山东省泰安市肥城市2019年中考数学二模考试试卷

山东省泰安市肥城市2019年中考数学二模考试试卷
一、选择题（共12题；共24分）
1.2019的相反数的倒数是（）
A. B. C. -2019 D. 2019
2.“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行，最新统计数据显示，中国每年浪费食物总量折合粮食大约是210000000人一年的口粮．将210000000用科学记数法表示为（）
A. 2.1×109
B. 0.21×109
C. 2.1×108
D. 21×107
3.下列图形中，可以由其中一个图形通过平移得到的是（）
A. B. C. D.
4.下列运算正确的是（）
A. B. C. D.
5.某校四个环保小组一天收集废纸的数量分别为：10，x，9，8，（单位千克）已知这组数据的众数与平均数相等，则这组数据的中位数是（）
A. 8.5
B. 9
C. 9.5
D. 8
6.下图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为（）
A. 4cm
B. 5cm
C.
D.
7.数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（）
A. 勾股定理
B. 直径所对的圆周角是直角
C. 勾股定理的逆定理
D. 90°的圆周角所对的弦是直径
8.关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（）
A. ﹣＜a≤﹣
B. ﹣≤a＜﹣
C. ﹣≤a≤﹣
D. ﹣＜a＜﹣
9.一辆慢车与一辆快车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车在途中相遇后分别按原速同时驶往甲地，两车之间的距离S（km）与慢车行驶时间t（h）之间的函数图象如图所示，下列说法：
①甲、乙两地之间的距离为560km；②快车速度是慢车速度的1.5倍；③快车到达甲地时，慢车距离甲地60km；④相遇时，快车距甲地320km；其中正确的个数是（）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
10.如图，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y= 的图象相交于A（2，3），B（6，1）两点，当k1x+b ＜时，x的取值范围为（）
A. x＜2
B. 2＜x＜6
C. x＞6
D. 0＜x＜2或x＞6
11.如图，，射线和互相垂直，点是上的一个动点，点在射线上，
，作并截取，连结并延长交射线于点．设
，则关于的函数解析式是（）
A. B. C. D.
12.如图所示为二次函数的图象，在下列结论
① ；② 时，随的增大而增大；③ ；④方程的根是
；中正确的个数有（）个．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题（共6题；共8分）
13.________．
14.己知如图，平分，当，且
时，的度数为________．
15.如图，在正方形中，对角线与相交于点，为上一点，，为
的中点．若的周长为18，则的长为________．
16.如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为和若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为________米结果保留根号．
17.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点
处，当△为直角三角形时，BE的长为________.
18.如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，．．．按这样的运动规律，经过2019次运动后，动点
的坐标为________．
三、计算题（共1题；共5分）
19.先化简，再求值：，其中．
四、综合题（共6题；共85分）
20.如图，在平面直角坐标中，点是坐标原点，一次函数与反比例函数的图象交于两点．
（1）求的值．
（2）根据图象写出当时，的取值范围．
（3）若一次函数图象与轴、轴分别交于点，则求出的面积．
21.随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷(每人必选且只选一种)，在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次统计共抽查了多少名学生?在扇形统计图中，表示" "的扇形圆心角的度数是多少；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生大约有多少名?
（4）某天甲、乙两名同学都想从“微信"、" "、“电话"三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．
22.如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．
（1）求证：△AEC≌△ADB；
（2）若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．
23.某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求．商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．
（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？
（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于25%（不考虑其它因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？
24.如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为
，顶点C的坐标为．
（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；
（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；
（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使中BD边上的高为？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．
25.等腰直角和等腰直角分别在直线上．
（1）如图所示，分别在线段上，若，求证：．
（2）若分别在线段外(还在直线上)，根据题意，画出图形，那么(1)的结论是否依然成立，若成立，写出证明过程；若不成立，说明原因；
（3）如图，若，求证：．
答案解析部分
一、选择题
1.【答案】B
【解析】【解答】解：2019的相反数的倒数是
故答案为：B．
【分析】根据相反数的定义和倒数的定义即可得出结论．
2.【答案】C
【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数。

