2021-2022学年江苏省无锡市初三数学第一学期期末试卷及解析

2021-2022学年江苏省无锡市初三数学第一学期期末试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（）
A．2x+y＝2 B．2x3﹣x＝0 C．x+＝7 D．2x﹣x2＝7
2．（3分）已知⊙O的半径为4，OA＝5，则点A在（）
A．⊙O内B．⊙O上C．⊙O外D．无法确定
3．（3分）若a是从“﹣1、0、1、2”这四个数中任取的一个数，则关于x的方程（a﹣1）x2+x﹣3＝0为一元二次方程的概率是（）
A．1 B．C．D．
4．（3分）一组样本数据为1、2、3、3、6，下列说法错误的是（）
A．平均数是3 B．中位数是3 C．方差是3 D．众数是3
5．（3分）一种药品经过两次降价，药价从每盒60元下调至48.6元，若平均每次降价的百分率为x（）A．60（1+x）＝48.6 B．60（1﹣x）＝48.6
C．60（1+x）2＝48.6 D．60（1﹣x）2＝48.6
6．（3分）在圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为2：4：7，则∠B的度数为（）A．140°B．100°C．80°D．40°
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A（0，﹣3），B（2，﹣1），C（2，3）．则△ABC的外心坐标为（）
A．（0，0）B．（﹣1，1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）
8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB＝12，CD＝6（）
A．18πB．12πC．6πD．3π
9．（3分）定义一种新运算：a⊕b＝2a+b，a※b＝a2b，则方程（x+1）※2＝（3⊕x）（）A．x1＝，x2＝﹣2 B．x1＝﹣1，x2＝
C．x1＝﹣，x2＝2 D．x1＝1，x2＝﹣
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D、E分别是AB、AC的中点．将△ADE绕点A顺时针旋转60°，射线BD与射线CE交于点P；②CP存在最大值为3+3；③BP存在最小值为3；④点P运动的路径长为π．其中（）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
二、填空题（本大题共8小题，每空3分，共30分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11．请写出一个一元二次方程，使得它的一个根为0，另一个根不为0：．
12．用配方法将方程x2+4x＝0化成（x+m）2＝n的形式：．
13．如图，转盘中6个扇形的面积都相等．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12cm，以BC边所在的直线为轴．
15．某电视台要招聘1名记者，某应聘者参加了3项素质测试，成绩如下：
测试项目采访写作计算机操作创意设计测试成绩（分）82 85 80 如果将采访写作、计算机操作和创意设计的成绩按5：2：3计算，则该应聘者的素质测试平均成绩是分．
16．一个直角三角形的斜边长cm，两条直角边长的和是6cm cm，直角三角形的面积是
cm2．
17．古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法．以方程x2+3x＝20为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图所示的大正方形ABCD，它由四个全等的矩形加中间小正方形组成，从而解得x．根据此法，图中正方形ABCD的面积为，方程x2+3x＝20可化为．
18．将点A（﹣3，3）绕x轴上的点G顺时针旋转90°后得到点A'，当点A'恰好落在以坐标原点O为圆心，点G的坐标为．
三、解答题（本大题共10小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）解方程：
（1）（x﹣1）2﹣4＝0；
（2）x2+x﹣3＝0．
20．（8分）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+4（m﹣2）＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．
21．（8分）小明每天骑自行车．上学，都要通过安装有红、绿灯的4个十字路口．假设每个路口红灯和绿灯亮的时间相同．
（1）小明从家到学校，求通过前2个十字路口时都是绿灯的概率．（请用“画树状图”或“列表”或“列举”
等方法给出分析过程）
（2）小明从家到学校，通过这4个十字路口时至少有2个绿灯的概率为．（请直接写出答案）22．（8分）如图，正三角形ABC内接于⊙O，⊙O的半径为r
23．（8分）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月在中国北京和张家口举行．为迎接本次冬奥会，某校组织初一年级学生开展“迎冬奥”知识竞赛活动（满分为50分）．从竞赛成绩中随机抽取了20名男生和20名女生的成绩（单位：分）（成绩用x表示，共分成四个等级：A：47＜x≤50，B：44＜x≤47，C：41＜x≤44，D：x≤41），下面是这40名学生
成绩的信息：
20名男生的成绩：50，46，50，46，49，46，49，46，43，47，40，44，43，44．
20名女生中成绩为B等级的数据是：45，46，46，47，46
所抽取学生的竞赛成绩统计表
性别平均数中位数众数
男46 46 46
女46.5 b48 根据以上信息，解答下列问题：
（1）a＝，b＝．
（2）该校初一年级共有400名男生参与此次竞赛，估计其中等级为A的男生约有多少人？
24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AN、AC是⊙O的弦，AN、PC的延长线相交于点M，且AM⊥PM （1）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝10，∠P＝30°，求MN的长．
25．（8分）如图，已知锐角△ABC中，AC＝BC．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作△ABC的内切圆⊙O．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AC＝3，则△ABC内切圆的半径为．（如需画草图，请使用图2）
26．（10分）某读书兴趣小组计划去书店购买一批定价为50元/本的书籍，书店表示有两种优惠方案方案一：若购买数量不超过10本，每本按定价出售，每增加1本，所有书籍的售价可比定价降2元，超过5本以上的部分可以打折．
（1）该兴趣小组按照方案一的优惠方式支付了600元，请你求出购买书籍的数量；
（2）如果该兴趣小组用方案二的优惠方式购买（1）中的数量，请问书店折扣至少低于几折才能使得实付金额少于600元？
27．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，3），且∠ABO＝30°，C为线段OB上一点，连接OD，∠COD＝∠OAD．
（1）求∠BAD的度数；
（2）在射线AD上是否存在点P，使得直线BP与△AOB的外接圆相切？若存在，请求出点P的坐标，请说明理由．
28．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°；同时，点F从B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动（点E在AB上）．当其中一点到达终点时，另一点也同时停止移动．设移动时间为t（s）（其中t≠0）．（1）当t为何值时，四边形DEFC的面积为18cm²？
（2）是否存在某个时刻t，使得DF＝BE，若存在，若不存在，请说明理由．
（3）点E是否可能在以DF为直径的圆上？若能，求出此时t的值，若不能
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
1．【解答】解：A．是二元一次方程；
B．未知数的最高次数是3，故本选项不符合题意；
C．是分式方程；
D．是一元二次方程；
故选：D．
2．【解答】解：∵⊙O的半径为4，OA＝5，
∴OA＞半径，
∴点A在⊙O外．
故选：C．
3．【解答】解：当a﹣1≠0，即a≠7时2+x﹣3＝7是一元二次方程，
∴在“﹣1、0、7、2”这四个数中有3个数使方程（a﹣2）x2+x﹣3＝2是一元二次方程，∴恰好使方程（a﹣1）x2+x﹣5＝0是一元二次方程的概率是：．
故选：B．
4．【解答】解：这组数据的平均数为＝3，众数为3，
方差为×[（1﹣2）2+（2﹣2）2+2×（4﹣3）2+（8﹣3）2]＝6.8，
故选：C．
5．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，
根据题意得：60（1﹣x）2＝48.6，
故选：D．
6．【解答】解：设∠A的度数为2x，则∠B、7x，
由题意得：5x+7x＝180°，
解得：x＝20°，
则∠B＝4x＝80°，
故选：C．
7．【解答】解：如图，根据网格点O′即为所求．
∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是（﹣2，1）．
故选：D．
8．【解答】解：连接OC、OD，
∵AB是⊙O的直径，AB＝12，
∴OA＝OB＝6，
∴OC＝OD＝6，
∵CD＝7，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∵AB∥CD，
