高考数学一轮总复习 第四章 平面向量 第1讲 平面向量

(3)(2015 年新课标Ⅰ)设 D 为△ABC 所在平面内一点B→C＝
3C→D，则( )
A.A→D＝－13A→B＋43A→C
B.A→D＝13A→B－43A→C
C.A→D＝43A→B＋13A→C
D.A→D＝43A→B－13A→C
解析：由题知A→D＝A→C＋C→D＝A→C＋13B→C＝A→C＋13(A→C－A→B)
求实数λ与向 量a的积的运 算
三角形法则
(1)|λa|＝____|λ_||_a_| _ (2)当λ>0时，λa的方向 与a的方向相同；当 λ<0时，λa的方向与a 的方向相反；当λ＝0 时，λa＝______0__
a－b＝a＋(－b)
λ(μa)＝__λ_μ_a_； (λ＋μ)a＝λa＋μa ； λ(a＋b)＝ _λ_a_＋__λ_b____
C.B→C
D．0
4．如图 4-1-1，在正六边形 ABCDEF 中，B→A＋C→D＋E→F＝ ( D)
A．0 C.A→D
图 4-1-1 B.B→E D.C→F
考点 1 平面向量的基本概念 例 1：给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则 a＝b； ②若 A，B，C，D 是不共线的四点，则A→B＝D→C是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若 a＝b，b＝c，则 a＝c； ④若 a∥b，b∥c，则 a∥c. 其中正确命题的序号是( ) A．②③ B．②④ C．③④ D．②③④
考点 2 平面向量的线性运算
例 2：(1)在△ABC 中，AB 边的高为 CD，若C→B＝a，C→A＝
b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则A→D＝( )
A.13a－13b
B.23a－23b
C.35a－35b
D.45a－45b
解析：(1)∵a·b＝0，∴∠ACB＝90°，∴AB＝
5，CD＝2
记作a＝b
2．向量的线性运算
向量 运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和 的运算
三角形法则 平行四边形法则
(1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c ＝a＋(b＋c)
(续表)
向量 运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
减法 数乘
求a与b的相反 向量－b的和 的运算叫做a 与b的差
2011 年新课标卷第 13 题 考查平面向量的垂直运 算、单位向量等；
2014 年新课标卷Ⅰ第 6 题考查向量的加法及线 性运算；
2015 年新课标卷Ⅰ第 2 题考查向量的加法及线 性运算
从近几年的高考试题看，向量 的线性运算、共线问题是高考 的热点，尤其是向量的线性运 算出现的频率最高，多以选择 题、填空题的形式出现，属中 低档题目．
解析：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不 一定相同．②正确．∵A→B＝D→C，∴|A→B|＝|D→C|且 AB∥DC，又 A， B，C，D 是不共线的四点，∴四边形 ABCD 为平行四边形；反 之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则|A→B|＝|D→C|，AB∥DC 且 A→B，D→C方向相同，因此，A→B＝D→C.③正确．∵a＝b，∴a，b 的长度相等且方向相同，又 b＝c，∴b，c 的长度相等且方向相 同．∴a，c 的长度相等且方向相同，故 a＝c.④不正确．当 b＝ 0 时，a，c 可能不平行．综上所述，正确命题的序号是②③.
5
5 .
∴BD＝ 55，AD＝4 5 5.∴AD∶BD＝4∶1.∴A→D＝45A→B＝45(C→B－
C→A)＝45a－45b.
答案：D
(2)(2013 年四川)如图 4-1-2，在平行四边形 ABCD 中，对角 线AC与BD交图 4-1-2 解析：因为ABCD为平行四边形，所以A→B＋A→D＝A→C＝2A→O， 已知A→B＋A→D＝λAO→，故λ＝2. 答案：2
第四章 平面向量
第1讲 平面向量及其线性运算
考纲要求
考点分布
考情风向标
1.平面向量的实际背景及基 本概念．
(1)了解向量的实际背景． (2)理解平面向量的概念，理 解两个向量相等的含义．
(3)理解向量的几何表示． 2.向量的线性运算． (1)掌握向量的加法、减法的 运算，并理解其几何意义．
(2) 掌握向量数乘的运算及 其意义，理解两个向量共线 的含义．
3．共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ， 使得 b＝λa.
1．在四边形 ABCD 中，若A→C＝A→B＋A→D，则四边形 ABCD
一定是( D ) A．矩形 C．正方形
B．菱形 D．平行四边形
解析：依题意得A→B＋B→C＝A→B＋A→D，B→C＝A→D，因此 BC∥
答案：A
【规律方法】(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也 具有传递性.(2) 共线向量即为平行向量，它们均与起点无关. (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时， 不要把它与函数图象的平移混为一谈.(4)非零向量 a 与 a 的关
|a|
系： a 是与 a 同方向的单位向量. |a|
既有大小又有方向的量；向量的大 小叫做向量的长度(或称模)
零向量 长度为零的向量；其方向是任意的
备注
平面向量是自由向 量
记作0
单位向量
共线向量 (平行向量) 相等向量
长度等于1个单位的向量
方向相同或相反的非零向量 长度相等且方向相同的向量
非零向量a的单位 向量为± a
|a|
零向量与任一向量 平行或共线
＝－13A→B＋43A→C.故选 A.
答案：A
AD，且 BC＝AD，四边形 ABCD 是平行四边形．故选 D.
2．已知 ABCD 为平行四边形，若向量A→B＝a，A→C＝b，则 向量B→C为( C )
A．a－b
B．a＋b
C．b－a
D．－a－b
解析：B→C＝A→C－A→B＝b－a.
3．化简A→C－B→D＋C→D－A→B得( D )
A.A→B
B.D→A
预计 2017 年高考仍将以向量 的线性运算、向量的基本概念 为主要考点，也可与向量加、 减的三角形法则和平行四边 形法则交汇命题． 透彻理解平面向量的有关概 念及运算是学好本节的基础，
(3) 了解向量线性运算的性
因此复习时应注意运用概念
质及其几何意义
分析和求解相关问题
1．向量的有关概念
名称
定义
向量