）个.11、考虑44⨯的正方形方格表中的25个格点，则通过至少3个格点的不同直线的数目为 .12、设[]x 表示不超过x 的最大整数，则2008120082009k k =⎡⎤⎢⎥⎣⎦∑的值是 . 13、如右图，已知,,L M N 分别为ABC ∆的三边,,BC CA AB 的中点，,D E 分别是,BC AB 上的点，并满足,AD CE 均平分ABC ∆的周长，,P Q 分别是,D E 关于,L N 的对称点，PQ 与LM 交于点F ，若AB AC >，则AF 一定过ABC ∆的（ ）.()A 内心 ()B 外心 ()C 重心 ()D 垂心14、设不定方程222100x y z xyz ++-+=的正整数解(),,x y z 中满足,,x y z 均大于2008的不同解的数目为k ，则k 满足（ ）.()0A k = ()12008B k ≤≤ ()2008C k >，但k 是有限的数 ()D k 是无穷大二、解答题1、已知锐角ABC ∆的三边,,BC CA AB 的中点分别为,,D E F ，在,,EF FD DE 的延长线上分别取点,,P Q R ，若AP BQ CR ==，证明PQR ∆的外心为ABC ∆的垂心.2、有10个选手1210,,,A A A ，他们的积分分别为9,8,7,6,5,4,3,2,1,0，名次分别为第1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. 现进行单循环比赛，即任意两个选手之间都恰进行一场比赛，且每场比赛都要分出胜负. 若名次靠前的选手胜了名次靠后的选手，则胜者得1分，负者得0分；若名次靠后的选手胜了名次靠前的选手，则胜者得2分，负者得0分，全部比赛结束后计算每个选手的累计积分（即这次单循环所得的分数与之前的积分相加所得的和），并根据累计积分进行重新排名，求新的冠军累计积分的最小值（名次并列是允许的）.311x ≥--。
数学奥林匹克初中训练题10
数学奥林匹克初中训练题10第一试一、选择题(每小题7分,共42分）1。
如图，已知在Rt △ABC 中，AB=35,一个边长为12的正方形CDEF 内接于△ABC.则△ABC 的周长为（ ).（A)35 (B ）40 （C ）81 （D ）842。
设n=9+99+…+99…9（99个9）。
则n 的十进制表示中，数码1有（ ）个。
(A ）50 （B ）90 （C)99 （D)1003。
已知f （x)=x 2+6ax —a ，y=f(x)的图像与x 轴有两个不同的交点（x 1，0)，（x 2，0）,且)x -6a -)(1x -6a -(13)x )(1x (1a 2121-++=8a-3.则a 的值是（ )。
（A ）1 （B ）2 (C)0或21 (D)21 4。
若不等式ax 2+7x —1〉2x+5对-1≤a≤1恒成立,则x 的取值范围是( ）.（A)2≤x≤3 （B)2<x 〈3 （C)-1≤x≤1 (D ）—1<x 〈15.在Rt △ABC 中，∠B=60°,∠C=90°，AB=1，分别以AB 、BC 、CA 为边长向△ABC 外作等边△ABR 、等边△BCP 、等边△CAQ ，联结QR 交AB 于点T 。
则△PRT 的面积等于( )。
(A ）3239 (B ）43 （C ）21 (D)33 6。
在3×5的棋盘上，一枚棋子每次可以沿水平或者垂直方向移动一小格，但不可以沿任何斜对角线移动。
从某些待定的格子开始，要求棋子经过全部的小正方格恰好一次，但不必回到原来出发的小方格上.在这15个小方格中，有（ )个可以是这枚棋子出发的小方格。
(A)6 (B)8 (C ）9 （D)10二、填空题（每小题7分，共28分)1。
正方形ABCD 的边长为5，E 为边BC 上一点，使得BE=3,P 是对角线BD 上的一点，使得PE+PC 的值最小.则PB= 。
2.设a 、b 、c 为整数，且对一切实数x ，(x-a)（x-8)+1=(x —b ）（x-c ） 恒成立.则a+b+c 的值 为 。
数学奥林匹克初中训练题64