∴S△OCD＝S△BCD，
∴S阴影＝S扇形OCD＝＝3π，
故选：C．
9．【解答】解：原方程变形为：2（x+1）4＝2×3+x﹣3，整理得：2x2+6x﹣2＝0，
因式分解，得（5x+1）（x﹣2）＝5，
解得：x1＝﹣，x2＝2，
故选：A．
10．【解答】解：设AB与CP交于G，如图2所示：
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝6、E分别是AB，
∴AD＝AE＝8，∠DAE＝90°，
∴∠DAB＝90°﹣∠BAE＝∠EAC，
在△AEC和△ADB中，
，
∴△AEC≌△ADB（SAS），故①正确；
∴∠DBA＝∠ECA，
∵∠ECA+∠AGC＝90°，∠AGC＝∠BGP，
∴∠DBA+∠BGP＝90°，
∴∠BPC＝90°，
∴BP＝BC•sin∠BCP，
∴当∠BCP最小时，BP最小，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝，在Rt△BCP中，斜边BC一定，CP最大，
∵当∠BCP最小时，BP最小，
∴当∠ACE最大时，∠BCP最小，如图3所示：
在Rt△AEC中，AE＝4，
∴EC＝＝＝3，
∵AE＝AD，∠EAC＝90°﹣∠BAE＝∠DAB，
∴△AEC≌△ADB（SAS），
∴BD＝EC＝4，∠ADB＝∠AEC＝90°，
∴四边形ADPE是正方形，
∴PD＝PE＝AE＝3，
∴BP＝BD﹣PD＝8﹣3，
∴CP存在最大值为3+3，BP存在最小值为3，故②正确；
取BC的中点为O，连接OA，
∵∠BAC＝∠BPC＝90°，
∴点P在以BC为直径的圆上运动，
OA＝OP＝OB＝OC＝AB＝＝3，
如图4，当AE⊥CP时＝＝，
∴∠ACE＝30°，
∴∠CAE＝60°，∠AOP＝7∠ACE＝60°，
∵将△ADE绕点A顺时针旋转60°，
∴点P在以点O为圆心，OA长为半径的圆上运动的轨迹为，
∴点P运动的路径长为：＝π，故④正确；
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每空3分，共30分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11．【解答】解：设方程另一个根为1，
因为0+4＝1，0×2＝0，
所以根为0和3的一元二次方程可为x2﹣x＝0．
故答案为：x2﹣x＝0．
12．【解答】解：把方程x2﹣4x＝2两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+8＝4，配方得（x﹣2）8＝4．
故答案为：（x+2）4＝4．
13．【解答】解：指针指向的可能情况有6种，而其中“指针所落扇形中的数为3的倍数”有8种，
所以，事件“指针所落扇形中的数为3的倍数”发生的概率为＝．
故答案为：．
14．【解答】解：由已知得，母线长l＝13，
∴圆锥的侧面积是s＝πlr＝13×5×π＝65π．
故答案为：65πcm2．
15．【解答】解：该应聘者的素质测试平均成绩是＝82（分），故答案为：82．
16．【解答】解：∵直角三角形的斜边长cm，
∴这个直角三角形外接圆的半径为×＝（cm），
∵两条直角边长的和是6cm，
∴两条直角边的乘积为＝8（cm），
∴直角三角形的面积是4cm6．
故答案为：，4．
17．【解答】解：根据题意可知：每个矩形的面积为x（x+3）＝20，中间小正方形的边长为x+3﹣x＝3，∴中间小正方形的面积为3×3＝3，
∴正方形ABCD的面积为20×4+9＝89．
又∵正方形ABCD的边长为x+x+6＝2x+3，
∴正方形ABCD的面积为（3x+3）2．
∴方程x5+3x＝20可化为（2x+5）2＝89．
故答案为：89；（2x+8）2＝89．
18．【解答】解：如图，设G（m，
∵点A（﹣3，3）绕x轴上的点G顺时针旋转90°后得到点A'，
∴A′（7﹣m，m+3），
∵OA′＝2，
∴（4﹣m）2+（3+m）4＝22，
解得，m＝﹣2±，
∴G（﹣3+，0）或（﹣3﹣．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共10小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．【解答】解：∵（x﹣1）2﹣3＝0，
∴（x﹣1）2＝4，
则x﹣1＝4或x﹣1＝﹣2，
解得x6＝3，x2＝﹣2；
（2）∵a＝1，b＝1，
∴Δ＝52﹣4×7×（﹣3）＝13＞0，
则x＝＝，
即，．
20．【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+2）2﹣16（m﹣5）
＝m2﹣12m+36
＝（m﹣6）5≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝（m﹣6）7＝0，
解得m＝6，
