2014年高二下学期期末考试文科数学试题(1)

2014年高二下学期期末考试
文科数学试题
参考公式：锥体的体积公式h S V ⋅⋅=
3
1
其中S 是底面面积，h 是高 柱体的体积公式V S h =⋅ 其中S 是底面面积，h 是高
圆台的侧面积公式l c c S )(2
1
'+=，其中c 、c '分别是圆台上、下底面周长，
l 是圆台的母线长.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. “0x >”是“2x ≥”的( )
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 2．已知平面向量(12)=，a ，(2)m =-，b ，且a b ∥，则23a b +=（ ） (A)(510)--，
(B)(48)--，
(C)(36)--，
(D) (24)--，
3. 已知
()2,a i
b i a b R i
+=+∈，其中i 为虚数单位，则a b +=( ) (A) 1- (B) 1 (C) 2 (D) 3
4.如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于( ) (A)
54 (B)45 (C)65 (D)56
5.若变量x,y 满足约束条件1
325x y x x y ≥-⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
则z=2x+y 的最大值为
( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 6.设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，
()22x f x x b =++（b 为常数），则(1)f -的值为( )
(A) -3 (B) -1 (C) 1 (D) 3 7．已知函数2
()(1cos 2)sin f x x x =+，x ∈R ，则()f x 是（ ） (A) 最小正周期为π的奇函数 (B) 最小正周期为
π
2的奇函数 (C)最小正周期为π的偶函数
(D)最小正周期为π
2
的偶函数
8.已知抛物线2
2(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A 、B 两点，若线段AB 的中
点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ） (A)1x = (B)1x =- (C)2x = (D)2x =-
9．已知数列{}n a 为等比数列，n S 是是它的前n 项和,若2312a a a ⋅=，且4a 与27a 的等差中项为
5
4
，则5S 的值为（ ）
(A) 35 (B) 33 (C) 3l (D) 29 10.函数2
2x
y x =-的图像大致是 （ ）
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11~13题）
11. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =2b =,sin cos 2B B +=则角A 的
大小为 .
12. 已知圆C 过点（1,0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：1y x =-被该圆所截得的弦长为22圆C 的标准方程为 .
13．一个空间几何体的三视图如下：其中主视图和侧视图都是上底为2，下底为4，高为22的等腰梯形，俯视图是两个半径分别为1和2的同心圆，那么这个几何体的侧面积为
（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题） 14. （坐标系与参数方程选做题）
把极坐标方程1)6
cos(=-
π
θρ化为直角坐标方程是 .
15．（几何证明选讲选做题）如图，O 是半圆的圆心，直径
62=AB ，PB 是圆的一条切线，割线PA 与半圆交
C
24
222
4主视图 侧视图 俯视图
A A 1
C C 1
B 1
B D
于点C ，4=AC ，则=PB ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16、(本小题满分12分)
已知函数22()sin 3cos 2cos ,.f x x x x x x R =++∈ (1) 求函数()f x 的最小正周期；
(2) 当⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈4,
0πx 时，求函数 f (x ) 的最大值与最小值及相应的x 值。

17、(本小题满分12分)
已知点M 的坐标为（,x y ），且22,22≤≤-≤≤-y x 。

（1）当Z y x ∈,时，求点M 在区域()()4222
2
≤-+-y x 内的概率；
（2）当R y x ∈,时，求点M 在区域()()4222
2
≤-+-y x 内的概率。

18、（本小题满分14分）
如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，5=AB ，AA 1＝4，
点D 是AB
的中点。

（1）求证：AC ⊥ BC 1；
（2）求证：AC 1 // 平面CDB 1；
（3）求多面体111C B A ADC -的体积。

19、（本小题满分14分）
已知正数数列{}n a 满足：222
-+=n n S n ，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和．
（1）求数列{}n a 的通项n a ；
（2）令11
n n n b a a +=，求{}n b 的前n 项和T
n.
20、（本小题满分14分）
设椭圆()22221,0x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率22e =，点2F 在直线l :22=x 的
左侧，且F 2到l （1）求,a b 的值；
（2）设,M N 是l 上的两个动点，021=⋅N F M F ，证明：当MN 取最小值时，21220F F F M F N ++=
21、（本小题满分14分） 已知函数36)2(2
3
)(23-++-
=x x a ax x f （1）当2a =时，求函数)(x f 的单调性
（2）当0>a 时，试讨论曲线)(x f y =与x 轴的公共点的个数。