4DB课外训练数学奥林匹克初中训练题(64)第 一 试一、选择题(每小题 7 分 ,共 42 分)1. 正实数 x 、y 满足 xy = 1. 那么 , 1 +x14的最小值为( ) .4 y(D ) 等腰三角形或直角三角形二、填空题(每小题 7 分 ,共 28 分)1. 使 方 程 | x - 1| - | x - 2| + 2| x - 3| =c 恰好有两个解的所有实数 c 为.2. 如图 2 , ABCD 是正方形 ,延长边 BC(A) 1 2 (B) 58 (C ) 1 (D ) 2到 E , A E 分别交 BD 、(23 - 1) (33 - 1) (43 - 1) (1003- 1) 2. (23 + 1) (33 + 1) (43 + 1) (1003+ 1)的值最接近于() . CD 于点 P 、Q . 当 A P= QE 时 , PQ ∶A E = 图 2.(A) 12 (B) 23(C) 35 (D) 583. 如 图 3 , △ABC 内接 于 ⊙O , BC = a , CA =3. 如图 1 , △ABC 中 , AB = AC , ∠A = 40°, 延 长 AC 到 D , 使 CD = BC , 点 P 是 △ABD 的 内 心. 则∠B PC = () .(C ) 120° (D ) 105°图 14. a 、b 、c 、d 为两两不同的正整数 , 且a + b = cd , ab = c + d . 则满足上述要求的四元数组 a 、b 、c 、d 共有( ) 组.(A ) 4(B ) 6(C ) 8(D ) 105. △ABC 的三边长 a 、b 、c 皆为整数 ,且a + bc + b + ca = 24. 当 △ABC 为等腰三角形时 ,它的面积有( ) 种答案.(A ) 1(B ) 2(C ) 3 (D ) 46. △ABC 的 ∠A 、∠B 皆为锐角 , CD 是 b , ∠A - ∠B = 90°. 则⊙O 的面积为 .4. 某中学生暑期社图 3会调查团共 17 人到几个地方去考察 ,事先预算住宿费平均每人每天不超过 x 元. 一日到达某地 ,该地有两处招待所 A 、B . A 有甲级床位 8 个 ,乙级床位 11 个 ; B 有甲级床位 10 个 ,乙级床位 4 个 , 丙级床位 6 个. 已知甲、乙、丙床位每天分别为 14 元、8 元、5 元. 若全团集中住在一个招待所里 ,按预算只能住 B 处. 则整数 x =.第 二 试一、(20 分) 一批货物准备运往某地 ,有 甲、乙、丙三辆卡车可雇用. 已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变 ,且甲、乙两车单独运这 批货物分别用 2 a 、a 次 ;若甲、丙两车合运相 高. 已知AD = AC BC 2. 则 △ABC 是() .同次数 ,运完这批货物 ,甲车共运了 180 t ;若 (A) 直角三角形 (B) 等腰三角形 (C) 等腰直角三角形乙、丙两车合运相同次数 ,运完这批货物 ,乙 车共运了 270 t . 现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完 ,货主应付车主运费各多少元(按每吨运费 20 元计算) ?y得 = = ≈01666 7. 2 22003 年第 5 期 二、( 25 分) 如图 4 , 在圆外切凸六边形 ABCDEF 41] ( c - 1) ( d - 1) = 2 ] c - 1 = 1 , 或c - 1 = 2 , 中 ,AB ∥DE 、BC ∥EF 、CD ∥FA . 求证 :凸六边形是中d - 1 = 2 c = 2 , c = 3 , 即或d - 1 = 1 ,此时 b = 5.心对称图形.d = 3d = 2.三、( 25 分) 试求出所 图 4有这样的正整数 a ,使得二次方程 同理 ,当 b = 1 , c = 1 , d = 1 时 ,又可得 6 组解. 因此 ,共有如下 8 组解 :(1 ,5 ,2 ,3) , (1 ,5 ,3 ,2) , (5 ,1 ,2 ,3) , (5 ,1 ,3 ,2) ,ax 2+ 2 (2 a - 1) x + 4 ( a - 3) = 0( ) ( ) ( ) ( ) 至少有一个整数根.2 ,3 ,1 ,5 , 2 ,3 ,5 ,1 5. (C ) ., 3 ,2 ,1 ,5 , 3 ,2 ,5 ,1 .