九年级数学上册21.2二次函数的图象和性质21.2.1二次函数y=ax2的图象和性质同步练习

21.2.1 二次函数y ＝ax 2的图象和性质
知识点 1 二次函数y ＝ax 2
的图象画法
1．请你帮小明完成用描点法画函数y ＝4x 2
图象的有关步骤： 列表：
图21－2－1
知识点 2 二次函数y ＝ax 2
的图象特征与有关概念 2．关于二次函数y ＝－23
x 2
的描述错误的是( )
A ．它的图象关于y 轴对称
B ．该抛物线开口向下
C ．原点是该抛物线上的最高点
D ．当x 为任意实数时，函数值y 总是负数
3．若抛物线y ＝(6－a )x 2
的开口向上，则a 的取值范围是( ) A ．a >6 B ．a <6 C ．a >0 D ．a <0 4．已知二次函数y ＝53x 2与y ＝－53x 2
，下列说法错误的是( )
A ．它们的图象都关于y 轴对称
B ．它们的图象的顶点相同
C ．二次函数y ＝53x 2的图象都在二次函数y ＝－53x 2
的图象上方
D ．二次函数y ＝53x 2与y ＝－53
x 2
的图象关于x 轴对称
5．若二次函数y ＝ax 2
的图象过点P (－2，4)，则该图象必经过点( )
A ．(2，4)
B ．(－2，－4)
C ．(－4，2)
D ．(4，－2)
6．(1)在同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2，y ＝12x 2，y ＝－2x 2
与y ＝－12x 2的图
象．
(2)观察(1)中所画的图象，回答下列问题：
①由图象可知抛物线y ＝2x 2
与抛物线________的形状相同，且关于________轴对称；同
样，抛物线y ＝12
x 2
与抛物线________的形状相同，也关于________轴对称；
②当|a |相同时，抛物线开口大小________；当|a |变大时，抛物线的开口变________(填“大”或“小”)；当|a |变小时，抛物线的开口变________(填“大”或“小”)．
知识点 3 二次函数y ＝ax 2
的性质
7．二次函数y ＝14x 2
不具有的性质是( )
A ．函数图象的开口向上
B ．图象关于y 轴对称
C ．y 随x 的增大而增大
D ．函数的最小值是0
8．抛物线y ＝－3x 2
的顶点坐标是________，该抛物线上有A (2，y 1)，B (12
，y 2)两点，则
y 1________y 2(填“>”“<”或“＝”)．
9．已知二次函数y ＝ax 2
的图象经过点A (－1，－12)，则这个二次函数的表达式为
________，当x ________时，函数y 随x 的增大而增大．
10．如图21－2－2，在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝12x 2和函数y ＝－12x 2
的图象，
已知坐标原点O 为正方形ABCD 对角线的交点，且正方形的边分别与x 轴、y 轴平行，如果点
D 的坐标为(2，2)，那么阴影部分的面积为( )
A ．4
B ．8
C ．12
D ．16
图21－2－2
11．若A (－14，y 1)，B (－1，y 2)，C (12
，y 3)为二次函数y ＝－x 2
的图象上的三点，则y 1，
y 2，y 3的大小关系是( )
A ．y 1＜y 2＜y 3
B ．y 3＜y 2＜y 1
C．y2＜y3＜y1 D．y2＜y1＜y3
12．当ab＞0时，二次函数y＝ax2与y＝ax＋b的图象大致是( )
图21－2－3
13．若对任意实数x，二次函数y＝(a＋1)x2的值总是非负数，则a的取值范围是________．14．已知二次函数y＝ax2的图象经过点(2，－8)．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)说出函数在x取什么值时，有最大值还是最小值，最大值或最小值是多少；
(3)当x为何值时，函数y随x的增大而减小？
15．如图21－2－4所示，直线l经过点A(4，0)，B(0，4)，它与抛物线y＝ax2在第一象限内相交于点P，且△AOP的面积为4.
(1)求直线AB的函数表达式和点P的坐标；
(2)求a的值．
图21－2－4
16．如图21－2－5①，一次函数y＝kx＋b的图象与二次函数y＝x2的图象相交于A，B 两点，点A，B的横坐标分别为m，n(m<0，n>0)．
(1)当m＝－1，n＝4时，k＝______，b＝______；
当m＝－2，n＝3时，k＝______，b＝______；
(2)根据(1)中的结果，用含m，n的代数式分别表示k与b，并证明你的结论；
(3)利用(2)中的结论，解答下列问题：
如图②，直线AB与x轴，y轴分别交于点C，D，点A关于y轴的对称点为点E，连接AO，OE，ED.
