广东华南师范大学附属中学高考数学高考数学压轴题平面向量多选题分类精编含答案

广东华南师范大学附属中学高考数学高考数学压轴题平面向量多选题分类精
编含答案 一.平面向量多选题
1. 在三棱锥M-ABC 中，下列命题正确的是（） —1 —2—-
A. 若 AD = -AB + -AC ,则 BC = 3BD
3 3 B. 卜为3C 的重心,则= > +
> +
>
若丽 阮 =0， MC AB = 0^则祈 走 =0
D.若三棱锥M-ABC 的棱长都为2, P, Q 分别为MA, BC 中点，则阿卜2
【答案】BC 【分析】
作出三棱锥M-ABC 直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得.
对于 A,由 ^AD = -AB + -AC^AD = 2AC.AB^2AD-2AC = AB-AD, 即 2CD = DB^ 则^-BD = BD +
DC = BC^ 故 A 错误;
厶
对于 B.由 G 为△A3C 的重心，^GA + GB + GC = b^ 又MG = MA + AG^
1^ = -MA + -MB + -MC.故 B 正确；
3 3 3
对于 c,若顾•就=0，= 则MA BC + MC AB=0> 即
M4BC + A 7C-(AC + C 5)=O=>M4BC+A 7C ；4C + MCC5 = O
^+MC AC -A 7C BC = O =>(M4-A 7C )-BC +MC AC = 0
=>CA BC +A ?C AC = O => AC CB +MC AC = O ^>(C 5+A 7C ) AC = 0,即
MB AC = O^故C 正确;
・ 々 |
*
“ ”
・
•
o I ■■
■
! ■ |
■
・“
“
■
对于 D,・ ・PQ = MQ — MP = — (MB + MC)一一MA = -(MB + MC-MA) 2 2 2
C. MG = MB +BG ^ MG = MC + CG^ .\M4 + MB + MC = 3A7G > 即
岡=£阿+祝一网= £J(屈+応一莎『
2 2 o ，
(而+说_顾『=~MB +MA +2MB•就_2屈•顾_2疋•顾
=22 +22 +22 +2x2x2x--2x2x2x--2x2x2x- = S ,.•.『0=丄邂=血，故
2 2 2 2
D错误.
故选：BC
【点睛】
关键点睛：本题考査向量的运算，用已知向量表示某一向量的三个关键点：
(1) 用已知向量来表示某一向量，一立要结合图形，以图形为指导是解题的关键.
(2) 要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.
(3) 在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.
2. 已知集合M二{(x,y)\y = /(A)}，若对于Vg,yj wM ,3(x2,y2)eM，使得
州W + )0'2 =°成立，则称集合M是"互垂点集".给出下列四个集
合:M] ={(%,『)卜=疋+1}；“2 ={(%,刃卜= &TT}；M3 ={(“)卜=占}；
M4 ={(x,y)|y = sinx + l}.其中是"互垂点集"集合的为()
A. M]
B. M2
C. M3
D. M4
【答案】BD
【分析】
根据题意知，对于集合M表示的函数图象上的任意点卩(召,才)，在图象上存在另一个点P，使得丽丄丽，结合函数图象即可判断.
【详解】
由题意知，对于集合M表示的函数图象上的任意点P(^，yJ，在图象上存在另一个点
P，使得丽丄丽.
在y = F+i的图象上，当p点坐标为(0,1)时，不存在对应的点PS
所以不是"互垂点集"集合：
对y = 777T的图象，将两坐标轴绕原点进行任总旋转，均与函数图象有交点，
所以在中的任意点p(丙，x),在M2中存在另一个使得丽丄丽，
所以M 2是"互垂点集"集合：
在）,=於的图象上，当P点坐标为（0,1）时，不存在对应的点所以Mg不是“互垂点集"集合;
对y = sinx + 1的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点， 所以所以Mj 是"互垂点集”集合， 故选：BD. 【点睛】