一、1. (C ) .因为 x = 1参 考 答 案第 一 试,所以 ,因 为 a + bc + b + ca = ( a + b ) ( c + 1)= 24 = 12 ×2 = 8 ×3 = 6 ×4 ,所以 ,当 △ABC 为等腰三角形时 , 底边只能是c , c = 1 或 2 或 3. 此时腰 a = b = 6 或 4 或 3.6. (D ) .11 1 x 4x 4+ 4 y 4 = x 4 + 4 =2 1 x 2 2x 2 - 2 + 1. 如图 5 ,设 AD = a , DB= b . 由已知令 AC =ax ,当 1 = x , 即 x = 4 2 时 , 1 + 1最小 ,且最小x 2 2 值为 1.x 4 4 y 4 则 BC = bx .因为 AC 2 - AD 2 = CD 22. (B ) .a 3 - 1( a - 1) ( a 2 + a + 1)a - 1= BC 2 - DB 2 ,于是 ,ax - a 2 = bx - b 2 ,因 为( a + 1) 3 + 1 = ( a + 2) ( a 2 + a + 1) = a + 2 ,(2 - 1) (3 - 1)(99 - 1) (1003- 1)故原式 =(23+ 1) (3 + 1) (99 + 1) (100 + 1)1 ×2 ×3 ×(1003- 1) 3 367 (23 + 1) ×99 ×100 ×101 5 050 3. (A ) .1即 ( a - b ) [ x - ( a + b ) ] = 0. 当 a = b 时 ,易得△ADC ∽ △BDC ] AC = BC ; 当 x = a + b 时 ,AC 2 + BC 2 = ax + bx = ( a + b ) 2= AB 2 .二、1. c > 3 或 1 < c < 3.连结 PD ,由内心性质知 ∠B PD = 90°+ 12∠A .(1) 当 x < 1 时 , x = 5 - c , 2 5 - c < 1 , c > 3 ;2 又 ∠BCD = 90°+ 2∠A , 则∠B PD = ∠BCD .从而 , B 、D 、C 、P 四点共圆.易知 ∠D = 35°,所以 , ∠B PC = 180°- 35°= 145°.4. (C ) .(2) 当 1 ≤x < 2 时 , c = 3 ,有无数个解 ; (3) 当 2 ≤x < 3 时 , x = 7 - c ,由 2 ≤7 - c < 3 ,得1 < c ≤3 ;(4) 当 x ≥3 时 , x = 5 + c ,由5 + c ≥3 ,得 c ≥1.(1) 若 a 、b 、c 、d 均不等于 1 ,又 a ≠b , c ≠d ,则2 2( a - 1) ( b - 1) ≥2 , 即 ab > a + b , 故当 c > 3 时 ,原方程恰有两解5 - c ,5 + c;( c - 1) ( d - 1) ≥2 , 即 cd > c + d .但 a + b = cd > c + d , c + d = ab > a + b , 矛 盾 . 此时无解.当 1 < c < 3 时 ,原方程恰有两解2. 1∶( 5 + 2) .2 7 - c , 2 25 + c .2(2) 若 a 、b 、c 、d 中有一个数为 1 ,不妨设 a = 1 ,则1 + b = cd , ] cd = c + d + 1因为 B P 平分 ∠AB E , DP 平分 ∠ADQ , △AB E ∽ △QDA ,所以 ,A P = AB = DQ = PQ .b =c + dPE B E AD A P由 图 5( ) 2( ) 2× 从而 , A P 2 = PE ·PQ = AQ ·PQ .故 P 为 AQ 的黄金分割点. 显然 A P > PQ . 令 PQ = 1 , 则A P = QE =5 + 1 A E = 1 + 2 5 + 1= 5 + 2. 2 2所以 , PQ ∶A E = 1∶( 5 + 2) . 3. 