2016-2017学年高中数学必修5章末综合测评2 含解析

章末综合测评（二）解三角形
(时间120分钟，满分150分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2016·南昌高二检测)已知△ABC中，a＝错误!，b＝错误!，B ＝60°,那么A等于（）
A．135°B．120°
C．60°D．45°
【解析】由正弦定理错误!＝错误!得错误!＝错误!，
可得sin A＝错误!,
又∵a＝错误!＜错误!＝b，
∴A＜B,A＝45°。

【答案】D
2．在△ABC中，若sin A＝错误!，a＝10，则边长c的取值范围是( ）
A。

错误!B．（10,＋∞）
C．（0,10) D．错误!
【解析】由正弦定理错误!＝错误!得c＝错误!·sin C＝错误!·sin C，又sin C∈（0,1],所以c∈错误!.
【答案】D
3．如图1，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的( ）
图1
A．北偏东10°B．北偏西10°
C．南偏东80°D．南偏西80°
【解析】由条件及图可知，A＝B＝40°，又∠BCD＝60°,所以∠CBD＝30°,所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°。

【答案】D
4．（2016·西安高二检测）在△ABC中,A,B,C的对边分别为a，b,c,若（a2＋c2－b2）tan B＝ac，则B的值是( ）
A.错误!B．错误!
C。

错误!或错误!D．错误!或错误!
【解析】由余弦定理得a2＋c2－b2＝2ac cos B。

∴2ac cos B·tan B＝ac,
∴sin B＝错误!，
∴B＝错误!或错误!。

【答案】D
5．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A∶B ＝1∶2，a∶b＝1∶错误!，则角A等于（）
A．45°B．30°
C．60°D．75°
【解析】由正弦定理得错误!＝错误!,
∵A∶B＝1∶2,a∶b＝1∶错误!，
∴错误!＝错误!＝错误!，
∴cos A＝错误!，
即A＝30°。

【答案】B
6．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b,c，若a sin A sin B＋b cos2A＝错误!a，则错误!等于( )
A．2错误!B．2错误!
C.错误!D．错误!
【解析】∵a sin A sin B＋b cos2A＝错误!a，
∴sin2A sin B＋sin B cos2A＝错误!sin A，
sin B＝错误!sin A,∴b＝错误!a，∴错误!＝错误!。

【答案】D
7．在△ABC中,内角A，B,C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝错误!bc,sin C＝2错误!sin B，则A＝（)
A．30°B．60°
C．120°D．150°
【解析】由sin C＝2错误!sin B及正弦定理，
得c＝2错误!b，
∴a2－b2＝错误!bc＝6b2，即a2＝7b2.
由余弦定理，cos A＝错误!＝错误!
＝错误!＝错误!,
又0°＜A＜180°，∴A＝30°。

【答案】A
8．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为错误!，则错误!等于（) A．3错误!B．错误!
C。

错误!D．错误!
【解析】∵错误!＝2R，
∴由S△ABC＝错误!bc sin A知
错误!＝错误!×1×c×sin 60°，
∴c＝4。

又由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，
得a＝错误!.故2R＝错误!＝错误!。

【答案】B
9．在△ABC中，∠ABC＝错误!，AB＝错误!，BC＝3，则sin∠BAC ＝( ）
A。

错误!B．错误!
C.错误!D．错误!
【解析】由余弦定理可得AC2＝9＋2－2×3×错误!×错误!＝5，所以AC＝5，再由正弦定理得错误!＝错误!，
所以sin∠BAC＝错误!＝错误!＝错误!。

【答案】C
10．如图2所示，一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为（)
图2
A。

错误!海里/小时B．34错误!海里/小时
C 。

错误!海里/小时
D ．34错误!海里/小时
【解析】 由题意知PM ＝68,∠MPN ＝120°，N ＝45°，
由正弦定理知错误!＝错误!,∴MN ＝68×错误!×错误!＝34错误!,
∴速度为错误!＝错误!海里/小时．
【答案】 A
11．在斜三角形ABC 中,sin A ＝－错误!cos B ·cos C ,且tan B ·tan C ＝1－错误!，则角A 的值为( )
A 。

错误!
B ．错误!
C 。

错误!
D ．错误!
【解析】 由题意知，sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin （B ＋C ） ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，
∴－错误!cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，
在等式两端同除以cos B ·cos C 得
tan B ＋tan C ＝－2，
tan(B ＋C ）＝错误!＝错误!＝－1＝－tan A ,
∴tan A ＝1，即A ＝π4。

【答案】 A
12．如图3所示，在△ABC 中,已知A ∶B ＝1∶2，角C 的平分
线CD把三角形面积分为3∶2两部分，则cos A等于（）【导学号：67940050】
图3
A.错误!B．错误!
C.3
4
D．0
【解析】在△ABC中，设∠ACD＝∠BCD＝β，∠CAB＝α，由A∶B＝1∶2
得∠ABC＝2α,∵A＜B，∴AC＞BC,
∴S△ACD＞S△BCD，∴S△ACD∶S△BCD＝3∶2,
∴错误!＝错误!，∴错误!＝错误!.
由正弦定理得错误!＝错误!，错误!＝错误!，
∴错误!＝错误!＝2cos α，∴cos α＝错误!，
即cos A＝错误!。

【答案】C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分．将答案填在题中的横线上)
13．（2015·福建高考）若锐角△ABC的面积为10错误!，且AB ＝5,AC＝8，则BC等于________．
【解析】由正弦定理,得S＝错误!×AB×AC×sin A＝10错误!，∴sin A＝错误!＝错误!。

