唐山市2018-2019学年度高三年级摸底考试理数学文数学试卷及答案

唐山市2018—2019学年度高三年级摸底考试
理科数学参考答案
一．选择题：
A卷：ADBCD DACCB CB
B卷:ADBBD DACAB CB
二．填空题：
(13)2 （14）错误!（15)2错误!（16)（1，错误!）
三．解答题:
17．解:
（1)由已知可得，2S n＝3a n－1，①
所以2S n－1＝3a n－1－1(n≥2），②
①－②得，2(S n－S n－1）＝3a n－3a n－1，
化简为a n＝3a n－1(n≥2），即错误!＝3（n≥2）, …3分
在①中,令n＝1可得,a1＝1, …4分
所以数列｛a n｝是以1为首项,3为公比的等比数列，
从而有a n＝3n－1．…6分
（2）b n＝（n－1）·3n－1，
T n＝0·30＋1·31＋2·32＋…＋(n－1）·3n－1，③
则3T n＝0·31＋1·32＋2·33＋…＋（n－1）·3n．④
③－④得，－2T n＝31＋32＋33＋…＋3n－1－（n－1）·3n, …8分
＝错误!－（n－1）·3n
＝错误!．…10分
所以，T n＝错误!．…12分
18．解:
（1）由茎叶图可知,甲当天生产了10个零件，其中4个一等品，6个二等品；乙当天生产了10个零件，其中5个一等品，5个二等品，所以，抽取的2个零件等级互不相同的概率
P＝错误!＝错误!．…5分
(2）X可取0，1，2,3．…6分
P（X＝0）＝错误!＝错误!；P(X＝1）＝错误!＝错误!；
P（X＝2)＝错误!＝错误!; P(X＝3)＝错误!＝错误!; …10分
X的分布列为
∴随机变量X的期望E（X）＝0×错误!＋1×错误!＋2×错误!＋3×错误!
19．解：
（1)∵直角三角形ABC中，
AB＝BC＝2，D为AC的中点,
∴BD⊥CD，
又∵PB⊥CD，BD∩PB＝B,
∴CD⊥平面PBD,
∴CD⊥PD，
又∵AD⊥BD，
∴PD⊥BD．
又因为BD∩CD＝D，
∴PD⊥平面BCD．…5分（2）以D为坐标原点，DA，DB，
DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D－xyz, 则A(错误!，0，0),B(0，错误!,0），C(－错误!，0,0）,P（0，0，错误!），
错误!＝(错误!,0，－错误!），错误!＝(0,错误!，－错误!），错误!＝(错误!，错误!，0）设平面PBC的法向量n＝(x,y,z)，
由错误!·n＝0,错误!·n＝0得错误!
取n＝（1，－1,－1)．…9分
cos〈错误!,n〉＝错误!＝错误!，
∴直线P A与平面PBC所成角的正弦值为错误!．…12分20．解：
（1）由已知可得，y1＝x21，y2＝x错误!,
所以y1－y2＝x错误!－x错误!＝(x1＋x2）（x1－x2)＝2（x1－x2),
此时，直线l的斜率k＝错误!＝2．…4分
(2）因为OB⊥l,所以k OB＝－错误!，
又因为k OB＝错误!＝错误!＝x2，
所以，x2＝－错误!，…6分又由（1）可知，x1＋x2＝错误!＝k，
从而有，x1＝k－x2＝k＋错误!，
所以|AB｜＝1＋k2|x1－x2｜＝错误!｜k＋错误!｜,
|OB｜＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!，…9分
因为|AB｜＝3｜OB｜，所以错误!｜k＋错误!｜＝错误!,
化简得,|k3＋2k｜＝3，
解得，k＝±1，
所以，|AB|＝错误!|k＋错误!｜＝3错误!．…12分21．解：
（1）当a＝e时,f(x）＝ln x＋错误!,
所以f'(x）＝错误!－错误!．…1分设切点为（x0，f(x0）)，曲线y＝f（x）与y＝m相切，得f'(x0)＝0，
解得x0＝1,所以切点为（1，1)．…3分
所以m＝1．…4分
(2）依题意得f（1）≥错误!，所以1≥错误!，从而a≥e．…5分因为f'（x）＝错误!,a≥e,