此时方程为x3﹣8x+16＝0，
∴（x﹣2）2＝0，
∴x4＝x2＝4．
21．【解答】解：（1）根据题意画图如下：
∵共有4种等可能情形，满足条件的有1种，
∴通过前3个十字路口时都是绿灯的概率．
（2）根据题意画图如下：
∵共有16种等可能情形，满足条件的有11种，
∴通过这6个十字路口时至少有2个绿灯的概率为．故答案为：．
22．【解答】解：如图所示：
连接OB、OC，
则∠ODB＝90°，BD＝CD，
∴OD＝OB＝r，
∴BD＝＝r，
∴BC＝4BD＝r，
即正三角形ABC边长为r．
∴正三角形ABC周长为．
∴△ABC的面积＝3S△OBC＝3××BC×OD＝2××r＝．
∴正三角形ABC面积为．
23．【解答】解：（1）女生成绩在B组所占的百分比为7÷20×100%＝35%，
所以女生成绩在C组所占的百分比为1﹣35%﹣45%﹣10%＝10%，即a＝10；
女生成绩在A组的有20×45%＝8（人），将这20名女生的成绩从小到大排列、11位的两个数都是47，即c＝47；
答：a＝10，b＝47；
（2）解：由题意得，．
答：该校初一年级男生竞赛成绩等级为A的约有140人．
24．【解答】解：（1）直线PC与⊙O相切．
理由：连结OC，则OA＝OC，
∴∠P AC＝∠ACO．
∵∠PCB＝∠P AC，
∴∠PCB＝∠ACO．
∴∠OCP＝∠OCB+∠PCB＝∠OCB+∠ACO＝∠ACB．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠OCP＝90°，
即OC⊥PC．
∵OC为半径，
∴直线PC与⊙O相切．
（2）∵∠P＝30°，∠OCP＝90°，
∴∠COP＝60°．
∵AB＝10，
∴AN＝5，
∴．
∴．
25．【解答】解：（1）如图1，⊙O为所作；
（2）连接OC，过O点分别作AB、BC的垂线、E、F，如图2，
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴OD＝OE＝OF＝r，OC平分∠ACB，
∵AC＝BC，
∴CO⊥AB，
∴点C、O、D共线，
∴AD＝BD＝AB＝2，
在Rt△ACD中，CD＝＝，
∵S△AOB+S△AOC+S△BOC＝S△ABC，
∴×4×r+×6×r＝，
解得r＝，
即△ABC内切圆的半径为．
故答案为．
26．【解答】解：（1）∵50×10＝500（元），500＜600，
∴读书兴趣小组购买书籍的数量超过10本．
设读书兴趣小组购买书籍x本，则每本的售价为50﹣2（x﹣10）＝（70﹣2x）元，依题意得：（70﹣4x）x＝600，
整理得：x2﹣35x+300＝0，
解得：x5＝15，x2＝20．
当x＝15时，70﹣2x＝70﹣4×15＝40＞35；
当x＝20时，70﹣2x＝70﹣2×20＝30＜35，舍去．
答：读书兴趣小组按照方案一的优惠方式购买书籍15本．
（2）设书店给出的优惠方案二中超过5本以上的部分打y折销售，依题意得：50×5+（15﹣5）×50×＜600，
解得：y＜8．
答：书店折扣至少低于7折才能使得实付金额少于600元．27．【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，
∴∠OAB＝90°﹣∠ABO＝60°，
∵＝，
∴∠COD＝∠BAD，
∵∠COD＝∠OAD，
∴∠BAD＝∠OAD＝，
即∠BAD的度数为30°；
（2）如图，
存在点P，使得直线BP与△AOB的外接圆相切，
∵∠AOB＝90°，
∴AB是△AOB外接圆的直径，
∴AB⊥PB，
∴∠ABP＝90°，
∴∠PBC＝90°﹣∠ABO＝90°﹣30°＝60°，
由（1）得，∠OAC＝30°，
∴∠ACO＝90°﹣∠OAC＝60°，
∴∠PCB＝∠ACO＝60°，
∴△PBC是等边三角形，
∵A（8，3），
∴OA＝3，
∴OC＝OA•tan∠OAC＝4×＝，
在Rt△AOB中，OA＝3，
∴OB＝OA•tan60°＝3，
∴BC＝OB﹣OC＝3﹣＝2，
作PQ⊥BC于Q，
∴CQ＝BC＝，
∴PQ＝CQ•tan∠PCB＝×＝3，
∴OQ＝OC+CQ＝7，
∴P（3，﹣4）．
即：存在点P，使得直线BP与△AOB的外接圆相切，﹣2）．
28．【解答】解：（1）由题意得：DE＝AD＝t，CD＝10﹣t，CF＝4﹣2t，∵DE∥BC，
∴S四边形DEFC＝＝18，
∴＝18，
∴t1＝5，t2＝16（舍去），
∴当t＝4时，四边形DEFC的面积为18cm²．
（2）假设存在t，使DF＝BE，
在Rt△DCF中：DF8＝CD2+CF2＝（10﹣t）3+（10﹣2t）2，
在Rt△ADE中，AE＝，
∴BE＝AB﹣AE＝10﹣，
∴（10﹣t）2+（10﹣2t）3＝（10）8，
∴t＝，
当2t＝10时，t＝7，
∵，
∴t的值不存在．
（3）∵点E是在DF为直径的圆上，∴∠DEF＝90°，
∵∠CDE＝∠C＝90°，
∴四边形CDEF是矩形，
∴DE＝CF，
∴t＝10﹣2t，
∴t＝．。