确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同。

当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数。

【解答】将210000000用科学记数法表示为：2.1×108．
故选：C．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法。

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值。

3.【答案】B
【解析】【解答】解：由其中一个图形平移得到整个图形的是B，
故答案为：B．
【分析】根据平移的定义直接判断即可．
4.【答案】A
【解析】【解答】A．，故本选项符合题意；B．，故本选项不符合题意；
C．，故本选项不符合题意；
D．和不是同类.不能合并，故本选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据乘法分配律、单项式乘单项式法则、积的乘方和同类项的定义逐一判断即可．
5.【答案】B
【解析】【解答】解：∵这组数据的众数与平均数相等，
∴=x，
解得：x=9，
∴这组数据为10，9，9，8，
则这组数据的中位数是=9.
故答案为：B.
【分析】先求出众数为x,利用这组数据的众数与平均数相等，建立等量，求出x值后，再求出中位数即可.
6.【答案】C
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AB=
由折叠可知：BD=AD，AE=AB=5
∴CD=8-AD
在Rt△ADC中，AC2+CD2=AD2，即62+（8-AD）2=AD2
解得 AD=
同理可得DE=.
故答案为：C
【分析】设AD为x.先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB，然后由轴对称的性质可得BD=AD，
AE=AB=5，进而得CD=8-AD；进而在Rt△ADC中利用勾股定理列方程求出AD，最后在Rt△ADE中利用勾股定理即可求出DE。

7.【答案】B
【解析】【解答】由作图痕迹可以看出O为AB的中点，以O为圆心，AB为直径作圆，然后以B为圆心BC=a为半径花弧与圆O交于一点C，故∠ACB是直径所对的圆周角，所以这种作法中判断∠ACB是直角的依据是：直径所对的圆心角是直角．故选：B
【分析】由作图痕迹可以看出AB是直径，∠ACB是直径所对的圆周角，即可作出判断．
8.【答案】B
【解析】【解答】解：由（1）得x＞8；
由（2）得x＜2-4a；
其解集为8＜x＜2-4a，
因不等式组有四个整数解，为9，10，11，12，则
，
解得，.
故答案为：B.
【分析】将a作为常数，分别解出不等式组中每一个不等式的解集，根据该不等式组恰有4个整数解列出关于a的不等式组，求解即可.
9.【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可得出：甲乙两地之间的距离为560千米，故①符合题意；
由题意可得出：慢车和快车经过4个小时后相遇，出发后两车之间的距离开始增大知直到快车到达甲地后两车之间的距离开始缩小，由图分析可知快车经过3个小时后到达甲地，此段路程慢车需要行驶4小时，因此慢车和快车的速度之比为3：4，故②不符合题意；
∴设慢车速度为3xkm/h，快车速度为4xkm/h，
∴（3x+4x）×4=560，x=20，
∴快车的速度是80km/h，慢车的速度是60km/h．由题意可得出：快车和慢车相遇地离甲地的距离为
4×60=240km，故④不符合题意，
当慢车行驶了7小时后，快车已到达甲地，此时两车之间的距离为240﹣3×60=60km，
故③符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据函数图象直接得出甲乙两地之间的距离；慢车和快车经过4个小时相遇，得出慢车往返分别用了4小时，慢车行驶4小时的距离，快车3小时即可行驶完，据此可求出两车速度的比；进而设慢车速度为3xkm/h，快车速度为4xkm/h，然后由相遇问题中的等量关系列出方程(3x+4x)×4=560，可得x，从而得出快车的速度和慢车的速度；快车和慢车相遇地离甲地的距离，当慢车行驶了7小时后，快车已到达甲地，可求出此时两车之间的距离即可．
10.【答案】D
【解析】【解答】由图象可知，当k1x+b＜时，x的取值范围为0＜x＜2或x＞6．
故答案为：D
【分析】求不等式k1x+b＜的解集，就是求一次函数的函数值小于反比例函数的函数值时对应的自变量的取值，从图像上看，就是找出一次函数的图像在反比例函数的图像在下方时相应的自变量的取值，注意反比例函数不与坐标轴相交这一限制条件。