所以当0＜x＜ln a时,f'(x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞ln a时，f'（x）＞0,f（x）单调递增，
所以当x＝ln a时,f（x）取得最小值log a（ln a）＋错误!．…7分设g(x)＝eln x－x，x≥e，
则g'（x）＝错误!－1＝错误!≤0，
所以g（x)在［e，＋∞）单调递减，
从而g(x）≤g（e）＝0，所以eln x≤x．…10分
又a≥e，所以eln a≤a，从而1
ln a≥错误!，当且仅当a＝e时等号成立．因为ln a≥1,所以log a(ln a）≥0，
即log a（ln a）＋错误!≥错误!．
综上,满足题设的a的取值范围为［e,＋∞）．…12分22．解：
（1）由ρ2－2错误!ρsin（θ＋错误!)－4＝0得，
ρ2－2ρcosθ－2ρsinθ－4＝0．
所以x2＋y2－2x－2y－4＝0．
曲线C的直角坐标方程为(x－1）2＋（y－1)2＝6．…5分
（2)将直线l的参数方程代入x2＋y2－2x－2y－4＝0并整理得，
t2－2（sinα＋cosα）t－4＝0，
t1＋t2＝2(sinα＋cosα），t1t2＝－4＜0．
||OA｜－｜OB｜｜＝｜｜t1|－|t2｜｜＝|t1＋t2|＝｜2（sinα＋cosα)｜＝｜2错误!sin（α＋错误!）| 因为0≤α＜ ，所以错误!≤α＋错误!＜错误!，
从而有－2＜2错误!sin（α＋错误!）≤2错误!．
所以|｜OA｜－|OB｜|的取值范围是[0，2错误!]．…10分
23．解：
（1）由题意得｜x＋1｜＞|2x－1｜，
所以｜x＋1｜2＞|2x－1｜2，
整理可得x2－2x＜0,解得0＜x＜2，
故原不等式的解集为｛x｜0＜x＜2｝．…5分
（2)由已知可得，a≥f（x）－x恒成立,
设g(x）＝f（x)－x，则g（x）＝错误!
由g（x）的单调性可知，x＝错误!时,g（x)取得最大值1,
所以a的取值范围是［1，＋∞)．…10分
唐山市2018-2019学年度高三年级摸底考试
文科数学参考答案
一．选择题：
A卷：ACDBD CBCDA AC
B卷:ACDCD CBCDA AB
二．填空题：
(13）错误!(14)2 (15）1 （16)(错误!,2］
三．解答题：
17．解：
(1)设数列｛a n｝的首项为a1，公差为d（d≠0），则a n＝a1＋(n－1)d．
因为a2，a3，a5成等比数列，
所以(a1＋2d)2＝（a1＋d)（a1＋4d)，
化简得，a1d＝0，
又因为d≠0，
所以a1＝0, …3分
又因为a4＝a1＋3d＝3,
所以d＝1．
所以a n＝n－1．…6分
（2）b n＝n·2n－1，…7分
T n＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，①
则2T n＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n．②
①－②得,
－T n＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n，…8分
＝错误!－n·2n …10分
＝（1－n）·2n－1．
所以，T n＝(n－1)·2n＋1．…12分
18．解:
（1）-x甲＝错误!(217＋218＋222＋225＋226＋227＋228＋231＋233＋234）＝226。

1；
错误!乙＝错误!（218＋219＋221＋224＋224＋225＋226＋228＋230＋232）＝224。

7;
…4分
（2）由抽取的样本可知，应用甲工艺生产的产品为一等品的概率为错误!,二等品的概率为错误!,故采用甲工艺生产该零件每天取得的利润：w甲＝300×错误!×30＋300×错误!×20＝7200元;…7分
应用乙工艺生产的产品为一等品、二等品的概率均为错误!，故采用乙工艺生产该零件每天取得的利润：
w乙＝280×错误!×30＋280×错误!×20＝7000元．…10分