1π( a 2 + b 2 ) . 4辅助线如图 6 所示. 易知 ∠A = ∠ABD ,即 CDB = ACD ] AC = BD ] BD = AC = b .此时 , ⊙O 的半径 R =车主应得运费分别为 2 160 元、4 320 元、4 320 元.二、如图 7 ,因为 CD ∥A F , AB 与 A F 相交 ,则延长 AB 、DC 后必相交 , 交 点为 Q ; 类似地得交点P 、S . 令 X 、Y 、Z 为 3 个切点. 易知△PA F ∽ △BQC ∽ △EDS ∽ △PQS . 它们的周长依次记图 7为 m 1 、m 2 、m 3 、m . 易证m 1 + m 2 + m 3= ( PX + PZ ) + ( QX + QY ) + ( S Y + S Z ) 1 CD = 1 图 6a 2 +b 2 .= PQ + QS + S P = m .2 2此 时 ,1 = m 1 + m 2 + m 3 = A F + QC + DS, 则所以 , ⊙O 的面积 =πR 2 = 1π( a 2 + b 2 ) .mmmQSQSQS4A F = 1 - QC + DS = 1 - QS - CD = CD .4. x = 10.若住在 A 处 ,即使是最经济地选择床位 ,平均每人的住宿费也要超过 10 元(因为 8 ×11 + 14 ×6 =172 (元) ,172 ÷17≈10112 (元) ) .若住在 B 处 ,合理选择床位 ,就能满足预算 ,这个最经济的数值是5 ×6 + 8 ×4 + 14 ×7 = 160 (元) , 160 ÷17≈9141 (元) .因为 9141 ≤x < 10112 ,且 x 为整数 ,所以 , x =10.第 二 试一、显然 ,乙车的载重量是甲车的 2 倍. 设这批货物总重量为 M t ,甲、丙车合运了 b 次运完这批货物 ,乙、丙车合运了 c 次运完这批货物. 则由丙在与甲及乙合运中的载重量不变应有M - 180 = M - 270. ①故 A F = CD .又 A F ∥CD ,则 AD 、CF 必互相平分.同理可得 AD 、B E 互相平分 , B E 、CF 互相平分. 可知 AD 、B E 、CF 三线共点. 令该点为 O ,显然 点 O 是圆心 ,且是凸六边形 ABCDEF 的对称中心.三、原方程可化为( x + 2) 2a = 2 x + 12.易知 x ≠- 2 ,此时 a = 2 x + 12.x + 2 因为 a 是正整数 ,即2 x + 12 ≥1 为正整数.x + 2 又( x + 2) 2> 0 ,则( x + 2) 2 ≤2 x + 12 ,即 x 2 + 2 x - 8 ≤0.解得 - 4 ≤x ≤2.因为 x ≠ - 2 , 又 x 是整数 , 故 x 只能取 - 4 ,b c- 3 , - 1 ,0 ,1 ,2. 依次代入 a 的表达式得又显然有180 ×2 =270. ②x = - 4 ,a = 1 ; x = - 3 , a = 6 ; x = - 1 , a = 10 ;bcb = 4, M = 540.c 3x = 0 , a = 3 ;x = 1 , a =14; 9x = 2 , a = 1. 据题设 ,乙、丙合运时 ,乙车共运了 270 t ,故丙车也运了 270 t ,即乙、丙 2 车载重量相等. 从而 ,甲、乙、丙 3 车载重量之比为 1∶2∶2. 于是 ,3 车合运相同次数把这批货物运完各运了 108 t 、216 t 、216 t ,3 个从而 ,满足要求的正整数 a 的值有 4 个 , a = 1 ,6 ,10 ,3.(孙 彦 安徽省安庆市教研室 ,246001黄全福 安徽省怀宁县江镇中学 ,246142)解得。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x1 = 3 x2 = 3 ; x = - 12 , x2 = 0 ; x1 = - 2 , x2 = - 2. x1 = 1 , x2 = 13 ;
2 2 2 (a+ ba + b ). 2 设 A B C 、 A CD 、 B CD 的内切圆半径分 4.
