(浙江专用)高考数学一轮复习讲练测专题2.6对数与对数函数(讲)(含解析)

第06讲对数与对数函数---讲
1.理解对数的看法，掌握对数的运算，会用换底公式.
2．理解对数函数的看法，掌握对数函数的图象、性质及应用.
3.认识对数函数的变化特色.
4.高考展望：
（1）对数运算；
（2）对数函数的图象和性质及其应用；
（3）除单独观察外，在大题中观察对数运算、对数函数的图象和性质的应用是热门.
5.备考要点：
（1）对数运算
（2）对数函数单调性的应用，如比较函数值的大小；
（3）图象过定点；
（4）底数分类谈论问题.
知识点1．对数及其运算
1.对数的看法
（1）假如x ＝(>0，且≠1) ，那么叫做以为底的对数，记作＝log ，此中叫做对数的底数，
a x a x a
a
N叫做真数.
（2）对数的性质：①负数和零没对数；②log a1 0；③log a a 1；
（3）对数恒等式
logN a a＝N
2.对数的运算法规
假如a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；
M
②log a N＝log a M－log a N；
a n a
③log M＝n log M(n∈R)；
④log a n n
m M＝log a M(m，n∈R，且m≠0).
m
(3)对数的重要公式
log a N
①换底公式：log b N＝log a b(a，b均大于零且不等于1)；
1
②log a b＝log b a，推行log a b·log b c·log c d＝log a d.
③log a a b＝b(a>0，且a≠1)
【典例1】（2019·山东高考模拟（文））设函数，则（）
A．9B．11C．13D．15
【答案】B
【分析】
∵函数，
∴=2+9=11．
应选：B．
【规律方法】
对数运算的一般思路
(1)拆：第一利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，而后利用对数运算性质化简合并．
(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，而后逆用对数的运算性质，转变为同底对数真数的积、商、幂的运算．
【变式1】【2018届安徽省宿州市第三次检测】已知，，，则
（）
A.-2
B.2
C.
D.
【答案】C
【分析】
由题意，设，
则，，，据此有：，
则：，即，
据此可得：或，
此中：，据此可得：，
则.
本题选择C选项.
知识点2．对数函数及其性质
(1)看法：函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，此中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>10<a<1
图象
定义域：
(0，＋∞)
值域：
R
当x＝1时，y＝0，即过定点
(1，0)
性质
当x>1时，y>0；当x>1时，y<0；
当0<x<1时，y<0
在(0，＋∞)上是增函数当0<x<1时，y>0
在(0，＋∞)上是减函数【典例2】（2019·北京高考模拟（理））若函数则函数f(x)的值域是（）
A．(,2)B．(,2]C．[0,)D．
【答案】A
【分析】
画出函数的图像以以下图所示，由图可知，函数的值域为,2，应选A.
【要点总结】
应用对数型函数的图象可求解的问题
(1)对一些可经过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转变为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
【变式2】（2019·江西高三高考模拟（文））已知函数，若，则实
数m的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】
A
【分析】
由函数的分析式可得函数为奇函数，绘制函数图像以以下图，
则不等式
即，即fm 0，
观察函数图像可得实数
m的取值范围是.
应选：
A.
考点1【典例
对数的化简、求值
3】（2019·北京高考真题（文））在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述
.两颗星的
星等与亮度满足，此中星等为m k的星的亮度为E k（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10–10.1
【答案】A
【分析】
两颗星的星等与亮度满足,令,
.
应选：A.
【易错提示】
(1)对数的运算性质以及有关公式都是在式子中全部的对数符号有意义的前提下才成立的，不可以出
现
log212
＝log
2[( －3)×(－4)] ＝log2(－3)＋log2(－4)的错误．
(2)利用换底公式将不一样底的对数式转变为同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
【变式3】则a＝，b＝.
【答案】4，2.
【分析】
设，由于，
所以
考点2对数函数的图象及应用
【典例4】（2019·四川省眉山第一中学高三月考（文）
）函数与在同向来角坐标系中的图象可能是（）
A． B ．C．D．
【答案】D
【分析】
关于A、B两图，，而ax2+bx=0的两根为0和，且两根之和为，由图知0＜＜1得-1＜＜0，矛盾，
关于C、D两图，0＜＜1，在C图中两根之和＜-1，即＞1矛盾，C错，D正确．
应选：D．
【总结提高】
ylog a x的底数变化，其图象拥有以下变化规律：（1）上下比较：在直线x 1的右边，a 1时，底大图
低（凑近x
轴）；
0 a 1
x轴）．（2）左右比较（比较图象与
y1
的交点）：交点横坐时，底大图高（凑近
标越大，对应的对数函数的底数越大.
