2.3 确定二次函数的表达式

2.3 确定二次函数的表达式
学习目标:
经历三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系和各自不同点；掌握变量之间的二次函数关系，解决二次函数所表示的问题；掌握根据二次函数不同的表达方式，从不同的侧面对函数性质进行研究．
学习重点:
能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数进行研究．函数的综合题目，往往是三种方式的综合应用，由三种不同方式，都能把握函数性质，才会正确解题．学习难点:
用三种方式表示二次函数的实际问题时，忽略自变量的取值范围是常见的错
误．
学习过程:
一、做一做：
已知矩形周长20cm,并设它的一边长为xcm,面积为ycm2，y随x的而变化的
规律是什么？你能分别用函数表达式，表格和图象表示出来吗？比较三种表示方式,你能得出什么结论?与同伴交流.
二、试一试：
两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那么它们的积y是如何随x的变化而变化的? ？你能分别用函数表达式,表格和图象表示这种变化吗?
三、积累：
表示方法优点缺点
解析法
表格法
图像法
三者关系
【例1】已知函数y=x2＋bx＋1的图象经过点（3，2）．
（1）求这个函数的表达式；
（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；
（3）当x＞0时，求使y≥2的x的取值范围．
【例2】一次函数y=2x＋3，与二次函数y=ax2＋bx＋c的图象交于A（m，5）和B （3，n）两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象；
（3）从图象上观察，x为何值时，一次函数与二次函数的值都随x的增大而增大．（4）当x为何值时，一次函数值大于二次函数值？
【例3】行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑动一段距离才停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过
130km/h），对这种汽车进行测试，测得数据如下表：
刹车时车速（km/h）010203040506070刹车距离（m）01．12．43．95．67．59．611．9（1）以车速为x轴，刹车距离为y轴，在下面的方格图中建立坐标系，描出这些数据所表示的点，并用平滑曲线连接这些点，得到函数的大致图象；
（2）观察图象，估计该函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数表达式；
（3）该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现测得刹车距离为26．4m，问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶，请说明理由．
【例4】某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图①中的一条折线表示，西红柿的种植成本与上市时间关系用图②中的抛物线表示．（1）写出图①中表示的市场售价与时间的函数表达式P=f（t），写出图②中表示的种植成本与时间函数表达式Q=g（t）；
（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天）
五、随堂练习：
1．已知函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象，如图①所示，则下列关系式中成立的是（ ）
A ．0＜－a b 2＜1
B ．0＜－a b 2＜2
C ．1＜－a b 2＜2
D ．－a b 2=1
图① 图②
2．抛物线y=ax 2＋bx ＋c （c ≠0）如图②所示，回答：
（1）这个二次函数的表达式是；
（2）当x=时，y=3；
（3）根据图象回答：当x 时，y ＞0．
3．已知抛物线y=－x 2＋（6－2k ）x ＋2k －1与y 轴的交点位于（0，5）上方，则k 的取值范围是．
六、课后练习
1．若抛物线y=ax 2＋b 不经过第三、四象限，则抛物线y=ax 2＋bx ＋c （ ）
A ．开口向上，对称轴是y 轴
B ．开口向下，对称轴是y 轴
C ．开口向上，对称轴平行于y 轴
D ．开口向下，对称轴平行于y 轴
2．二次函数y=－x 2＋bx ＋c 图象的最高点是（－1，－3），则b 、c 的值是（ ）
A ．b=2，c=4
B ．b=2，c=4
C ．b=－2，c=4
D ．b=－2，c=－4．
3．二次函数y= ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①c ＜0；②b ＞0；③4a ＋2b ＋c ＞0；④（a ＋c ）2＜b 2．其中正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4．两个数的和为8，则这两个数的积最大可以为，若设其中一个数为x ，积为y ，则y 与x 的函数表达式为．
5．一根长为100m 的铁丝围成一个矩形的框子，要想使铁丝框的面积最大，边长分别为．
6．若两个数的差为3，若其中较大的数为x ，则它们的积y 与x 的函数表达式为
，它有最值，即当x=时，y=．
7．边长为12cm 的正方形铁片，中间剪去一个边长为x 的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y （cm 2）与x （cm ）之间的函数表达式为．
8．等边三角形的边长2x 与面积y 之间的函数表达式为．
9．抛物线y=x 2＋kx －2k 通过一个定点，这个定点的坐标为．
10．已知抛物线y=x 2＋x ＋b 2经过点（a ，－1/4）和（－a ，y 1），则y 1的值是
．
11．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．图中二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S （万元）与销售时间t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和S 与t 之间的关系）．
根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S （万元）与时间t （月）之间的函数表
达式；
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；
（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？。