参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

BBBDC ADBCA
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.
11.
6
π 12. 22
(3)4x y -+= 13. 9π 14. 023=-+y x （写成斜截式23+-=x y 也给分）
15. 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16、（12分） 解：（1
）1cos 2()2(1cos 2)22
x f x x x -=
+++ …………3分
2362sin 232cos 212sin 23+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=++=
πx x x …………6分 ()f x ∴的最小正周期2.2T π
π== …………7分
（2）⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈+⇒⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∈32,6624,
0ππππx x …………8分 ；时，，即当2
5
)(6
2
6
2max =
=
=
+
∴x f x x π
π
π
…………10分 2)(06
6
2min ===
+
x f x x 时，，即当π
π
…………12分
17、（12分）解：
（1）当Z y x ∈,时，设“点
M
在区域
()
()4222
2
≤-+-y x 内”为事件A 。

由表知，所有的
基本事件共有25个，其中事件A 所包含的基本事件有（0，2）、（1，1）、（1，2）、（2，0）、（2，1）、（2，2），共有6个。

25
6
)(=
∴A P ……………6分 （2）当R y x ∈,时，设“点M 在区域
()()42222≤-+-y x 内”为事件B 。

点M 所在的区域是一个边长为4的正方形{}22,22|),(≤≤-≤≤-y x y x ，这个正方形和区域
()()
}422|),{(2
2
≤-+-y x y x 的公共部分是4
1个圆，其面积是
ππ=⨯422。

16
4
4)(π
π
=
⨯=
∴B P ………………12分
18、（14分）解：（1）∵底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，∴ AC ⊥BC ， （2分） 又在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1⊥底面ABC ，AC ⊂底面ABC ，∴CC 1⊥AC ，（3分） BC 、CC 1⊂平面BCC 1，且BC 与CC 1相交 ∴ AC ⊥平面BCC 1； （5分） 而BC 1⊂平面BCC 1 ∴ AC ⊥BC 1 （6分） （2）设CB 1与C 1B 的交点为E ，连结DE ，
∵ D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点， ∴ DE//AC 1， （8分） ∵ DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1， ∴ AC 1//平面CDB 1 （10分） （3）BCD B C B A ABC C B A ADC V V V ----=1111111 （11分）=
4432
1⨯⨯⨯-3431
⨯⨯ （13分）
=20 （14分）
19、（14分）解：（1）当n=1时，111==S a ………2分 当2≥n 时，121+=-=-n s s a n n n ………4分
⎩⎨
⎧≥+==∴2
,121
,1n n n a n ………5分 （2）1
,15
1,2
(21)(23)
n n b n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪≥++⎪⎩ ………7分
1
15
n n T ∴==当时， ………8分
1111
255779(21)(23)n n T n n ⎛⎫≥=+++⋅⋅⋅+ ⎪
⨯⨯++⎝⎭当时，
111111111
15257799112123n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
11113152523102(23)
n n ⎛⎫=
+-=- ⎪
++⎝⎭ ………13分 综上所述，31,()102(23)
n T n N n *=
-∈+ ………14分 20、（14分）解：（1）因为a c e =，2F 到l 的距离=c -22，所以由题设得⎪⎩
⎪⎨⎧=-=
2
222
2
c a c
解得2c a ==由2222b a c =-=
，得b = …………5分
（2
）由2c a =
=
得(
))12
,F F ，
因为l
的方程为x =
(
)()1
2
,M y N y …………7分 由知120FM F N ⋅=知
(
)()12
0y y ⋅=
得126y y =-，所以1221
6
0,y y y y ≠=-
…………9分
121111
66MN y y y y y y =-=+
=+≥
当且仅当1y =时，上式取等号，此时21y y =- …………12分
所以，(
)
))
212212F F F M F N y y ++=-+
+
()120,y y =+0
=
…………14分
21、（14分）解：（1）若2=a ，则0)1(6)(2
≥-='x x f ,∴()f x 在R 上单调递增
……………4分
（2）)1)(2
(36)2(33)(2--
=++-='x a
x a x a ax x f ………………6分 ①若20<<a ，则12>a ；当a x x 21><或时，0)(>'x f ；当2
1x a <<时，0)(<'x f
)(x f ∴在(,1)-∞，（2a ，)∞+内单调递增， 在2
(1,)a
内单调递减 ()f x ∴的极大值为(1)02
a
f =-<,
)(x f ∴的图象与x 轴只有一个交点 ……………9分
②若2=a ，则0)1(6)(2
≥-='x x f ,∴()f x 在R 上单调递增,
又01)2(,01)1(>=<-=f f )(x f ∴的图象与x 轴有且只有一个交点 ………10分
③若2>a ，,2>a 12<∴
a ∴当a x 2<或1>x 时，0)(>'x f ；当12
<<x a
时，0)(<'x f )(x f ∴在)2,(a -∞，（1，)∞+内单调递增，在)1,2
(a
内单调递减 )(x f 的极大值为2246
()30f a a a
-=+-<,
()f x ∴的图象与x 轴只有一个公共点 ……………13分
综上所述，当0>a 时，)(x f 的图象与x 轴有且只有一个公共点 ……………14分。