11.【答案】A
【解析】【解答】解：过点F作FG⊥BC于点G
∵AB⊥BM，，
∴∠B=∠EGF=∠DEF=90°
∴∠BDE＋∠DEB=90°，∠GEF＋∠DEB=90°
∴∠BDE=∠GEF
在△BDE和△GEF中
∴△BDE≌△GEF
∴BD=GE，BE=FG=x
∵
∴DB=2x
∴GE=2x
∴CG=BC－BE－GE=y－3x
∵∠FGC =∠B=90°，∠FCG=∠ACB
∴△FCG∽△ACB
∴
即
整理，得
故答案为：A．
【分析】过点F作FG⊥BC于点G，利用AAS证出△BDE≌△GEF，从而得出BD=GE，BE=FG=x，然后根据相似三角形的判定定理证出△FCG∽△ACB，列出比例式即可得出结论．
12.【答案】C
【解析】【解答】解：由图象可知：抛物线的开口向上，与y轴的交于负半轴
∴a＞0，c＜0
∴，故①符合题意；
∵抛物线与x轴的交点为（-1,0）和（3,0）
∴抛物线的对称轴为直线x= ，方程的根是，故④符合题
意；
∴当时，随的增大而增大，故②符合题意；
∵当x=1时，y＜0，
∴，故③不符合题意．
综上：正确的有3个
故答案为：C．
【分析】根据抛物线的开口方向和与y轴的交点即可判断a和c的符号，从而判断①；再根据抛物线与x 轴的交点坐标，结合抛物线的对称性即可求出抛物线的对称轴，从而判断②和④；根据当x=1时，y＜0，将x=1代入解析式中即可判断③．
二、填空题
13.【答案】
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】根据二次根式的乘法公式和合并同类二次根式法则计算即可．
14.【答案】度
【解析】【解答】解：由，设∠ADC=3x，∠CDE=2x
∵
∴∠ABC=∠DCE，
∵
∴∠ABC=∠DCE=∠ADC=3x
∴AD∥BE
∴∠DAE=∠AEB
∵AE平分，
∴∠DAE=∠BAE
∴∠AEB=∠BAE= （180°－∠B）=90°－
在△DCE中，∠DCE＋∠CDE＋∠CED=180°
即3x＋2x＋（90－＋60）=180
解得x=
∴=90°－＋60°= 度
故答案为：度．
【分析】设∠ADC=3x，∠CDE=2x，根据平行线的性质和已知条件可得∠ABC=∠DCE=∠ADC=3x，再根据平行线的判定可得AD∥BE，根据平行线的性质、角平分线的定义和三角形内角和定理可求∠AEB，最后根据三角形的内角和定理列出方程即可求出结论．
15.【答案】
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，，．
在中，为的中点，
∴．
∵的周长为18，，
∴，
∴．
在中，根据勾股定理，得，
∴，
∴．
在中，∵，为的中点，
又∵为的中位线，
∴．
故答案为：.
【分析】先根据直角三角形的性质求出DE的长，再由勾股定理得出CD的长，进而可得出BE的长，由三角形中位线定理即可得出结论．
16.【答案】
【解析】【解答】由于，
，，
在中，，
米，
在，，
米，
米，
故答案为：.
【分析】，了解俯角的定义，又根据平行线的性质，所以得∠CAH=45°，∠CBH=30°。