【变式4】【2018届四川省南充市三诊】在同一坐标系中，函数与的图象都正确的选项是（）A.B.C.D.
【答案】A
【分析】
由于，.所以函数单调递减，消除B，D.
与的图象关于轴对称.消除A.
应选A.
考点3对数函数的性质及应用
【典例5】【2018年天津卷理】已知，，，则a，b，c的大小关系为
A.B.C.D.
【答案】D
【分析】
由题意结合对数函数的性质可知：
，，，
据此可得：.
本题选择D选项.
【总结提高】
比较对数式大小的种类及相应的方法
(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类
谈论．
(2)若底数不一样，真数同样，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．
(3)若底数与真数都不一样，则常借助1,0,-1等中间量进行比较．
【变式5】【2017天津，理6】已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)xf(x).若，b g(20.8)，
c g(3)，则a，b，c的大小关系为
（A）abc（B）cba（C）bac（D）bc a
【答案】C
【分析】由于f(x)是奇函数且在R上是增函数，所以在x0时，f(x)0，
从而是R上的偶函数，且在[0,)上是增函数，
，
20.8 2，又 4 5.1 8，则，所以即，
，
所以b a c，应选C．
【典例6】（2019·山东高考模拟（文））已知，若正实数a满足，则a 的取值范围为（）
A．a 3 3 4 4
B．0a 或a
4 3
3
D．a1
C．0a 或a1
4 【答案】C
【分析】
由于y e x1 与y4x 4
都是R上的增函数，
所以是R上的增函数，又由于
等价于log a
3
所以
1，
4
由1 log a a ，知
,
当0
a1时，y
log a x 在0, 上单调递减，故a
3
a
3
，从而0
；
4
4
当a 1时，
ylog a x 在0,
3 ，从而a 1，
上单调递加，故a
3
4
综上所述，
a 的取值范围是0 或a
1，应选C.
a
4
【技巧点拨】
解对数不等式的种类及方法
（1）形如log a x ＞log a b 的不等式，借助 y ＝log a x 的单调性求解，假如
a 的取值不确立，需分
a ＞1与0＜a
＜1两种状况谈论．
（2）形如log a x ＞b 的不等式，需先将 b 化为以a 为底的对数式的形式．
【变式
6】（2019·山东高考模拟（文））已知定义在R 上的函数f x 在区间[0，
上单调递加，且
的图象关于x1对称，若实数
a 满足
，则a 的取值范围是（
）
A ．0,
1
B ．1
,
C ．1
,4
D ．4,
4
4
4
【答案】C 【分析】
依据题意，
的图象关于x
1对称，则函数 fx 的图象关于y 轴对称，即函数
fx 为偶函
数，又由函数 fx
在区间[0，
上单调递加，
则
，
即
，解得：
1
a 4，
4
即a 的取值范围为
1
,4；
4
应选：C ．
考点4
对数函数的综合应用
【典例 7】(2019·宜春中学、新余四中联考 )已知函数f (x )＝
a －
x
＋4－2， ＜1，
ax
若f (x )的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )
1＋log 2x ，x ≥1，
A ．(1,2]
B ．(－∞，2]
C ．(0,2]
D ．[2，＋∞)
【答案】B
【分析】当x ≥1时，f (x )＝1＋log 2x ≥1，
当x ＜1时，f (x )＝(a －1)x ＋4－2a 一定是增函数，
1，才能满足f (x )的值域为R ，可得
a －1＞0， 且最大值大于或等于 解得a ∈(1,2]．
a －1＋4－2a ≥1，
【总结提高】
应用对数函数的图象和性质，解答与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性等问题，一定弄清三方 面的问题：一是定义域，全部问题都一定在定义域内谈论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．别的，解题时要注意数形结合、分类谈论、转变与化归思想的使用． 【变式7】【2018届河南省南阳市第一中学第十四次考】函数，则使得
成立的取值范围是（）
A.B.C.D. 【答案】B 【分析】
由题意知函数的定义域为， 当 时， ， ∴ 在 上单调递减，
∵ 是偶函数， ∴ 在
上单调递加． ∵
，
∴ ， 两边平方后化简得且，
解得或，
故使不等式成立的取值范围是．应选B．。