高考数学统考一轮复习 选修4-4 第一节 坐标系(教师文档)教案 文 北师大版

学习资料
选修4－4 坐标系与参数方程
选修4－4第一节坐标系
授课提示：对应学生用书第198页
[基础梳理］
1．坐标系
(1）坐标变换
设点P（x，y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:错误!的作
用下，点P（x，y）对应到点(λx，μy）,称φ为坐标系中的伸缩变
换．
（2）极坐标系
在平面内取一个定点O,叫作极点；自极点O引一条射线Ox，叫作
极轴;再选一个长度单位，一个角度单位（通常取弧度)及其正方向
(通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系．
设M是平面内任意一点，极点O与点M的距离｜OM|叫作点M的
极径，记为ρ；以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫作点
M的极角,记为θ，有序数对(ρ,θ)叫作点M的极坐标，记为M(ρ，
θ）．
2．直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x轴非负半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为（x,y）和（ρ,θ)，则错误!错误!
3
．常用简单曲线的极坐标方程
曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r
圆心为(r，0），半径为r的圆
ρ＝2r cos θ
错误!
圆心为错误!，半径为r的圆
ρ＝2r sin θ
（0≤θ<π）过极点，倾斜角为α的直线
θ＝α（ρ∈R)
或θ＝π＋
α(ρ∈R) 过点（a,0)，与极轴垂直的直线ρcos θ＝a
过点错误!，与极轴平行的直线ρsin θ＝a
1．明辨两个坐标
伸缩变换关系式错误!点（x ，y )在原曲线上，点（x ′,y ′）在变换后的曲线上，因此点（x ,y )的坐标满足原来的曲线方程，点(x ′,y ′）的坐标满足变换后的曲线方程． 2．极坐标方程与直角坐标方程互化
（1)公式代入：直角坐标方程化为极坐标方程公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简． (2）整体代换：极坐标方程化为直角坐标方程，变形构造形如ρcos θ,ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．
[四基自测]
1．(基础点:点的直角坐标化为极坐标）点P 的直角坐标为(1，－错误!），则点P 的极坐标为______．
答案：(2,－错误!）
2．(基础点：圆的极坐标方程）在极坐标系中，圆心在错误!且过极点的圆的方程为________．
答案：ρ＝－2 2 cos θ
3．(易错点：圆的极坐标方程的圆心和半径)已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋2错误!ρsin 错误!－4＝0，则圆C 的半径为________． 答案：错误!
授课提示：对应学生用书第199页
考点一 伸缩变换
［例］ （1）在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换错误!后,曲线C 变为曲线2x ′2＋8y ′2＝1，求曲线C 的方程．
[解析］ 把错误!代入曲线2x ′2＋8y ′2＝1，可得2（5x ）2＋8（3y )2＝1，化为50x 2＋72y 2＝1，即为曲线C 的方程．
（2)在同一直角坐标系中,求满足下列图形的伸缩变换：由曲线4x 2＋9y 2＝36变成曲线x ′2＋y ′2＝1。

［解析］ 法一：设变换为φ：错误!可将其代入x ′2＋y ′2＝1，得λ2x 2＋μ2y 2＝1. 将4x 2＋9y 2＝36变形为错误!＋错误!＝1， 比较系数得λ＝错误!，μ＝错误!.所以错误!
故将椭圆4x 2＋9y 2＝36上的所有点的横坐标变为原来的错误!，纵坐标变为原来的错误!,可得到圆x ′2＋y ′2＝1.
法二：利用配凑法将4x 2＋9y 2＝36化为错误!错误!＋错误!错误!＝1,与x ′2＋y ′2＝1对应项比较即可得错误!
故将椭圆4x 2＋9y 2＝36上的所有点的横坐标变为原来的错误!，纵坐标变为原来的错误!，可得到圆x ′2＋y ′2＝1.
[破题技法] 1.平面上的曲线y ＝f （x ）在变换φ：错误!的作用下的变换方程的求法是将
错误!代入y ＝f （x ），得错误!＝f 错误!,整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换之后的方程． 2．应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x ，y ）与变换后的坐标(x ′，y ′)．
1．（2020·池州模拟）求曲线x 2＋y 2＝1
经过φ：错误!变换后得到的新曲线的方程． 解析：曲线x 2＋y 2＝1经过φ：错误!变换后，即将错误!代入圆的方程, 可得错误!＋错误!＝1，
即所求新曲线方程为:错误!＋错误!＝1.
2．求正弦曲线y ＝sin x 按：φ：错误!变换后的函数解析式． 解析：设点P （x ，y )为正弦曲线y ＝sin x 上的任意一点， 在变换φ：错误!的作用下,点P （x ,y )对应到点P ′（x ′，y ′）． 即⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′，y ＝2y ′，代入y ＝sin x 得2y ′＝sin 3x ′, 所以y ′＝错误!sin 3x ′，即y ＝错误!sin 3x 为所求．
考点二求曲线的极坐标方程
［例](2019·高考全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M（ρ0，θ0)(ρ0〉0）在曲线C：ρ＝4sin θ上，直线l过点A（4，0）且与OM垂直,垂足为P.
(1)当θ0＝错误!时，求ρ0及l的极坐标方程；
（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．
［解析］（1）因为M(ρ0，θ0）在曲线C上,
当θ0＝错误!时,ρ0＝4sin 错误!＝2错误!。

由已知得|OP｜＝|OA｜cos 错误!＝2.
设Q（ρ,θ)为l上除P外的任意一点．
在Rt△OPQ中，ρcos错误!＝｜OP|＝2.
经检验,点P错误!在曲线ρcos错误!＝2上，所以,l的极坐标方程为ρcos错误!＝2.
（2）设P（ρ，θ），在Rt△OAP中，
｜OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ。

