高等数学各章总结

第一章 函数
一、知识结构：
二、例题：
判断题
1. 设arcsin y u =,u 可以复合成一个函数2arcsin 2+=x y ；
2. 函数1
lg lg y x =的定义域是1x >且10x ≠；
3. 函数2
x y e -=在(0,)+∞内无界；
4. 函数21
1y x =+在(0,)+∞内无界；
5. 2
1()cos x f x x
-=是奇函数；
6. ()f x x =与2()g x =是相同函数 ；
7. 函数x y e =是奇函数；
8. y x =与y =是同一函数； 9. 函数31y x x =++是奇函数；
10. 函数1
arcsin 2x y -=的定义域是(1,3)- ；
11. y x =与 2
x y x
=不是同一个函数；
函数
集合
函数关系
实数集（区间） 集合的运算 （交、并、补）
实数集
（区间）
函数的表示
基本初等函数，初等函数
复合函数 分段函数 反函数 函数的性质
单调性
奇偶性
周期性
有界性
经济学常用函数
建立函数关系（应用问题）
12. 函数cos y x x =是偶函数 .
填空题
1. 设23,,tan ,u y u v v x ===则复合函数为()y f x == _________；
2. 设x
x f 1
)(=,x x g -=1)(,则)]([x g f = _______ ；
3. 复合函数2
(sin )x y e =是由 ________, ________, _______函数复合而成的；
4. 已知11
()1f x x =-,则 (2)f = __________ ；
5.
y =+其定义域为 __________ ；
6. 设函数2
()1
x f x x -=-,则(1)f -= __________；
7. 考虑奇偶性,函数ln(y x =为 ___________ 函数 ；
8. 函数2x y e =的反函数是 ,它的图象与2x y e =的图象关于________ 对称 .
选择题
1. 函数3
2
--=
x x y 的定义域是 ( ) (A) (2,)+∞ (B)[2,]+∞ (C)(,3)(3,)-∞+∞ (D)[2,3)(3,)+∞
2. 函数 22)1(-=x x y 在区间 (0,1) 内 ( )
(A) 单调增加 (B) 单调减少 (C) 不增不减 (D)有增有减 3. 下列函数中，是奇函数的是 ( )
(A)42y x x =- (B) 2y x x =- (C)22x x y -=- (D)22x x y -=+
4. 已知函数 20()10ax b
x f x x x +<⎧=⎨+≥⎩
，则(0)f 的值为 ( )
(A) a b + (B) b a - (C) 1 (D) 2
第二章 极限与连续
一、知识结构：
二、例题：
判断题
1. 函数在点0x 处有极限，则函数在0x 点极必连续；
2. 0x →时,x 与sin x 是等价无穷小量；
3. 若00(0)(0)f x f x -=+，则)(x f 必在0x 点连续；
4. 当0x →时，2sin x x +与x 相比是高阶无穷小；
5. 函数221y x =+在(,)-∞+∞内是单调的函数；
6. 设)(x f 在点0x 处连续，则00(0)(0)f x f x -=+ ；
7. 函数 2
1sin ,0
()0,
0x x f x x
x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在0x =点连续； 8. 1=x 是函数1
2
2--=x x y 的间断点；
9. ()sin f x x =是一个无穷小量；
10. 当0→x 时，x 与)1ln(2x +是等价的无穷小量； 11. 若 )(lim 0
x f x x → 存在，则)(x f 在0x 处有定义；
极限连续
极限 连续
极限的定极限的性数列极限 连续的定
一点处的连续 开区间上连续 闭区间上连续
闭区间连续函数的性质
有界性
最值性
介值性
零点定理
极限的计函数极限 唯一性 有界性 保号性
四则运算
夹逼准则 无穷小性质及等价无穷小代换
两个重要极限
连续函数的计算 连续函数的四则运
算 连续函数的复合
无穷小与无穷大及关系
由连续性求极限
初等函数的连续性
间断点及类型
12. 若x 与y 是同一过程下两个无穷大量，则x y -在该过程下是无穷小量； 13. 22--=x y 是一个复合函数；
14. 2
1
sin lim
0=+→x x x x ； 15. 11
,0,,0,,0,48
1数列收敛2；
16. 函数 1
sin y x x
= 在 0x = 点连续；
17. 0x =是函数ln(2)
x y x
-=的间断点；
18. 以零为极限的变量是无穷小量；
填空题
1. sin lim
x x
x
→∞= _______ ；
2. x
x x
x sin lim +∞→ = _______ ； 3. 函数 92
2-+=x x y 在 _______ 处间断；
4. 1
253lim 22
-+∞→n n n n = _______； 5. 当 0x → 时，1cos x - 是比 x ______ 阶的无穷小量；
6. 当 0x → 时， 若 sin 2x 与 ax 是等价无穷小量，则 a = ______；
7.
0)
lim sin x x x
+→= __________ ； 8. 设 sin 2,0(),
0x
x f x x a x ⎧≠⎪
=⎨⎪=⎩ 连续，则 a = _________ ；
9.
0h →=___________ ；
10. 2
lim(1)x x x
→∞-=________；
11. 0ln(13)
lim
sin 3x x x →+=
_________ ； 12. 设 21,0()0,
0x e x f x x -⎧⎪
≠=⎨⎪=⎩ 在 0x = 处________（是、否）连续；
13. 当0x →时
,2
3是______（同阶、等价）无穷小量.
选择题
1. 当0x →时，x
y 1
sin
= 为 ( ) (A) 无穷小量 (B) 无穷大量 (C)有界变量但不是无穷小量 (D)无界变量 2. 1x +→时，下列变量中为无穷大量的是 ( )
(A) 1
1
3-x (B) 112--x x (C) x 1 (D) 1
12--x x
3.
已知函数2,()1,f x x ⎧-⎪
=-⎨11001x x x ≤--<<≤<，则1
lim ()x f x →- 和 0lim ()x f x →( )
(A) 都存在 (B) 都不存在
(C) 第一个存在,第二个不存在 (D) 第一个不存在，第二个存在
4. 函数 ()12
x
f x ⎧⎪
=⎨⎪⎩ 11x x ≠= 的连续区间是 ( ) (A)(,1)-∞ (B)(1,)+∞ (C)(,1)(1,)-∞+∞ (D) (,)-∞+∞
5. 设 232,0
()2,0x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩
，则 0lim ()x f x +→= ( ) (A) 2 (B) 0 (C) 1- (D) 2-
7. 函数 1,0
()1,0
x f x x ≥⎧=⎨-<⎩ ，在 0x = 处 ( )
(A) 左连续 (B) 右连续 (C) 连续 (D) 左、右皆不连续
8. 02lim
5arcsin x x
x
→= ( ) (A) 0 (B) 不存在 (C) 2
5
(D) 1
9. ()f x 在点 0x x = 处有定义，是 ()f x 在 0x x =处连续的 ( )
(A) 必要条件 (B) 充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 无关条件 10. 下列极限存在的有 ( )
(A)2(1)lim x x x x →∞+ (B) 01lim 21x x →- (C) 1
0lim x
x e →
(D) x 计算与应用题
1. 设)(x f 在点2x =处连续，且232
,2,()2,2x x x f x x a x ⎧-+≠⎪
=-⎨⎪=⎩
，求 a .
2. 求极限:
(1)20cos 1lim 2x x x →- ; (2)121lim()21x x x x +→∞+-; (3)3721lim 5x x x x →∞-+-; (4)x
x x 1
0)41(lim -→ ;
(5)30(1cos )tan lim x x x x →-; (6)2111lim()222n n →∞+++ ; (7)22lim(1)n
n n
→∞-; (8)lim()1x x x x →∞+;
(9)lim x →- (10)
3131lim()11x x x →---. 3. 求极限:
(1)32202lim x x x x →- ; (2) 2202lim x x x x →-; (3)34
205lim x x x x x
→-+; (4) 3352011lim 20125x x x x →∞-+-; (5) 35112113114lim 2012115x x x x →∞-+-; (6) 53112113114
lim 2012115
x x x x →∞-+-; (7)01lim sin x x x →; (8) 1lim sin x x x →∞; (9) 01lim sin x x x →; (10) 11lim sin x x x →∞.
