3.4.2简单线性规划 教案(高中数学必修五北师大版)

4．2简单线性规划
●三维目标
1．知识与技能
使学生了解二元一次不等式(组)表示平面区域、了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行域、最优解等概念，了解线性规划问题的图解法，并能应用解决实际问题．
2．过程与方法
经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题，提高数学建模能力．
3．情感、态度与价值观
培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透化归、数形结合的数学思想，提高解决实际问题的能力．
●重点难点
重点：求解简单的线性规划问题．
难点：准确求得线性规划问题的最优解．
●教学建议
教材通过求z＝2x＋y的最值来讲解了线性规划问题．在处理z＝2x＋y的最值时可以通过以下两种途径：
(1)把直线2x＋y＝0向上或向下平移，观察对应z的量值随之增大或减小来确定最大、最小值．
(2)把z＝2x＋y变形为y＝－2x＋z即化成直线的斜截式形式．这样变形的目的是赋予目标函数z以几何直观及几何含义，来观察截距z的最大值、最小值即可．
●教学流程
创设问题情境，提出问题
⇒通过引导学生回答问题，了解目标函数、可行域等线性规划的概念⇒通过例1及互动探究，让学生掌握求线性目标函数的最值⇒通过例2及变式训练，使学生掌握求非线性目标函数的最值⇒通过例3及变式训练，使学生掌握含参数的线性规划问题⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正
(对应学生用书第65页)
图3－4－5
已知不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，
x ＋y ＋1≥0，x ≤3
表示的平面区域如图3－4－5所示．
1．在平面区域中，点A 、B 、C 的坐标分别是什么？
【提示】 由⎩⎨⎧x －y ＋5＝0x ＋y ＋1＝0
得B (－3，2)；由⎩⎨⎧x －y ＋5＝0x ＝3
得A (3，8)； 由⎩⎨⎧x ＝3x ＋y ＋1＝0
得C (3，－4)． 2．对于函数z ＝2x －y ，当直线2x －y －z ＝0经过A 、B 、C 三点时，z 的值分别为多少？
【提示】 直线经过A (3，8)时，z 的值为2×3－8＝－2；直线经过B (－3，
2)时，z 的值为2×(－3)－2＝－8；直线经过C (3，－4)时，z 的值为2×3－(－
4)＝10.
3．当直线2x －y －z ＝0经过平面区域时，z 的取值范围是什么？
变化规律
把直线l 0：ax ＋by ＝0向上平移时，所对应的z 随之增大；把直线l 0：ax ＋by ＝0向下平移时，所对应的z 随之减小．
(对应学生用书第65页)
设z ＝2x ＋y ，式中变量x ，y 满足条件⎩⎨⎧3x ＋5y ≤25，x ≥1，求z 的最大值和最小值． 【思路探究】 画出可行域―→作出直线2x ＋y ＝0
―→平行移动直线―→求最值
【自主解答】 画出可行域如图所示．
令z ＝0，作直线l 0：2x ＋y ＝0，把直线l 0向上平移时，所对应的z ＝2x ＋y 的函数值随之增大；把直线l 0向下平移时，所对应的z ＝2x ＋y 的函数值随之减小．
解方程组⎩⎨⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0
得A 点坐标为(5，2)， 解方程组⎩⎨⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0
得B 点坐标为(1，1)， 所以z max ＝2×5＋2＝12，z min ＝2×1＋1＝3.
1．将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解．
2．当线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时，最优解可能有无数个．
在本例的线性约束条件下，求z ＝2x －3y 的最大值和最小值．
【解】 作出可行域，如图
由图可知，当直线经过可行域上点A 时，z 最大；当直线经过可行域上点C
时，z 最小．
解方程组⎩⎨⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0，
得C 点坐标为(1，225)． 所以z max ＝2×5－3×2＝4，
z min ＝2×1－3×225＝－565.。