因为P在线段OM上，且AP⊥OM，
所以θ的取值范围是错误!.
所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈错误!.
［破题技法]1。

将θ0＝错误!代入ρ＝4sin θ求得ρ0。

由ρ0可求得｜OP|，从而求得l的极坐标方程．
2．设点P(ρ，θ）,用ρ,θ表示出Rt△AOP中的边角关系，从而求出P点轨迹的极坐标方程．(2019·高考全国卷Ⅲ）如图,在极坐标系Ox中，
A(2,0)，B错误!，C错误!，D(2,π），弧错误!，
错误!，错误!所在
圆的圆心分别是（1，0），错误!，(1,π)，曲线M1是弧
错误!，曲线M2是弧错误!，曲线M3是弧错误!。

（1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；
（2）曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，
且|OP｜＝错误!，求P的极坐标．
解析：（1)由题设可得，弧错误!，错误!，错误!所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ,ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ。

所以M1的极坐标方程为ρ＝2cos θ错误!,M2的极坐标方程为ρ＝2sin θ错误!,M3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ错误!。

（2）设P(ρ，θ），由题设及（1）知
若0≤θ≤错误!，则2cos θ＝错误!，解得θ＝错误!；
若错误!≤θ≤错误!，则2sin θ＝错误!,解得θ＝错误!或θ＝错误!；
若错误!≤θ≤π，则－2cos θ＝错误!，解得θ＝错误!.
综上，P的极坐标为错误!或错误!或错误!或错误!。

考点三极坐标与直角坐标的互化
[例]（2018·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k｜x|＋2。

以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0. (1）求C2的直角坐标方程；
(2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．
[解析](1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐标方程为（x＋1)2＋y2＝4.
（2)由（1)知C2是圆心为A(－1,0），半径为2的圆．
由题设知,C1是过点B(0，2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2。

由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．
当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2,所以错误!＝2，故k＝－错误!或k＝0。

经检验，当k＝0时,l1与C2没有公共点；
当k＝－错误!时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．
当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2,所以错误!＝2，故k＝0或k＝错误!.
经检验,当k＝0时,l1与C2没有公共点；
当k＝错误!时，l2与C2没有公共点．
综上，所求C1的方程为y＝－错误!｜x｜＋2.
［破题技法]极坐标方程与普通方程的互化技巧
（1）将极坐标方程两边同乘ρ或同时平方，将极坐标方程构造成含有ρcos θ,ρsin θ，ρ2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程．
（2)巧借两角和差公式，转化ρsin（θ±α)或ρcos（θ±α）的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程．
(3）将直角坐标方程中的x转化为ρcos θ，将y换成ρsin θ,即可得到其极坐标方程．
在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为错误!（t为参数，a>0）．在以坐标原点为极点,x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.
(1）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程;
(2）直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
解析：(1)消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2。

C1是以(0,1）为圆心，a为半径的圆．
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0。

(2）曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组
错误!
若ρ≠0,由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0,
由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0,
从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1。

a＝1时,极点也为C1，C2的公共点,在C3上．
所以a＝1。

考点四极坐标方程的应用
[例］在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.
(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上，且满足｜OM｜·｜OP｜＝16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
(2)设点A的极坐标为错误!，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
[解析](1）设P的极坐标为（ρ，θ)(ρ〉0），M的极坐标为(ρ1，θ）(ρ1〉0）．
由题设知｜OP|＝ρ，｜OM｜＝ρ1＝4
cos θ.
由|OM|·｜OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ（ρ>0)．因此C2的直角坐标方程为(x－2）2＋y2＝4（x≠0)．
(2)设点B的极坐标为（ρB，α）(ρB>0）．
由题设知｜OA｜＝2,ρB＝4cos α,于是△OAB的面积
S＝错误!｜OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·|sin错误!|＝2｜sin错误!－错误!|≤2＋错误!。

当α＝－错误!时,S取得最大值2＋错误!.
所以△OAB面积的最大值为2＋错误!。

[破题技法]1。

涉及圆的极坐标方程的解决方法
方法一：先把涉及的直线或圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再根据直角坐标系中的相关知识进行求解；
方法二：直接利用极坐标的相关知识进行求解，其关键是将已知条件表示成ρ和θ之间的关
系．这一过程需要用到解三角形的知识，并需要掌握直线和圆的极坐标方程． 2．判断位置关系和求最值问题的方法
(1)已知极坐标方程讨论位置关系时，可以先化为直角坐标方程,化陌生为熟悉再进行解答． (2）已知极坐标方程解答最值问题时，通常可转化为三角函数模型求最值问题，比直角坐标系中求最值的运算量小．
（2020·山西太原模拟)点P 是曲线C 1:(x －2)2＋y 2＝4上的动点,以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心,将点P 逆时针旋转90°得到点Q ，设点Q 的轨迹为曲线C 2。

（1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；
(2)射线θ＝π
3
(ρ＞0）与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点,定点M (2,0)，求△MAB 的面积．
解析:(1)由曲线C 1的直角坐标方程(x －2)2＋y 2＝4可得曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ. 设Q (ρ，θ)，则P 错误!， 则有ρ＝4cos 错误!＝4sin θ。

所以曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ.
(2）M 到射线θ＝错误!(ρ＞0)的距离d ＝2sin 错误!＝错误!, ｜AB |＝ρB －ρA ＝4错误!＝2（错误!－1）,
则S △MAB ＝错误!｜AB ｜×d ＝错误!×2(错误!－1)×错误!＝3－错误!。