第三章 导数与微分
一、知识结构：
二、例题：
判断题
1. 若函数)(x f 在0x 点可导，则00()[()]f x f x ''=；
2. 若)(x f 在0x 处可导，则 )(lim 0
x f x x → 一定存在；
3. 函数 x x f =)( 在其定义域内可导；
4. 若 )(x f 在 [,]a b 上连续，则 )(x f 在 (,)a b 内一定可导；
5. ()(),()f x f x y e y e f x ''''==已知则；
6. 函数 22,1
()ln ,014
x x f x x x ⎧≥⎪
=⎨<<⎪⎩ 在 1x = 点可导；
7. 若 (),n f x x = 则 ()(0)!n f n = ；
8. 2d()2ax b ax += ；
9. 若 ()f x 在 0x 点不可导，则 ()f x 在 0x 不连续； 10. 函数 ()f x x x = 在点 0x = 处不可导 .
填空题
1. ()f x =则(0)f '= _________ ；
导数微分
导数
微分
导数的定义
左导数 微分的计算
基本微分公式
微分形式不变性 微分在近似计算中的应用
导数的计算极限的计算
右导数
基本公式
导数四则运算 隐函数导数（对数求导，参数方程求
导）
反函数求导 可微的定义
可微、可导及连续的关系 可微的几何意义
复合函数求导
导数的几何意义，切线方程 高阶导数
可导与连续的关
系
2. 曲线3y x =在点(1,1)处的切线方程是 ________ ；
3. 设ln e x e y x e x e =+++，则y '= ______ ；
4. sin(1)x y e =+ ,dy =_______ ；
5. 设222e x y x +=，则y ' = ________ ；
6. 设e x y n +=，则()n y = ________ ；
7. 曲线x e x y +=在点 (0,1) 的处的切线方程是_______；
8. 若)(x u 与)(x v 在x 处可导,则])
()
(['x v x u = _________ ；
9. sin ()x x '= _______；
10. 设)(x f 在0x 处可导,且A x f =')(0,则000(2)(3)
lim
h f x h f x h h
→+--= _______ ； 11. 导数的几何意义为 ________________________ ；
12.
曲线y =在(1,1)处的切线方程是 ___________ ；
13. 曲线31y x =+在(1,0)-处的切线方程是 ___________ ； 14. 函数32sin(1)y x x =+的微分dy =__________ ； 15. 曲线2y x =在点(0,0)处切线方程是_________ ； 16. sin y x =的n (n 是正整数)阶导数是 ________ .
选择题
1. 设)(x f 在点0x 处可导，则下列命题中正确的是 ( )
(A) 000()()lim x x f x f x x x →-- 存在 (B) 000
()()
lim x x f x f x x x →--不存在
(C) 00()()lim x x f x f x x →+-存在 (D) 00()()
lim x f x f x x
∆→-∆不存在
2. 设)(x f 在点0x 处可导且000
1
lim (2)()4x x f x x f x →=--，则0()f x '等于 ( )
(A) 4 (B) –4 (C) 2 (D) –2
3. 设21,10
()1
,02x x f x x ⎧+-<≤=⎨<≤⎩ ，则)(x f 在点x = 0处 ( )
(A) 可导 (B) 连续但不可导 (C) 不连续 (D) 无定义 4. 设()y f x =可导，则(2)()f x h f x --= ( )
(A)()()f x h o h '+ (B)2()()f x h o h '-+ (C)()()f x h o h '-+ (D)2()()f x h o h '+
5. 设(0)0f =,且0()lim x f x x →存在，则0()
lim
x f x x
→＝( ) (A) ()f x ' (B) (0)f ' (C) (0)f (D) 1
(0)2
f '
6. 函数)(x f e y =,则="y ( )
(A) )(x f e (B) )(")(x f e x f (C) 2)()]('[x f e x f (D) )}(")]('{[2)(x f x f e x f + 7. 函数 x x x f )1()(-=的导数为 ( )
(A)x x x )1(- (B)1)1(--x x (C)x x x ln (D))]1ln(1
[
)1(-+--x x x
x x
8. 函数)(x f 在0x x =处连续，是)(x f 在0x 处可导的 ( )
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 9. 已知ln y x x =，则(10)y =( )
(A) 91x - (B) 91x (C) 98!x (D) 98!
