新人教版初中数学八年级数学上册第一单元《三角形》测试卷(含答案解析)(1)

一、选择题
1．如图，//,40,50,AB CD B C ∠=︒∠=︒则E ∠的度数为（ ）
A ．70︒
B ．80︒
C ．90︒
D ．100︒ 2．下列四组线段中，不可以构成三角形的是（ ）
A ．4，5，6
B ．1.5，2，2.5
C ．13，14，15
D ．1，2，3 3．已知两条线段15cm a =，8cm b =，下列线段能和a ，b 首尾相接组成三角形的是（ ）
A ．20cm
B ．7cm
C ．5cm
D ．2cm 4．用若干根等长的小木棍搭建等边三角形（三边相等的三角形），搭建1个等边三角形最少需要3根小木棍，搭建2个等边三角形最少需要5根小木棍，搭建4个等边三角形最少需要小木棍的根数是（ ）
A ．12
B ．10
C ．9
D ．6
5．下列命题是真命题的个数为（ ）
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．
②三角形的内角和是180°．
③在同一平面内平行于同一条直线的两条直线平行．
④相等的角是对顶角．
⑤两点之间，线段最短．
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 6．如图，ABC 中，将A ∠沿D
E 翻折，若30A ∠=︒，25BDA '∠=︒，则CEA '∠多
少度（ ）
A ．60°
B ．75°
C ．85°
D ．90° 7．下列长度的线段能组成三角形的是（ ） A ．2，3，5
B ．4，6，11
C ．5，8，10
D ．4，8，4 8．若一个三角形的三个内角的度数之比为11:13:24，那么这个三角形是（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等边三角形
9．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，不能组成三角形的是（ ）
A ．4、5、6
B ．3、4、5
C ．2、3、4
D ．1、2、3 10．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A ．3，5，6 B ．3，2，1 C ．2，2，4 D ．3，6，10 11．如图，小明从点A 出发沿直线前进9米到达点,B 向左转45后又沿直线前进9米到达点C ，再向左转45后沿直线前进9米到达点D ……照这样走下去，小明第一次回到出发点A 时所走的路程为（ ）
A ．72米
B ．80米
C ．100米
D ．64米
12．如图，王师傅用六根木条钉成一个六边形木框，要使它不变形，至少还要再钉上________根木条（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
二、填空题
13．如图，点D 在ABC 的边BA 的延长线上，点E 在BC 边上，连接DE 交AC 于点F ，若3117DFC B ∠∠==︒，C D ∠=∠，则BED ∠=________．
14．如图，C 为∠AOB 的边OA 上一点，过点C 作CD ∥OB 交∠AOB 的平分线OE 于点F ，作CH ⊥OB 交BO 的延长线于点H ，若∠EFD ＝α，现有以下结论：①∠COF ＝α；②∠AOH ＝180°﹣2α；③CH ⊥CD ；④∠OCH ＝2α﹣90°．其中正确的是__（填序号）．
15．如图，飞机P 在目标A 的正上方，飞行员测得目标B 的俯角为30°，那么APB ∠的度数为______°．
16．多边形每一个内角都等于90︒，则从此多边形一个顶点出发的对角线有____条． 17．已知//AB CD ，点P 是平面内一点，若30,20BPD PBA ∠=︒∠=︒，则
CDP ∠=___________度．
18．如图，把正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，若
150,222∠=︒∠=︒，则3∠=_______．
19．如图，P 为正五边形ABCDE 的边AE 上一点，过点P 作PQ //BC ，交DE 于点Q ，则
∠EPQ 的度数为_____．
20．一个三角形的三个内角度数之比为2:3:5，那这个三角形一定是三角形__________．
三、解答题
21．△ABC 中，三个内角的平分线交于点O ，过点O 作OD ⊥OB ，交边BC 于点D ． （1）如图1，猜想∠AOC 与∠ODC 的关系，并说明你的理由；
（2）如图2，作∠ABC 外角∠ABE 的平分线交CO 的延长线于点F ．
①求证：BF ∥OD ；
②若∠F ＝35°，求∠BAC 的度数．
22．如图，在ABC ∆中，48,A CE ∠=︒是ACB ∠的平分线， B C D 、、在同一直线上，,40.BEC BFD D ∠=∠∠=︒
（1）求BCE ∠的度数；
（2）求B 的度数．
23．如图①，ABC 中，BD 平分ABC ∠，且与ABC 的外角ACE ∠的角平分线交于点D ．
（1）若75ABC ∠=︒，45ACB ∠=︒，求D ∠的度数；
（2）若把A ∠截去，得到四边形MNCB ，如图②，猜想D ∠、M ∠、N ∠的关系，并
24．若a ，b ，c 是ABC 的三边的长，化简|a ﹣b ﹣c|+|b ﹣c ﹣a|+|c+a ﹣b|． 25．如图BC 平分∠ABE ，DC 平分∠ADE ，求证：∠E+∠A=2∠C
26．如图，ABC 中，AD 是高，,AE BF 是角平分线，它们相交于点
,80O CAB ∠=︒，60C ∠=°，求DAE ∠和BOA ∠的度数．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据平行线的性质求出140∠=︒，根据三角形内角和定理计算，得到答案．
【详解】
解：∵//AB CD ，40B ∠=︒，50C ∠=︒，
∴140B ∠=∠=︒，
∴ 1801180405090E C ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．
故选：C
本题考查的是平行线的性质、三角形内角和定理，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．
2．D
解析：D
【分析】
计算较小两边的和，与最大的边比较，大于最大的边时三角形存在，依此判断即可.
【详解】
∵4+5＞6，
∴能构成三角形；
∵1.5+2＞2.5，
∴能构成三角形；
∵1
4+
1
5
＞
1
3
，
∴能构成三角形；
∵
＜1+2=3，
∴不能构成三角形；
故选D.
【点睛】
本题考查了已知线段长判断三角形的存在，熟记三角形存在的条件是解题的关键.
3．A
解析：A
【分析】
根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断．
【详解】
A、15+8=23>20，能组成三角形，符合题意；
B、7+8=15，不能组成三角形，不合题意；
C、5+8=13<15，不能组成三角形，不合题意；
D、2+8=10＜15，不能组成三角形，不合题意．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．但通常不需一一验证，其简便方法是将较短两边之和与较长边比较．
4．D
解析：D
【分析】
要先根据题意，画出图形，通过对图形观察，思考，得出需要小木棍的根数，然后图形对比，选出最少需要小木棍的根数．
图1没有共用部分，要6根小木棍，
图2有共用部分，可以减少小木棍根数，
仿照图2得到图3，要7根小木棍，
同法搭建的图4，要9根小木棍，
如按图5摆放，外围大的等边三角形，可以得到5个等边三角形，要9根小木棍，
如按图6摆成三棱锥(西面体)就可以得到4个等边三角形，
∴搭建4个等边三角形最少需要小木棍6根．
故选：D
【点睛】
此题考查的是组成图形的边的条数，解答此题需要灵活利用立体空间思维解答．
5．B
解析：B
【分析】
首先判断所给命题的真假，再选出正确的选项．
【详解】
解：∵两条直线被第三条直线所截，两直线平行，内错角相等，
∴①错误；
∵三角形的内角和是180°，∴②正确；
∵在同一平面内平行于同一条直线的两条直线平行，∴③正确；
∵相等的角可以是对顶角，也可以是内错角、同位角等等，∴④错误；
∵连接两点的所有连线中，线段最短，∴⑤正确；
∴真命题为②③⑤，
故选B ．
【点睛】
本题考查命题的真假判断，根据所学知识判断一个命题条件成立的情况下，结论是否一定成立来判断命题是真命题还是假命题是解题关键．
6．C
解析：C
【分析】
根据折叠前后对应角相等可得ADE A DE '∠=∠，AED A ED '∠=∠，再运用平角的定义和三角形内角和定理依次求得ADE ∠、AED ∠，再次运用平角的定义即可求得CEA '∠．
【详解】
解：∵将A ∠沿DE 翻折，
∴ADE A DE '∠=∠，AED A ED '∠=∠，
∵D 是线段AB 上的点，25BDA '∠=︒，
∴180ADE A D B E DA '∠+∠-'∠=︒，即251280ADE ︒=∠-︒，
解得102.5ADE ∠=︒，
∵30A ∠=︒，180A AED ADE ∠+∠+∠=︒，
∴180180102.53047.5AED ADE A ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，
∴18018047.547.585CEA AED A ED ''∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．
故选：C ．
【点睛】
本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，平角的定义．理解折叠前后对应角相等是解题关键．
7．C
解析：C
【分析】
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【详解】
解：A 、2+3=5，不能组成三角形，不符合题意；
B 、4+6＜11，不能组成三角形，不符合题意；
C 、5+8>10，能组成三角形，符合题意；
D 、4+4=8，不能够组成三角形，不符合题意．
故选：C ．
【点睛】
此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
8．B
解析：B
【分析】
根据角的度数之比，求得最大角的度数，根据最大角的性质判断即可.
【详解】
∵三个内角的度数之比为11:13:24，
∴最大角的度数为
°24180111324
⨯++=90°， ∴三角形是直角三角形，
故选B.
【点睛】 本题考查了三角形按角的分类，根据度数之比求得最大角的度数是解题的关键. 9．D
解析：D
【分析】
根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边进行分析即可．
【详解】
D 、4＋5>6，能组成三角形，故此选项错误；
B 、3＋4＞5，能组成三角形，故此选项错误；
A 、2＋3>4，能组成三角形，故此选项错误；
D 、1＋2＝3，不能组成三角形，故此选项正确；
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查了三角形的三边关系定理，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
10．A
解析：A
【分析】
根据三角形三边长关系，逐一判断选项，即可得到答案．
【详解】
A. ∵3+5＞6，∴长度为3，5，6的三条线段能组成三角形，故该选项符合题意，
B. ∵1+2=3，∴长度为3，2，1的三条线段不能组成三角形，故该选项不符合题意，
C. ∵2+2=4，∴长度为2，2，4的三条线段不能组成三角形，故该选项不符合题意，
D. ∵3+6＜10，∴长度为3，6，10的三条线段不能组成三角形，故该选项不符合题意， 故选A
【点睛】
本题主要考查三角形三边长的关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，是解题的关键．
11．A
解析：A
【分析】
根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用360°除以45°求出边数，然后再乘以9米即可．
【详解】
解：∵小明每次都是沿直线前进9米后向左转45度，
∴他走过的图形是正多边形，
∴边数n=360°÷45°=8，
∴他第一次回到出发点A时，一共走了8×9=72（m）．
故选：A．
【点睛】
本题考查了正多边形的边数的求法，多边形的外角和为360°；根据题意判断出小明走过的图形是正多边形是解题的关键．
12．B
解析：B
【分析】
根据三角形的稳定性，要使它不变形，只需每一条边都分别在一个三角形之中即可
【详解】
解：要使六边形木框不变形，则需每一条边都分别在一个三角形之中，观察图形可得，至少还需要再钉上3根木条
故选：B
【点睛】
本题考查了三角形的稳定性，观察图形如何使每一条边都分别在一个三角形之中是解决本题的关键
二、填空题
13．102°【分析】首先根据∠DFC＝3∠B＝117°可以算出∠B＝39°然后设∠C＝∠D＝x°根据外角与内角的关系可得39＋x＋x＝117再解方程即可得到x＝39再根据三角形内角和定理求出∠BED的度
解析：102°
【分析】
首先根据∠DFC＝3∠B＝117°，可以算出∠B＝39°，然后设∠C＝∠D＝x°，根据外角与内角的关系可得39＋x＋x＝117，再解方程即可得到x＝39，再根据三角形内角和定理求出
∠BED的度数．
【详解】
解：∵∠DFC＝3∠B＝117°，
∴∠B＝39°，
设∠C＝∠D＝x°，
39＋x＋x＝117，
解得：x＝39，
∴∠D＝39°，
∴∠BED＝180°−39°−39°＝102°．
故答案为：102°．
【点睛】
此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
14．①②③④【分析】分别根据平行线的性质角平分线的定义邻补角的定义直角三角形两锐角互余进行判断即可得出结论【详解】解：∵CD∥OB∠EFD＝α∴∠EOB＝∠EFD＝α∵OE平分∠AOB∴∠COF＝∠EO
解析：①②③④
【分析】
分别根据平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的定义，直角三角形两锐角互余进行判断即可得出结论．
【详解】
解：∵CD∥OB，∠EFD＝α，
∴∠EOB＝∠EFD＝α，
∵OE平分∠AOB，
∴∠COF＝∠EOB＝α，故①正确；
∠AOB＝2α，
∵∠AOB+∠AOH＝180°，
∴∠AOH＝180°﹣2α，故②正确；
∵CD∥OB，CH⊥OB，
∴CH⊥CD，故③正确；
∴∠HCO+∠HOC＝90°，∠AOB+∠HOC＝180°，
∴∠OCH＝2α﹣90°，故④正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的定义，直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键．
15．60【分析】先由题意得到∠A=∠B=根据直角三角形两锐角互余求得结果【详解】∵飞机P在目标A的正上方飞行员测得目标B的俯角为
30°∴∠A=∠CPB=∵CP∥AB∴∠B=∠CPB=∴=-∠B=故答案为
解析：60
【分析】
先由题意得到∠A=90 ，∠B=30，根据直角三角形两锐角互余求得结果．
【详解】
∵飞机P在目标A的正上方，飞行员测得目标B的俯角为30°，
∴∠A=90︒，∠CPB=30,
∵CP∥AB，
∴∠B=∠CPB=30,
∠=90︒-∠B=60︒,
∴APB
故答案为：60．
【点睛】
此题考查直角三角形两锐角互余的性质，理解飞行员测得目标B的俯角为30°得到∠B=30是解题的关键．
16．1【分析】先根据多边形内角和公式求出它是几边形就可以得到结果【详解】解：设这个多边形是n边形解得∴是四边形∴从一个顶点出发的对角线有1条故答案是：1【点睛】本题考查多边形内角和公式解题的关键是掌握多
解析：1
【分析】
先根据多边形内角和公式求出它是几边形，就可以得到结果．
【详解】
解：设这个多边形是n边形，
()
n n
︒-=︒，
180290
n=，
解得4
∴是四边形，
∴从一个顶点出发的对角线有1条．
故答案是：1．
【点睛】
本题考查多边形内角和公式，解题的关键是掌握多边形的内角和公式．
17．10或50【分析】分点P在AB的上方点P在AB与CD的中间点P在CD的下方三种情况再分别根据平行线的性质三角形的外角性质求解即可得【详解】由题意分以下三种情况：（1）如图点P在AB的上方；（2）如图
解析：10或50
【分析】
分点P在AB的上方、点P在AB与CD的中间、点P在CD的下方三种情况，再分别根据平行线的性质、三角形的外角性质求解即可得．
【详解】
由题意，分以下三种情况：
（1）如图，点P 在AB 的上方，
30,20BPD PBA ∠=︒∠=︒，
150BPD PBA ∴∠=∠+∠=︒，
//AB CD ，
150CDP ∴∠=∠=︒；
（2）如图，点P 在AB 与CD 的中间，
延长BP ，交CD 于点E ，
//,20AB CD PBA ∠=︒，
20BED PBA ∴∠=∠=︒，
30BPD ∠=︒，
10CDP BPD BED ∴∠=∠-∠=︒；
（3）如图，点P 在CD 的下方，
//,20AB CD PBA ∠=︒，
120PBA ