【江苏省南京市、盐城市】2017届高三年级第一次模拟考试数学(理)试卷

江苏省南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试数学(理)试卷
参考公式：
锥体体积公式：13
V Sh =,其中S 为底面积,h 为高；
柱体体积公式：V Sh =,其中S 为底面积,h 为高. 样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差2
2
1
1
()n
i i s x x n
==
-∑
,其中1
1
n
i i x x n ==
∑.
一、填空题.(共14小题,每小题5分,共70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.已知集合{1,0,1}A =-,(,0)B =-∞,则A B =I ____________.
2.设复数z 满足()1i 2z +=,其中i 为虚数单位,则z 的虚部为____________.
3.已知样本数据12345,,,,x x x x x 的方差23s =,则样本 数据123452,2,2,2,2x x x x x 的方差为____________.
4.如图是一个算法流程图,则输出的x 的值是____________.
5.在数字1234、、、中随机选两个数字,则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为____________.
6.已知实数,x y 满足0
722x x y x y
>⎧⎪+≤⎨⎪+≤⎩
,则y
x 的最小值是____________.
7.设双曲线
2
221(0)x
y a a
-=>的一条渐近线的倾斜角为30︒,则该双曲线的离心率为____________.
8.设{}n a 是等差数列,若45621a a a ++=,则9S =____________.
9.将函数π3sin(2)3y x =+的图象向右平移π(0)2
ϕϕ<<个单位后,所得函数为偶函数,则ϕ=____________.
10.将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱,3AB =,2BC =,圆柱上底面圆心为O ,EFG ∆为下底面圆的一个内接直角三角形,则三棱锥O EFG -体积的最大值是____________.
11.在ABC ∆中,已知3AB =,,π3C =,,则CA CB ⋅u u u r u u u r 的最大值为____________.12.如图,在平面直角坐标系中,分别在x 轴与直线
3
(1)3
y x =
+上从左向右依次取点k A 、k B ,1,2,k =⋅⋅⋅,其中1
A 是坐
标原点,使1k k k A B A +∆都是等边三角形,则101011
A B A ∆的边长是
开始
结束
否
是
输出
第4题图
A 1 A 2
A 3
A 4
B 1
B 2
B 3
…
x
y
____________.
13.在平面直角坐标系xOy 中,已知点P 为函数2ln y x =的图像与圆222:(3)M x y r -+=的公共点,且它们在点P 处有公切线,若二次函数()y f x =的图像经过点,,O P M ,则()y f x =的最大值为____________. 14.在ABC ∆中,,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若22228a b c ++=,则ABC ∆面积的最大值为____________. 二、解答题.(本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内) 15.(本小题满分14分)
如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,BC AC ⊥,D ,E 分别是,AB AC 的中点． (1)求证：11B C ∥平面1A DE ；
(2)求证：平面1A DE ⊥平面11ACC A ． 16.(本小题满分14分)
在ABC ∆中,,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边,且sin2sin b C c B =． (1)求角C ； (2)若π
3
sin()35
B -=
,求sin A 的值. 17.(本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy 中,已知圆2
2
2
:O x y b +=经过椭圆22
2
:
14x y E b +=(02)b <<的焦点. (1)求椭圆E 的标准方程；
(2)设直线:l y kx m =+交椭圆E 于,P Q 两点,T 为弦PQ 的中点,,TM TN ,记直线(1,0),(1,0)M N -的斜率分别为12,k k ,当22221m k -=时,求12k k ⋅的值. 18.(本小题满分16分)
如图所示,某街道居委会拟在EF 地段的居民楼正南方向的空白地段AE 上建一个活动中心,其中30AE =米．活动中心东西走向,与居民楼平行.从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD ,上部分是以DC 为直径的半圆.为了保证居民楼住户的采光要求,活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE 不超过2.5米,其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足3tan 4
θ=
. (1)若设计18AB =米,6AD =米,问能否保证上述采光要求？ (2)在保证上述采光要求的前提下,如何设计AB 与AD 的长度,可使得活动中心的截面面积最大？(注：计算中π取3) 19.(本小题满分16分)
A
B
C A 1
B 1
C 1
D E 第15题图
F
第18题图
B
D G C
←南
居 民 楼 活 动 中 心
设函数()ln f x x =,1
()3a g x ax x
-=+
-(a ∈R ). (1)当2a =时,解关于x 的方程(e )0x g =(其中e 为自然对数的底数)；
(2)求函数()()()x f x g x ϕ=+的单调增区间；
(3)当1a =时,记()()()h x f x g x =⋅,是否存在整数λ,使得关于x 的不等式2()h x λ≥有解？若存在,请求出
λ的最小值；若不存在,请说明理由.
(参考数据：ln20.6931≈,ln3 1.0986≈) 20.(本小题满分16分)
若存在常数*(,2)k k k ∈≥N 、q 、d ,使得无穷数列{}n a 满足1,,,,n n n n a d k a n qa k *+*⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩
N N 则称数列{}n a 为“段比
差数列”,其中常数k 、q 、d 分别叫做段长、段比、段差.设数列{}n b 为“段比差数列”. (1)若{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q 、3. ①当0q =时,求2016b ；
②当1q =时,设{}n b 的前3n 项和为3n S ,若不等式133n n S λ-≤⋅对n *∈N 恒成立,求实数λ的取值范围； (2)设{}n b 为等比数列,且首项为b ,试写出所有满足条件的{}n b ,并说明理由.
数学附加题部分
(本部分满分40分,考试时间30分钟)
21．[选做题](在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内)
A .(选修4-1：几何证明选讲)
如图,AB 是半圆O 的直径,点P 为半圆O 外一点,,PA PB 分别交半圆O 于点,D C .若2AD =,4PD =,
3PC =,求BD 的长.
B .(选修4-2：矩阵与变换)
设矩阵 22 3m ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 的一个特征值λ对应的特征向量为12⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦
,求m 与λ的值. C ．(选修4-4：坐标系与参数方程)
在平面直角坐标系xOy 中,已知直线35
:45x t l y t ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
(t 为参数).现以坐标原点O 为极点,以x 轴非负半轴为极轴
建立极坐标系,设圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=,直线l 与圆C 交于,A B 两点,求弦AB 的长. D ．(选修4-5：不等式选讲)
若实数,,x y z 满足21x y z ++=,求222x y z ++的最小值.
A B C
P
D O · 第21(A )图
[必做题](第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内) 22．(本小题满分10分)
某年级星期一至星期五每天下午排3节课,每天下午随机选择1节作为综合实践课(上午不排该课程),张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程.
(1)求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；
(2)设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X ,求X 的概率分布表与数学期望()E X . 23．(本小题满分10分) 设*n ∈N ,3n ≥,*k ∈N . (1)求值：
①11k k n n kC nC ---；
②22121(1)k k k n n n k C n n C nC -------(2k ≥)；
(2)化简：20212222123(1)(1)k n
n n n n n C C C k C n C +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++。