一元微分学的概念性质与计算讲义

一元微分学的概念性质与计算讲义
一、考试内容
（一）导数与微分的概念与性质
，
函数在点处可导，则其所示曲线在点处有切线，反之不然.
（二）基本函数的导数及高阶导数表
；
，.
（三）导数与微分的运算法则
， 对幂指函数也可用对数求导法，其适用于幂指函数、连乘、连除、开方、乘方等；
； (0)0
0000
0()()()
(0)lim
,()lim (),f x h f x mh f x nh f mx f a ma f x a m n a x h
=→→+--''=⇔==⇒=+0
0000000()'()'(),lim ()()'()'()()x x f x a f x f x a f x f x f x f x f x -+
-+→''''=⇔===⇔==()()()()'(),(())'()()'()'()'(),
y x A x x o x A x y x dy u x y u du x y u u x dx y x dx ∆=∆+∆⇔====()f x 0x 0
x [ln(x +=
2211
(
ln )',2a x a a x a x
+=--11,1
(ln )',()',[()]'(1)()1,n n x a x x a x a x a n x a x a
x a
x ->⎧=-=--=+--⎨-<⎩()
()
(1)
()1
01(1)!()
!,()ln ,[ln()]
(),()n m n x n x n n n n n m n m
n m n x n n m a a a x a x a x a A x n m
++->⎧-⎪===±==⎨±±⎪<⎩()(sin )sin(2)n n ax a ax n π=+()(cos )cos(2)n n ax a ax n π=+()()()()
[()]()[()ln ()]()[
'()'()ln ()]()
v x v x v x v x d u x u x d v x u x u x u x v x u x dx u x ==+()
()()()
()()12120
[()()]
()(),[()()]
[()][()]n
n n n n k
n k k n k k u x k v x k u x k v x u x v x C u x v x -=+=+=⋅∑
设二阶可导，且，则，；
设二阶可导，若由所确定， 则 ，
. 二、典型例题
题型一 可导性的判定
1、设函数在处连续，则是的(A) (A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也非必要条件
2、设，则是的(B)
(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也非必要条件
注1：是的(C) ，但是的(B) ． 提示：取,则，但在处非右连续．
注2：若设函数
在处连续，则是的(D)，但是的(A)．
3、设存在但不相等，则下列命题正确的是(B) (A) 在处不连续 (B) 在处连续但不可导 (C) 为的跳跃间断点 (D) 为的跳跃间断点 注1：为的跳跃间断点存在但不相等；
)(x f y ='0y ≠'()1'x y y =3''()'''x y y y =-(),()x t y t ()y y x =(),()x x t y y t =='()'()
'()y x y t x t =3''()['()'()]()[()()()()]()y x d y t x t dx t y t x t y t x t x t '''''''==-)(x f 0x x =0
10lim(
)()x x
x x f x a -→-=0()f x a '=0)0(=f 2
2
lim (1)x x x f e a -→-='(0)f a =2
20
lim (1)x x x f e a -→-='(0)f a +=1lim ()n nf n a -→∞
='(0)f a
+=0,()1,x Q f x x Q
∈⎧=⎨∉⎩1()0f n
=()f x 0x =)(x f 0x =2
20
lim (1)x x x f e a -→-='(0)f a
=2
20
lim
(1)x x x f e a -→-='(0)f a +=00'(),'()f x f x -+()f x 0x x =()f x 0x x =0x x =()f x 0x x ='()f x 0x x ='()f x ⇔
00'()'()f x f x -+，
为的可去间断点存在且相等；
注2：设在处连续，且存在且相等在
处连续．
4、设在处连续，则下列命题正确的个数为(D)
(1) 若在处可导，则 (2) 若在处连续，则
(3) 若，则 (4) 若，则
(A) (B) (C) (D)
5、函数不可导点的个数为．
6、设，在连续，但不可导，又存在，求证：是在可导的充要条件． 题型二 求导（微）的计算 例1、设，求．
例2、设，求． 例3、设，求．
例4、函数可导，当自变量在处取得增量
时，相应的函数增量的线性主部为，则
．(提示：)
例5、设是方程所确定的函数，求及
．
0x x ='()f x ⇔00'()'()f x f x -+
，()f x 0x x =00'()'()f x f x -+，⇒'()f x 0x x =0
(),(),g x x x f x a x x ≠⎧=⎨
=⎩0x ()g x 0x 00'()'()f x g x ='()g x 0x 00'()'()f x g x =00'()'()g x g x b -+==0'()f x b =00'()'()g x g x b -+==0'()f x b =123422()()2f x x x x x =+--1()()()F x g x x ϕ=()x ϕx a =()g a '()0g a =()F x x a =)
()2)(1()
()2)(1()(n x x x n x x x x f +++---=
)1(f 'x
e x y ='()y
x [ln(f x =)]1[ln(2x x f ++'')(u f )(2x f y =x 1-=x 1.0-=∆x y ∆0.1(1)f '=
0.522[()]'2'()dy f x x xf x x =∆=∆)(x f y =
0=+--xy e e x y )0(y ')0(y ''
例6、 求．
例7、设严格单调函数具有二阶导数，其反函数为
且满足
，则．
例8、设二阶可导，且，求 求．
例
9、设是由方程组所确定的隐函数，求
． 例10、已知
是由方程确定，则
．
例11、求函数的导数． 例12、对于函数
,问选取怎样的系数才能使得处处具有一阶连续导数，但在处却不存
在二阶导数．
题型三 高阶导数的计算 例1、设，则．例2、设，
求．
例3、设，求．
例4、设，求，．
三、课后练习
2
2arctan
y x e
y
x +=dy ()y f x =(),x y ϕ=(1)1,(1)2,(1)3f f f '''==-=(1)ϕ''=38)(t f 0)(≠''t f ⎩⎨⎧-'='=)
()()(t f t f t y t f x 22dx y
d )(x f y =⎩⎨⎧=+-++=0
1sin 3
232y t e t t x y 202
|t d y
dx =()x f y =()1ln cos =+-x y xy ()()lim 21n n f n →∞
-=2)11)(1(++--=x x x y y '⎩⎨
⎧≥+<++=0
)
1ln(0
)(2x x x c bx ax x f c b a ,,)(x f 0=x 502)54(+=x y !100450)100(⋅=y 213(2)y x x x -=--)(n y x x y 44cos sin +=()(1)4cos(42)n n y x n π
-=+21(2)(cos 4)n n y x x x π-=+-)()(x f n )1()(n f
1(A)、设存在，则．
2(A)、设在处连续，且，则．
3(B)、若，且,则．
4(A)、设函数在处连续，下列命题错误的是( )
(A)若存在，则 (B)若存在，则
(C)若存在，则存在(D)若存在，则存在
5(A)、设，则在点可导的充要条件是( )
(A) 存在 (B)存在 (C) 存在 (D) 6(B)、设可导，，则是在处可导的( )
(A) 充要条件 (B)充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D)即非充分也非必要条件
7(A)、函数不可导点的个数是．
8(A)、设则使存在的最高阶数为( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
9(B)、设，则在内( ) (A) 处处可导(B) 恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导
)(0x f '1000
lim [()(2)]x x f x x f x x -→+--=
)(x f 2=x 212lim(4)()3x x f x -→-=(2)f '=(0)0f =(0)=f a '3230
lim [()2()]x x x f x f x -→-=
)(x f 0x =10lim ()x x f x -→(0)0f =10lim [()()]x x f x f x -→+-0)0(=f 10lim
()x x f x -→'(0)f 10
lim [()()]x x f x f x -→--'(0)f 0)0(=f )(x f 0=x 20lim (1cosh)h h f -→-10lim (1)h h h f e -→-20lim (tan sin )h h f h h -→-10
lim [(tan )(sin )]h h f h f h -→-)(x f )sin 1)(()(x x f x F +=0)0(=f )(x F 0
=x x x x x x f ---=32)2()(32
()3,f x x x x =+()(0)n f n n
n
n x x f 31lim )(+=∞
→()f x ),(+∞-∞
点 (D) 至少有三个不可导点 10(A)、设
，其中是有界函数，则在处( )
(A)极限不存在 (B) 极限存在，但不连续 (C) 连续但不可导 (D) 可导点 11(B)、设在处连续，则下列命题正确的个
数为( )
(1) 若，则 (2) 若，则
(3) 若
，则
(4) 若
，则
(A) (B) (C) (D)
12(A)、设为不恒等于零的奇函数，且存在，则为
的( )
(A) 连续点 (B) 跳跃间断点 (C) 可去间断点 (D) 第二类间断点
13(A)、若为偶函数，且存在，求证：． 14(A)、设函数的图形如图所示，则在处的及的正负号为（ ）
（A ） （B ） （C ） （D ）
2(1cos 0
()()0
x x f x x g x x ⎧->⎪=⎨
≤⎪⎩
)(x g )(x f 0=x 000()()()g x x x f x a x x h x x x
<⎧⎪==⎨⎪>⎩
0x 00'()'()g x h x b ==0'()f x b =00'()'()g x h x b -+==0'()f x b
=00'()'()g x h x b
-
+==0'()f x b
=00'()'()g x h x b -+
==0'()f x b =1234)(x f )0(f '0x =()()g x f x x =)(x f )0(f '0)0(='f )(x f y =
0x dy dy
y -∆0,0>-∆<dy y dy 0,0<-∆<dy y dy 0,0>-∆>dy y dy 0,0<-∆>dy y dy
15(A)、设可微，, 则.
16(A)、设在的某邻域内可导,
且,
，则. 0
17(A)、设函数，其中为正整数，则
=( ) . 18、计算下列导数（微分）：
（1）(A)设. （2）(A)设.
（3）(A)若由确定，则.
（4）(B)设，其中具有二阶导数，且，求. （5）(A)设，其中可导，且，则. （6）(A)设由所确定，则.
（7）(B)设函数
则
. （8）(B)设，则.
（9）(A)设，则.
（10）(A)则.
（11）(B)设函数，则当，.
19(A)、设，则 .
()g x 1()()e ,(1)1,(1)2g x h x h g +''===(1)g =
()f x 2x =()()e f x f x '=()21f =()2f '''=
0x x x ∆+0x 2()(1)(2)x x nx f x e e e n =--…（-）n '(0)f y =(0)y ''=y =(1)y '=)(x f y =0162=-++x xy e y (0)y ''=)(y x f y +=
f
'1f ≠''()y x =
⎩
⎨
⎧-=-=)1()(3t
e f y t f x π
f 0)0(≠'f 0
t dy
dx ==
)(x y y =⎩⎨⎧+=+-=2
3)1ln(t
t y t t x 22d y
dx =ln 1
()=,(()),21,1
x f x y f f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩2
=
x dy dx ={}23()max ,,,(0,2)f x x x x x =∈()f x '=()(1)
(1)f x x x =-+()()n f x =
ln(12)y x =-，()(0)n y =)1ln()(2x x x f +=3≥n ()(0)n f =
()lim
(13)x t t f x x t →=+'()f x =
20(A)、设函数由方程确定，则．
21(A)、定义于上的，为常数，且在上,
,
(1) 在上，；(2) 若在处可导，则.
22(A)、设 问取何值时，可导？
23(A)、设
讨论在处的连续性. 24(B)、的导数在处连续，则（连续）．
25(B)、设
，求的导数，并讨论的连续性. 26(B)、设 ， 则.
27(B)、设可导，当自变量在处取得增量
时，相应的函数增量的线性主部为，则．
)(x f y =
)1(y x e x y -=-()()lim 11n n f n →∞
-=
R ()(2)f x k f x =+k [0,2]2()(4)f x x x =-[2,0]-()f x =
()f x 0x =k =
⎩⎨⎧≥+<+-=,1
,,
1 ,2)1sin()(x b ax x x x f b a ,)(x f 2arctan , 0,
()0, 0,
x x x f x x -⎧≠=⎨
=⎩)(x f '0=x 10,
cos ,()0,0,x x x f x x λ-≠⎧=⎨=⎩
0x =λ∈30
()0
x x
x f x x ⎧≠=⎨
=⎩)]([)(x f f x =φ)(x φ'⎩⎨
⎧+=+=t
t t y t
t x 4522
00
=,
= ,=t t t dx
dy
dy dt
dt dx ===)(u f 22(log )y f x =
x 1-=x 0.01x ∆=-y ∆0.02(0)f '=。