本题主要考查命题的真假的判断，以及对新左义的理解与应用，意在考查学生的数学建模 能力和数学抽象能力，属于较难题.
3. 已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D, F 分别是AGA3上的点，且疋=而, AD = 2DC > BD 与 CE 交于点、O,则（）
可证明EO = CE,结合平而向量线性运算法则可判断A ：由而丄乙g 结合平而向量数咼 积的左义可判断B ：建立直角坐标系，由平而向量线性运算及模的坐标表示可判断C ：由 投影的计算公式可判断D.
【详解】
因为△A3C 是边长为2的等边三角形，AE = ES ，
所以E 为AB 的中点，且C£丄AB.以£为原点如图建立直角坐标系，
则 £（0,0）, A （-l,0）, 5（1,0）, C （0“）,
c. ^OA +OB +OC +OD \ = ^
【答案】BD 【分析】
7
D ・丽在BC 方向上的投影为：
6
A. OC + EO =
（）
B.而・CE = 0
取他的中点G,连接GE,易得GE//初且 所以△ CDO 呈△EGO, EO = CO,则O 0, 对于A, OC + EO = EC^d^故A 错误： 对于B.由殛丄厉可得而・CE = 0.故B 正确:
所以 OA + OB+ OC+ OD =
—
I 3
3丿
1 +
2 ?
= 一=上，故D 正确.
\BC \ 2 6
故选：BD. 【点睛】
关键点点睛：建立合理的平而直角坐标系是解题关键.
4. 如图所示，设Ox, Oy 是平而内相交成冲彳|角的两条数轴，玄，&分别是与
X,)'轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy 为0反射坐标系中，若 OM=xe {+ye^贝U
把有序数对(x,刃叫做向量页7的反射坐标，记为OA/ = (x,y).在 0 = ^-的反射坐标系中，方=(1,2),乙=(2, —1).则下列结论中，正确的是()
OA =
,OB =
,oc = I® ,OD =
"1 ©
2
< 2
< 2 J
3 6)
\ /
对于C, 由 AD = 2DC 可得 AD = ^AC =
所叫 OA +OB +OC +OD \=^,
故C 错误:
对于D, BC = (-1,^/3), ED= -1,
所以丽在岚方向上的投影为BC ED ,则D -£,
et
x
A. a —万=（一1,3）
B. |«| = >/5
C. a 丄5
D. a 在厶上的投影为—兰卩
14
【答案】AD 【分析】
a-b = -e i +3e 2 ,贝ija-厶=（一1,3）,故&正确：u =羽,故 B 错误：a b = --,故
乙
c 错误：由于方在厶上的投彫为U = -! = _巫,故D 正确.
/； ◎
14
【详解】
a_5 =（0]+2勺）_（2© _勺）=_©+3勺，则心_方=（_1,3）,故&正确:
3 故方在乙上的投影为乜=辽=_赳
7,故D 正确匚
b\ V7 14
故选：AD 【点睛】
本题主要考查新左义，考查向量的坐标运算和模的讣算，考查向量的投影的计算，考查向 量的数咼积的计算，意在考査学生对这些知识的理解掌握水平・
5•设a ，b ，7是任意的非零向捲，且它们相互不共线，给岀下列选项，其中正确的有
A. 故C 错误;
茴=（彳+ 2可・（2石一可=2孑
a ・c_
b ・
c
B. （几£"）・“一（6*・°）易与7不垂直
C. p| —”|vp胡
D. （3方+ 2可.（3=2可=9休—4『
【答案】ACD
【分析】
A,由平而向量数量积的运算律可判断；B,由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断：C,由方与乙不共线，可分两类考虑：①若p| < |b|,则R卜円V0胡显然成立;② 若冋>”|，由歼、円、p-耳构成三角形的三边可进行判断：D,由平面向量的混合运算将式子进行展开即可得解. 【详解】
选项A,由平而向量数量积的运算律，可知A正确：
选项B,
■ ■
・C = （〔•£•）•"•£•-（C・"）•乙・C =（厶弋）・（。