已知CH 的高度，特殊角三角函数进行计算，即可得HA、HB的长度，从而得出AB的宽度。

17.【答案】3或
【解析】【解答】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示.
连结AC，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴AC= =5，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB=EB′，AB=AB′=3，
∴CB′=5-3=2，
设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2=CE2，
∴x2+22=（4-x）2，解得，
∴BE= ；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示.
此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=3.
综上所述，BE的长为或3.
故答案为：或3.
【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示.
连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x.
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示.此时A BEB′为正方形.
18.【答案】(2019，2)
【解析】【解答】解：由坐标可知：动点的横坐标变化为：1、2、3、4……
∴经过2019次运动后，动点的横坐标为2019
动点的纵坐标变化为：1、0、2、0、1、0、2、0……每4个数字一循环
2019÷4=504 (3)
∴经过2019次运动后，动点的纵坐标为2
∴经过2019次运动后，动点的坐标为(2019，2)
故答案为：(2019，2)．
【分析】先找出点的横坐标的变化规律即可求出经过2019次运动后，动点的横坐标，然后找出点的纵坐标的变化规律即可求出结论．
三、计算题
19.【答案】解：
=
=
=
=
当时
原式=
【解析】【分析】根据分式的各个运算法则化简，然后代入求值即可．
四、综合题
20.【答案】（1）解：把两点的坐标代入，得，
则．
把代入
得；
（2）解：∵，
∴由函数图象可知，时，x的取值范围是；
（3）解：连接OA，过点A作AD⊥x轴于D
一次函数的图象与轴交于点，
∴即
∵，
∴AD=3
∴的面积=
【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标代入一次函数解析式中即可求出m和n，再将点B的坐标代入反比例函数解析式中即可求出k的值；（2）根据点A、B的坐标和图象即可得出结论；（3）连接OA，过点A作AD⊥x轴于D，先求出点N的坐标，从而求出ON，然后根据点A的坐标即可求出AD，最后根据三角形的面积公式计算即可．
21.【答案】（1）解：调查总人数为20÷20%=100人
表示" "的扇形圆心角的度数是30÷100×360°=108°
（2）解：喜欢用“短信”沟通的人数为：100×5%=5人，
喜欢用“微信”沟通的人数为：100-20-5-30-5=40人，
补充条形统计图，如图所示：
（3）解：喜欢用“微信”沟通所占百分比为：
∴该校共有1500名学生，估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有：
人．
答：该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有600人．
（4）解：列出树状图，如图所示，
共有9种等可能的结果，其中两人恰好选中同一种沟通方式共有3种情况，
所以甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为：
【解析】【分析】（1）利用喜欢“电话”沟通的人数除以其所占调查总人数的百分率即可求出调查总人数，然后求出喜欢“QQ” 沟通的人数占调查总人数的百分率，再乘360°即可求出结论；（2）用调查总人数×喜欢“短信”沟通的人数所占百分率即可求出喜欢“短信”沟通的人数，然后用调查总人数减去其余“电话”、“短信”、“QQ”和“其它”沟通的人数即可求出喜欢用“微信”沟通的人数，最后补全条形统计图即可；（3）先求
出喜欢用“微信”沟通的人数占调查总人数的百分率，再乘1500即可；（4）根据题意，画出树状图，然后根据概率公式计算即可．
22.【答案】（1）证明：由旋转的性质得：△ABC≌△ADE，且AB＝AC，
∴AE＝AD，AC＝AB，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，即∠CAE＝∠DAB，
在△AEC和△ADB中，
，
∴△AEC≌△ADB（SAS）；
（2）解：∵四边形ADFC是菱形，且∠BAC＝45°，