x
-
10. 函数x
x
x f =)(在0=x 处 ( )
(A) 连续但不可导 (B) 连续且可导 (C)极限存在但不连续 (D)不连续也不可导
11. 函数 1,0
()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩
，在 0x = 处 ( )
(A) 左连续 (B) 右连续 (C) 连续 (D) 左、右皆不连续 12. 设x x y e e -=+,则y ''=( )
(A) x x e e -+ (B) x x e e -- (C) x x e e --- (D) x x e e --+
13. 函数0,0
()1
,0x f x x x
≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ ,在点0x =不连续是因为 ( ) (A)(00)(0)f f +≠ (B)(00)(0)f f -≠ (C)(00)f +不存在 (D)(00)f -不存在
14. 设1
(2)1
f x x +=+ ，则()f x '=( )
(A) 21(1)x -- (B) 2
1
(1)
x -+ (C) 11x + (D) 11x -- 15. 已知函数2ln y x =,则dy =（ ）
(A) 2dx x (B) 2x (C) 21x (D) 21dx x
16. 设21cos ,0()0,
01
tan ,0x x x f x x x x x
⎧<⎪⎪
==⎨⎪⎪>⎩ ，则()f x 在0x =处（ ） (A)极限不存在 (B)极限存在，但不连续 (C)连续但不可导 (D)可导 17. 已知sin y x =，则(10)y = ( )
(A) sin x (B) cos x (C) sin x - (D) cos x - 计算与应用题
1. 设 f (x ) =x
a
a a x arccos 22-- (0a >), 求(2)f a '-. 2. 设ln()y xy =确定y 是x 的函数，求dx
dy
.
3. 设x
x y 1
cos 1ln +=，求dy .
4. 设21
(1)arctan cos 2
y x x x =++，求y '.
5.
设x y e y ln =确定y 是x 的函数，求dx
dy
.
6. 设)ln(ln x y =，求dy
7. 221
arcsin x y e x x
=+-y , 求y '及dy .
8. ln tan ln sin 2
x
y =+，求y '及dy .
9. sin()y x y =+，求y ',dy 并求其在点(,0)π处的切线与法线方程.
10. 221
cos 5ln x
x y -+=,求 y '及dy .
11. y e =y '及dy .
12. xy e y x -=，求y ',dy 并求其在点(0,1)处的切线与法线方程. 13. 已知2cos 3y x =，求y '. 14. 设22sin 0y x y --=， 求y '. 15. 求13cos x y e x -= 的微分.
16. 设ln(y x x =+，求y '. 17. 设cos2x y e = ，求dy .
18. 方程0y x e e xy -+=确定y 是x 的函数，求y '.
19. 设2
2arctan()1x
y x
=- ，求y '. 20. 方程2cos 0y y x e +=确定y 是x 的函数，求y '. 21. 3cos cos x y x x e =+，求dy . 22. ln y x x =，求y ''.
23. 已知 ln(y x =+，求y '.
24. 设 2011201220112011x x y x x =+++，求y '.
25. 已知()sin3f x x =，求()2
f π
''.
26. 求2x
e y x
=的微分.
27. 求由参数方程cos sin x a t y b t
=⎧⎨=⎩(a ,b 均为正实数)所确定函数的导数dy
dx .
28. 求由参数方程3cos sin x t t t y t t ⎧=+⎨=-⎩(a ,b 均为正实数)所确定函数的导数dy
dx .。