因为w 甲＞w 乙，所以采用甲工艺生产该零件每天取得的利润更高． …12分
19．解： （1）∵直角三角形ABC 中，AB ＝BC ＝2,
D 为AC 的中点，
∴BD ⊥CD ，
又∵PB ⊥CD ，BD ∩PB ＝B ， ∴CD ⊥平面PBD ， 又因为PD ⊂平面PBD ，
∴PD ⊥CD ． …5分
（2）∵AD ⊥BD ， ∴PD ⊥BD ．
又∵PD ⊥CD ，BD ∩CD ＝D ,
∴PD ⊥平面BCD ．
…8分 在直角三角形ABC 中，AB ＝BC ＝2,
所以PD ＝AD ＝错误!，PB ＝PC ＝BC ＝2．
S △ABC ＝2,S △PBC ＝错误!，
设A 点到平面PBC 的距离为d ,
由V P —ABC ＝V A —PBC 得，
错误!S △ABC ×PD ＝错误!S △PBC ×d ，
∴d ＝错误!＝错误!．
即A 点到平面PBC 的距离为错误!．
…12分 20．解：
（1）设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A （x 1,y 1)，B （x 2,y 2），
由错误!得，x 2－2kx －2m ＝0,
∆＝4k 2＋8m ,
x 1＋x 2＝2k ,x 1x 2＝－2m ，
…2分 因为AB 的中点在x ＝1上，
所以x 1＋x 2＝2．
即2k ＝2，
所以k ＝1．
…4分 （2）O 到直线l 的距离d ＝错误!，｜CD ｜＝2错误!，
…5分 所以｜AB |＝错误!｜x 1－x 2|＝错误!·错误!＝2错误!·错误!，
…6分 因为|AB |＝｜CD |,
所以2错误!·错误!＝2错误!，
化简得m 2＋8m －20＝0,
所以m ＝－10或m ＝2．
…10分 由错误!得－错误!＜m ＜2错误!．
所以m ＝2，
直线l 的方程为y ＝x ＋2．
…12分 21．解：
（1)f '（x ）＝2（ln x ＋1)．
…1分 所以当x ∈（0，错误!）时,f '(x ）＜0，f （x ）单调递减;
当x ∈（错误!，＋∞）时,f '（x ）＞0，f （x ）单调递增．
所以x ＝错误!时,f (x )取得最小值f （错误!)＝1－错误!．
…5分 A
B C P D
（2）x2－x＋错误!＋2ln x－f（x）
＝x(x－1)－错误!－2(x－1）ln x
＝(x－1)(x－错误!－2ln x)，…7分令g（x）＝x－错误!－2ln x,则g'（x）＝1＋错误!－错误!＝错误!≥0，
所以g(x）在（0,＋∞）上单调递增,
又因为g(1）＝0，
所以当0＜x＜1时，g（x)＜0;
当x＞1时,g（x）＞0，…10分
所以（x－1）（x－错误!－2ln x）≥0，
即f(x）≤x2－x＋错误!＋2ln x．…12分22．解:
(1）由ρ2－2错误!ρsin（θ＋错误!)－4＝0得，
ρ2－2ρcosθ－2ρsinθ－4＝0．
所以x2＋y2－2x－2y－4＝0．
曲线C的直角坐标方程为(x－1）2＋（y－1)2＝6．…5分
（2)将直线l的参数方程代入x2＋y2－2x－2y－4＝0并整理得,
t2－2(sinα＋cosα)t－4＝0，
t1＋t2＝2（sinα＋cosα），t1t2＝－4＜0．
||OA|－｜OB｜|＝｜｜t1|－｜t2｜｜＝｜t1＋t2|＝|2(sinα＋cosα)|＝｜2错误!sin(α＋错误!）| 因为0≤α＜π,所以错误!≤α＋错误!＜错误!,
从而有－2＜2错误!sin(α＋错误!)≤2错误!．
所以||OA｜－｜OB|｜的取值范围是［0，2错误!]．…10分23．解:
（1）由题意得｜x＋1｜＞｜2x－1|，
所以|x＋1｜2＞｜2x－1|2，
整理可得x2－2x＜0，解得0＜x＜2，
故原不等式的解集为｛x|0＜x＜2}．…5分
（2)由已知可得，a≥f（x)－x恒成立，
设g(x）＝f（x）－x，则g（x)＝错误!
由g（x)的单调性可知，x＝错误!时，g(x)取得最大值1，
所以a的取值范围是[1，＋∞)．…10分。