∴∠DBA＝∠BAC＝45°，
由（1）得：AB＝AD，
∴∠DBA＝∠BDA＝45°，
∴△ABD为直角边为2的等腰直角三角形，
∴BD2＝2AB2，即BD＝2 ，
∴AD＝DF＝FC＝AC＝AB＝2，
∴BF＝BD﹣DF＝2 ﹣2．
【解析】【分析】（1）由旋转的性质得到三角形ABC与三角形ADE全等，以及AB＝AC，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到两对边相等，一对角相等，利用SAS得到三角形AEC与三角形ADB全等即可；（2）根据∠BAC＝45°，四边形ADFC是菱形，得到∠DBA＝∠BAC＝45°，再由AB＝AD，得到三角形ABD 为等腰直角三角形，求出BD的长，由BD﹣DF求出BF的长即可．
23.【答案】（1）解：设该商家购进的第一批衬衫是件，则第二批衬衫是件.
由题意可得：，解得，经检验是原方程的根.
（2）解：设每件衬衫的标价至少是元.
由（1）得第一批的进价为：（元/件），第二批的进价为：（元）
由题意可得：
解得：，所以，，即每件衬衫的标价至少是150元.
【解析】【分析】（1）设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫可设为2x件，由已知可得，，这种衬衫贵10元，列出方程求解即可.（2）设每件衬衫的标价至少为a元，由（1）可得出第一批和第二批的进价，从而求出利润表达式，然后列不等式解答即可.
24.【答案】（1）解：∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4），
∴可设抛物线解析式为y=a（x-1）2+4，
∵点B（3，0）在该抛物线的图象上，
∴0=a（3-1）2+4，解得a=-1，
∴抛物线解析式为y=-（x-1）2+4，即y=-x2+2x+3，
∵点D在y轴上，令x=0可得y=3，
∴D点坐标为（0，3），
∴可设直线BD解析式为y=kx+3，
把B点坐标代入可得3k+3=0，解得k=-1，
∴直线BD解析式为y=-x+3；
（2）解：设P点横坐标为m（m＞0），则P（m，-m+3），M（m，-m2+2m+3），
∴PM=-m2+2m+3-（-m+3）=-m2+3m=-（m- ）2+ ，
∴当m= 时，PM有最大值；
（3）解：如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，
设Q（x，-x2+2x+3），则G（x，-x+3），
∴QG=|-x2+2x+3-（-x+3）|=|-x2+3x|，
∵△BOD是等腰直角三角形，
∴∠DBO=45°，
∴∠HGQ=∠BGE=45°，
当△BDQ中BD边上的高为2 时，即QH=HG=2 ，
∴QG= ×2 =4，
∴|-x2+3x|=4，
当-x2+3x=4时，△=9-16＜0，方程无实数根，
当-x2+3x=-4时，解得x=-1或x=4，
∴Q（-1，0）或（4，-5），
综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（-1，0）或（4，-5）．
【解析】【分析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线BD解析式；（2）设出P点坐标，从而可表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）过Q作QG∥y轴，交BD于点G，过Q和QH⊥BD于H，可设出Q点
坐标，表示出QG的长度，由条件可证得△DHG为等腰直角三角形，则可得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点坐标．
25.【答案】（1）证明：延长，交的延长线于，连接．
，
，
又，
，
∵等腰直角和等腰直角
，
，
为等腰直角三角形，
，
又，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
而，
，
（2）解：成立，证明如下
第一种情况：如图所示
延长，交的延长线于，连接；
由(1)可得：，，，
显然是的垂直平分线，
，且；
，
，
第二种情况：
易证显然是的垂直平分线，
，
即，
而，∠7=∠8，
，
，
，
（3）证明：延长，交的延长线于，连接．
由(1)可得是的垂直平分线，
，
∴
而，
，
又，
而，
，
，
．
【解析】【分析】（1）延长，交的延长线于，连接，先证出△BHC为等腰直角三角形，然后证出BC是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得，然后根据等边对等角和等角对等边证出HM=MN，即可证出结论；（2）根据题意，分点M在CB的延长线和点M在BC的延长线两种情况讨论，分别画出对应的图形，根据垂直平分线的性质、等边对等角和等角对等边分别证明即可；（3）延长，交的延长线于，连接，由(1)可得是的垂直平分线，然后根据等边对等角和等量代换即可证出，从而证出结论．。