・（?）一（〔•（?）•
（£••“） = 0 ,
.•.（几c）y —（cy）・5与？垂直，即B错误；
选项C, ••• Z与乙不共线,
若p|<円,则冋_冋v p胡显然成立：
若PI > 1^1,由平而向量的减法法则可作出如下图形：
由三角形两边之差小于第三边，可得a-b<a-b .故C正确：
选项D, （3方+方）・（3方一2可=9〉一67乙+ 6乙必一4产=9p「_4”「，即D正确.
故选：ACD
【点睛】
本小题主要考查向量运算，属于中档题.
6.在公ABC 中，D, F, F 分别是边BC, AC, AB 中点，下列说法正确的是() A ・ ~AB + AC-AD = O
B. DA + EB + FC = O M AC _>/3AD \AB\ \AC\'
\AD\
D. 若点P 是线段AD 上的动点，且满足丽=2丽+ 〃说，则勿/的最大值为*
【答案】BCD 【分析】
对选项A, B,利用平面向量的加减法即可判断A 错误，B 正确.对选项C,首先根据已知得 到AD 为^BAC 的平分线，即AD 丄BC,再利用平面向量的投影概念即可判断C 正确.对 选项D,首先根拯人只D 三点共线，设=
+
o<r<l,再根据已知得
A = t
到q 1-八 从而得到y = /l // = r(—) = -l(/-l)2+i,即可判断选项D 正确. LI = 2 2 2 8 I 2
【详解】 如图所示：
对选项 A, AB + AC-AD = 2AD-AD = AD^6^ 故 A 错误.
・ •
■ I •
I I •
■
I ・
• ・
•
I '
•
■
对选项 B, DA + EB + FC = —(AB + AC)--(BA + BC)--(CA + CB)
2 2 2
= --AB--AC--BA--BC--CA--CB
2 2 2 2
2 2 =一丄AB--AC+-AB 一丄BC + -AC+-BC = Q f 故 B 正确.
2 2
2 2
2
2
• r
「
对选项C, | Ap ||
| 方分别表TH 平行于Afi , AC » AZ)的单位向量,
ylP AC
由平而向量加法可知：鬲+隔为侮C 的平分线表示的向星 因为磊+語T 帯，所以初为如的平分线, 又因为AD 为3C 的中线，所以AD 丄BC,如图所示:
c.若
则丽是加在就的投影向量
A
所以丽是在氏的投影向虽:，故选项c 正确. 对选项D,如图所示：
因为P 在AD 上，即人只。

三点共线, 设B P = /Z M +(I -/)B D, 0<r< 1・
当/ =丄时，几“取得最大值为-故选项D 正确.
2 8 故选:BCD
【点睛】
本题主要考査平而向量的加法，减法的几何意义，数形结合为解决本题的关键，属于中档 题.
7.下列说法中错误的为()
A.已知：=(1,2)」；=(1,1),且2与a + Ab 的夹角为锐角，则实数2的取值范围是
亦在貳的投影为网cos B
二网
I
* ■ •
又因为込尹，所以BP4+ 2
^H BC .
因为BP = A BA + JL /BC ,贝卜 A = t
1-r , 0<z<1. r
A
令 y = 2// = / x
5 __,+s 3丿
] 3 A
J 不能作为平而内所有向量的一组基底
C. 若aUb ，则方在乙方向上的正射影的数虽:为「
【答案】AC 【分析】
对于A,由向量的交角为锐角的等价条件为数量积大于0,且两向量不共线•计算即可; 对于B,由玄=4云,可知石，&不能作为平面内所有向量的一组基底; 对于C,利用向量投影的定义即可判断： 上，点。