∵A∈错误!，∴A＝错误!。

由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos A＝25＋64－2×5×8×cos 错误!＝49,∴BC＝7。

【答案】7
14．(2015·北京高考)在△ABC中,a＝4，b＝5,c＝6，则错误!＝________。

【解析】由正弦定理得错误!＝错误!，由余弦定理得
cos A＝错误!，∵a＝4，b＝5，c＝6,
∴错误!＝错误!＝2·错误!·cos A＝2×错误!×错误!＝1。

【答案】1
15．（2015·天津高考)在△ABC中，内角A,B，C所对的边分别为a,b，c。

已知△ABC的面积为315，b－c＝2，cos A＝－错误!，则a的值为________．
【解析】在△ABC中,由cos A＝－1
4
可得sin A＝错误!,
所以有错误!解得错误!
【答案】8
16．（2015·南通调研)已知等腰三角形腰上的中线长为3,则该三角形的面积的最大值是________．
【解析】如图，设AB＝AC＝2x，
则在△ABD中，
由余弦定理，
得3＝x2＋4x2－4x2cos A，
所以cos A＝错误!.
所以sin A＝错误!
＝错误!，
所以S△ABC＝错误!（2x)2sin A
＝错误!错误!。

故当x2＝错误!时，
（S△ABC)max＝错误!错误!
＝错误!错误!＝2。

【答案】2
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，
证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分)（2015·全国卷Ⅱ）△ABC中,D是BC 上的点,AD平分∠BAC,BD＝2DC.
（1)求错误!；
（2)若∠BAC＝60°，求∠B.
【解】(1）由正弦定理,得
错误!＝错误!，错误!＝错误!。

因为AD平分∠BAC，BD＝2DC,
所以错误!＝错误!＝错误!。

(2）因为∠C＝180°－（∠BAC＋∠B），∠BAC＝60°,
所以sin C＝sin(∠BAC＋∠B）＝错误!cos B＋错误!sin B.
由（1)知2sin B＝sin C，所以tan B＝错误!,
所以∠B＝30°。

18．(本小题满分12分）（2015·安徽高考)在△ABC中,∠A＝错误!，AB＝6，AC＝3错误!，点D在BC边上，AD＝BD,求AD的长．【解】设△ABC的内角∠BAC,B，C所对边的长分别是a，b，c，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos ∠BAC＝(3错误!)2＋62－2×3错误!×6×cos 错误!＝18＋36－（－36)＝90，
所以a＝3错误!。

又由正弦定理得sin B＝错误!＝错误!＝错误!,
由题设知0〈B<错误!，
所以cos B＝错误!＝错误!＝错误!。

在△ABD中，因为AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD,所以∠ADB ＝π－2B，故由正弦定理得AD＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!。

19．(本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b,c，且满足cos错误!＝错误!,错误!·错误!＝3。

（1)求△ABC的面积;
（2）若b＋c＝6，求a的值．
【解】（1)∵cos 错误!＝错误!，
∴cos A＝2cos2错误!－1＝错误!，sin A＝错误!.
又由错误!·错误!＝3，
得bc cos A＝3，∴bc＝5,
∴S△ABC＝错误!bc sin A＝2.
(2)∵bc＝5,又b＋c＝6.
∴b＝5,c＝1或b＝1，c＝5，
由余弦定理,得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝20，
∴a＝2错误!.
20．(本小题满分12分）在△ABC中，已知2a cos B＝c，sin A sin B（2－cos C)＝sin2错误!＋错误!，试判断△ABC的形状．
【解】依题意得2sin A cos B＝sin C＝sin（A＋B)，2sin A cos B －sin（A＋B）＝sin（A－B)＝0，因此B＝A，C＝π－2A，于是有sin2A （2＋cos 2A）＝cos2A＋错误!，即sin2A(3－2sin2A）＝1－sin2A＋错误!＝A＝错误!，因此sin A＝错误!，又B＝A必为锐角,因此B 错误!，解得sin2
＝A＝错误!，△ABC是等腰直角三角形．
21．(本小题满分12分）甲船在A处遇险，在甲船西南10海里B处的乙船收到甲船的求救信号后，测得甲船正沿着北偏西15°的方向，以每小时9海里的速度向某岛靠近．如果乙船要在40分钟内追上甲船，问乙船应以多大速度、向何方向航行?错误!. 【导学号：67940051】
【解】设乙船速度为v海里/时，
在△ABC中,由余弦定理可知
BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠CAB，
2＝错误!2＋102－2×错误!×9×10×cos 120°,
错误!
∴v＝21海里/时．
又由正弦定理可知错误!＝错误!，
∴sin B＝错误!＝错误!×sin 120°＝错误!，
∴B≈21°47′,
即乙船应按北偏东45°－21°47′＝23°13′的方向航行．
22．（本小题满分12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知错误!＝错误!。

（1）求错误!的值；
（2)若cos B＝错误!，b＝2,求△ABC的面积S。

【解】（1）由正弦定理，设错误!＝错误!＝错误!＝k,
则错误!＝错误!＝错误!，
所以错误!＝错误!,
即（cos A－2cos C）sin B＝（2sin C－sin A）cos B,
化简可得sin（A＋B）＝2sin（B＋C）．
又A＋B＋C＝π,
所以sin C＝2sin A，
因此错误!＝2。

（2)由错误!＝2得c＝2a。

由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B及cos B＝错误!,b＝2，
得4＝a2＋4a2－4a2×错误!，
解得a ＝1，
从而c ＝2.
又因为cos B ＝错误!,且0＜B ＜π。

所以sin B ＝错误!，
因此S ＝12
ac sin B ＝错误!×1×2×错误!＝错误!。