①当四边形AOED为菱形时，m与n满足的关系式为____________；
②当四边形AOED为正方形时，m＝________，n＝____________．
图21－2－5
1．解：列表：
描点并连线如图：
2．D
3．B [解析] 因为抛物线的开口向上，所以6－a>0，解得a<6.故选B .
4．C [解析] 函数y ＝53x 2与y ＝－53
x 2
都是关于y 轴对称的抛物线，顶点都是原点，故
A ，
B 选项正确．由于它们的图象大小和形状都相同，开口方向相反，所以它们的图象关于x
轴对称，故D 选项正确．
5．A [解析] 二次函数y ＝ax 2
的图象是轴对称图形，且对称轴是y 轴，观察各选项可知，点(2，4)和点(－2，4)关于y 轴对称，故点(2，4)也在该函数的图象上．故选A .
6．解：(1)略．
(2)①y＝－2x 2
x y ＝－12x 2 x
②相同 小 大
7．C [解析] 二次函数y ＝14x 2
，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大；当x ＜0时，y 随x
的增大而减小．
8．(0，0) ＜ [解析] 抛物线y ＝ax 2
的顶点坐标是(0，0)，比较函数值可以代入计算，也可以利用函数的性质：抛物线开口向下，在对称轴的右边，y 随x 的增大而减小，所以y 1＜y 2.
9．y ＝－12x 2
＜0
10． B
[解析] 由二次函数图象的对称性可知阴影部分的面积为正方形面积的一半，即1
2×4×4
＝8.
11． C
[解析] 由二次项系数的正负性就可以知道抛物线的增减性，如果所给的点没有在对称轴的同一侧，那么可以利用抛物线的对称性，找到这个点的对称点，然后根据增减性再进行判断．因为－1＜0，所以当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，又由抛物线的对称性知，y 3的值等于x ＝－12时的函数值．因为0>－14>－1
2
>－1，所以y 2＜y 3＜y 1.故选C .
12．D [解析] ∵ab＞0，∴a ，b 同号．当a ＞0，b ＞0时，抛物线开口向上，直线过第一、二、三象限，没有符合题意的选项；当a ＜0，b ＜0时，抛物线开口向下，直线过第二、三、四象限．故D 选项符合题意．
13． a>－1
14．解：(1)把x ＝2，y ＝－8代入y ＝ax 2
，
得－8＝22
·a ，解得a ＝－2，
∴二次函数的表达式为y ＝－2x 2
.
(2)由于a ＝－2，故抛物线的顶点为最高点， ∴当x ＝0时，函数有最大值，最大值为0.
(3)由于抛物线开口向下，在对称轴的右边，即x ＞0时，函数y 随x 的增大而减小．
15．解：(1)设直线AB 的函数表达式为y ＝kx ＋b(k≠0)．根据题意，得⎩⎪⎨
⎪
⎧b ＝4，4k ＋b ＝0，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝－1，
b ＝4，
∴直线AB 的函数表达式为y ＝－x ＋4. 过点P 作PC⊥OA 于点C. 由题意，得1
2
×4·PC＝4，
∴PC ＝2.
把y ＝2代入y ＝－x ＋4，得2＝－x ＋4， ∴x ＝2，
∴点P 的坐标为(2，2)．
(2)将点P(2，2)代入y ＝ax 2
，得4a ＝2， ∴a ＝12
.
16．解：(1)当m ＝－1时，可求得纵坐标y ＝1；当n ＝4时，可求得纵坐标y ＝16，即点A 的坐标为(－1，1)，点B 的坐标为(4，16)．
把点A 、点B 的坐标代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝1，4k ＋b ＝16，解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝3，b ＝4. 当m ＝－2时，可求得纵坐标y ＝4；当n ＝3时，可得纵坐标y ＝9，即点A 的坐标为(－2，
4)，点B 的坐标为(3，9)．
把点A 、点B 的坐标代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝4，
3k ＋b ＝9，
解得⎩
⎪⎨⎪
⎧k ＝1，b ＝6.
故答案为3，4，1，6.
(2)k ＝m ＋n ，b ＝－mn.证明如下：
设点A 的坐标为(m ，m 2)，点B 的坐标为(n ，n 2
)．
把点A 、点B 的坐标代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧mk ＋b ＝m 2
，
nk ＋b ＝n 2
， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝m ＋n ，
b ＝－mn.
(3)由题意，得点D(0，－mn)，点A(m ，m 2
)．
①当四边形AOED 为菱形时，有－mn ＝2m 2
，则n ＝－2m.故答案为n ＝－2m.
②当四边形AOED 为正方形时，有⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－2m ，
－mn ＝－2m ，
解得⎩
⎪⎨⎪
⎧m ＝－1，n ＝2.故答案为－1，2.。