在角C 的平分线上，进而得岀点。

是A ASC 的内心・
【详解】
对于A,已知n = (l,2), S =(M ),且方与a + )i 的夹角为锐角, 可得7(方+斯)>0,且方与2 + Xb 不共线，° +龙=(1 +入2 + 2),
即有l + /l + 2x(2 + 久)>0,且2x(l + /i )H2 + /l,
解得2>--且2工0,则实数2的取值范用是2>--且2工0,
3 3
故A 不正确：
一
(1 3)
对于B.向量…J
—-,
-{24)
•・• q =化，
・••向量”，&不能作为平而内所有向量的一组基底，故B 正确; 对于C,若a\\b,则方在乙上的投影为±|帀，故C 错误：
(
对于D,由丙・
AB CA AB \
|CA |^
=0,点。

在角A 的平分线上，同理，点。

在角3的平分线
表示与△A3C 中角A 的外角平分线共线的向量,
D.三个不共线的向OB ，OC ，满足
=0,则。

是△ABC 的内
对于D,
AB CA
所以，点O 在角A 的平分线上，
同理，点0在角3的平分线上，点O 在角C 的平分线上， 故点0是厶ABC 的内心，D 正确. 故选：AC. 【点睛】
本题考查了平而向量的运算和有关槪念，具体包括向量数量积的夹角公式、向量共线的坐 标表示和向量投影的定义等知识，属于中档题.
8・若平而向量N 恥两两夹角相等，方鼻为单位向戢|c| = 2t 则a + b + c =() A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】AD 【分析】
由平而向Sn./A?两两夹角相等可知，夹角为0。

或120°.分两种情况对三个向量的和的模 长进行讨论，算出结果. 【详解】
•••平面向^aj\c 两两夹角相等， 二两两向量所成的角是0。

或120。

. 当夹角为0。

时，
a 、-- b. c =
/ X X
aj^c 同向共线，
—♦ —< —* 则 a + b + c=4:
当夹角为120。

时,
a"为单位向量，
方+耳=1 ,且a+b 与7反向共线, 又・.d = 2 ,
・•. a+ b + c = 1.
故选：AD. 【点睛】
本题考查了平而向量共线的性质，平而向量的模的求法，考査了分类讨论的思想，属于中
由丙・ AB
-L
AB
••
=0,可知丙垂直于角A 的外角平分线,
档题.
9.已知正三角形ABC的边长为2,设AB = 2a^ BC = b^则下列结论正确的是（）A. a + b =1
B.:丄乙
C. （4a +厶）丄/?
D.方・乙=_1
【答案】CD
【分析】
分析知“卜1,网=2,方与乙的夹角是120°,进而对四个选项逐个分析，可选出答案.
【详解】
分析知问=1,同=2,方与乙的夹角是120*.
由。

•厶=Ix2xcosl20 =—1工0，故B 错误，D il••确：
由（方+矿=甘+2茴+ ”「= 1一2 + 4 = 3,所以p + = 故A错误；由（42 +可必=兀必+产=4x（_l） + 4 = 0,所以（4d + b）丄厶，故C正确. 故选：CD
【点睛】
本题考查正三角形的性质，考査平而向量的数量积公式的应用，考查学生的汁算求解能力，属于中档题.
10・对于菱形ABCD,给出下列各式，其中结论正确的为（）
.|AB|=|BC|
AB = BC B
C. AB-CD = AD + BC
D. AD + CD = CD-CS
【答案】BCD
【分析】
由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解.
【详解】菱形中向与貳的方向是不同的，但它们的模是相等的，
所以B结论正确，A结论错误；
因为阿一乔卜网 + 冈=2〔洞，网 + 列=2网，且网卜网,
所以阿_码=网+网,即C结论正确;
因为|AD + CD| = |BC + CD| = |^S|t
^CD-CB\=\CD+BC\=\BD\9所以D结论正确. 故选：BCD
【点睛】
本题主要考査了向量加法、减法的运算，菱形的性质，属于中档题.。