解得 x 2 = 于是 , x =
别为 r 、 r1 、 r2 , 则 r =
图6
由相交弦定理 , 得
DQ = A Q・ QC QP
2
图7
. x 作 Q H ⊥A D , Q K ⊥CD , H 和 K 为垂足 , 则
=
1- x
1- x 1+ x , DH = Q K = CK = . 2 2 由勾股定理得 Q H2 + HD2 = DQ 2 , 即
QH = A H =
1- x 2
x = - 2, x = - 3, x =2, y = 2; x =1, y = 0;
2 + 9 x2 , A D =
AD
2 + 100 x 2 ,
解得
= 1 + 50 x 2 . 2 1 1 由 S ABD = AB・ DE = BD ・ A C ,得 2 2 1 1 × 13 x × 2 = 2 + 9 x 2 × 1 + 50 x 2 . 2 2
). k 的取值范围是 (
整数 x 共有 个. 4. 如 图 4 , 在 AB C 中 , B C = a , CA = b , A B =
a 2 + b2 , AB . 若 CD
⊥
图4
A CD 、
B CD 的 内 心 分
( A) k ≥ ( C) k ≤-
5 - 2 (B) k ≤ 5 - 2或 k ≥
I1 I2 =
( 2 r1 ) 2 + ( 2 r2 ) 2
= . tan 60° 3
h
= 2 ・ 3
,
2 2 a + b ).
2 r =
2 ( a + b 2
又 b = CD = EF + D E + CF = a + h + 所以 , h =
3 ( b - a) 3 - 3 ( b - a) . = 2 1+ 3
如图 8 , 作 A E ⊥DC ,
B F ⊥DC , E 、 F 分别
为垂足 . 则
EF = A B = a.
从而 , r1 2 + r2 2 = r2 . 再由勾股定理 , 得
图8
2 2 I1 D + I2 D = 2 2 r1 + r2 =
记 AE = BF =
h , 则 D E = A E = h. CF = BF h
41 . 4
5 . A.
β 是两个相异的实 因为 Δ = k 2 + 4 > 0 , 所以 ,α、 根 . 由韦达定理得 α+ β= - k ,α β= - 1 . β对称 , 故不妨设 因为题中不等式左边关于 α、 α< 0 < β. 于是 ,
(| α ) (| β ) ≥ | -β | -α 1
5 - 2 > 3 - 2 Ζ 5 - 2>5- 2 6
Ζ 2 6 + 5 > 7 Ζ 29 + 4 30 > 49 Ζ 4 30 > 20 Ζ 30 > 5 Ζ 30 > 25 , 成立 . 3 . C. 记 [ x ] = n ( n 是整数) , 则 n ≤x < n + 1 , 且 8 n = x 2 + 7 ≥ 7. 从而 , n ≥ 1 , n 是正整数 . 于是 , n2 ≤x 2 = 8 n - 7 < ( n + 1) 2 . 由 n2 ≤ 8 n - 7 得 1 ≤n ≤ 7; 由 8 n - 7 < ( n + 1) 2 得 n < 2 或 n > 4 . 综上所述 , n = 1 , 5 , 6 , 7 , 相应地 x = 1 , 33 , 41 , 7 . 4 . C. 如图 6 , 联结 A E. 因 为 A B ∥ CD , A B = B C , A C = A D , 所以 , ∠B CA = ∠BA C = ∠A CD = ∠A DC.
( C) 3 + 2 ( D) 2 3 二、 填空题 ( 每小题 7 分 , 共 28 分) 1 . 如图 3 , 在梯形 A B CD 中 , A B ∥CD , AB = a , CD = b ( a < b) , ∠B CD = 60° ,) 4 ( D) 5 4 . 如图 1 , 在梯
10 ∶ 3. 若 D E = 2 ,
从而 ,
A DC
BA C. 故
DC A C = . A C BC
于是 , 有 DC = 2 , EC = 1 . 又因为 D E = EC , 则 A E ⊥CD , A E ⊥A B . 因此 , A E =
EF =
2 2 A C - EC = 2 ,
A F2 + A E2 =
2
x1 + x2 = 6 -
2
k
, x1 x2 = 9 -
1
k
.
①
消去以上两式中的
1
k
,得
因为
2 x2 2 x2
= - kx 2 - k - 1 , 所以 , = k ] x 1 - 2 kx 2 = 3 k + 2
2 x 1 x 2 - x 1 - x 2 = 12 ,
x1 + 2
即 ( 2 x 1 - 1) ( 2 x 2 - 1) = 52 , 且 2 x 1 - 1 ≤ 2 x2 - 1. 于是 , 有
参考答案
第 一 试 一、 1 . C.
因为
2+ 6 = 2 (1 + 3) × 2 4+2 3 =2, 2+ 3 所以 , M = 0 . 2 . A.
a > b Ζ 2 3 > 2 + 2 Ζ 12 > 6 + 4 2 Ζ 3 > 2 2 Ζ 9 > 8 , 成立 ; c> aΖ
] k ]
2
2 2 ≥ ] |α β β- α | +α |α | -β |β | ≥ 1]α -β 1 ] (α- β ] ≥ ) (α+ β ) ≥ ( β α ) 1 k 1
试求 ∠C 的平分线 CF 的长 . ( 25 分 ) 试求出所有的整数 n , 使得 三、 2 2 n + 1 能整除 n 3 - 5 n + 5 .
形 A B CD 中 , A B ∥ 3 DC , A B = B C = , 2 AD = A C = 3 , E、 F 分 别 是 CD 、 AB ). 的中点 . 则 EF 的长为 (
( A) 2 (B) 2 2 ( C)
则梯 形 A B CD 的 面积等于 图3 ( 用关于 a 、 b 的式 子表示) . 2 . 设 k 是实数 , 关于 x 的一元二次方程 2 x + k x + k + 1 = 0 的两个实根分别为 x 1 、
] ( x 1 + x 2 ) - ( 2 k + 1) x 2 = 3 k + 2 ] - k - ( 2 k + 1) x 2 = 3 k + 2 ] - ( 2 k + 1) x 2 = 2 ( 2 k + 1) ] ( 2 k + 1) ( x 2 + 2) = 0 .
1 因为 2 k + 1 = 0 , 即 k = 并不满足 ①, 所以 , 2 x 2 = - 2 . 代入原方程即得 k = 5 . 3. 4.
(α+ β ) 2 - 4α β≥ 1] k k >0, k ( k + 4) ≥ 1
2
1 k2 + 4 ≥
]
k >0, k2 ≥ 5 - 2
] k≥ 6. B.
5 - 2.
如图 7 , 不妨设 A O =
OC = 1 , 则 A D = CD = 2 .
令 QO = Q P = x , 则
AQ = 1 - x , QC = 1 + x .
圆 , O 为圆心 , 点 P 在 劣弧 A B 上 , D P 交 A O 于点 Q . 若 PQ = QO , 则
QC ). 等于 ( AQ
( A) 2 3 - 1 (B) 3 + 2
图2
). 5 - 2. 则 a 、 b、 c 的大小关系是 ( ( A) c > a > b (B) a < b < c ( C) a > b > c ( D) a > c > b 3 . [ x ]表示不大于 x 的最大整数 , 则方 2 程 x - 8 [ x ] + 7 = 0 的所有实数解的个数是 ( ).
38
中 等 数 学
课外训练
数学奥林匹克初中训练题 ( 74)
第 一 试 一、 选择题 ( 每小题 7 分 , 共 42 分)
2+ 3 × 2 004 + 2 0042 ) . 则下列结论中 , 正确的是 ( ). ( A) M < 0 (B) M > 1 ( C) M = 0 ( D) 0 < M < 2 005 × 2 004 2. 设 a = 3 2, b = 2 3, c = 1. 设 M = 2+ 6 - 2 ( 2 0052 - 2 005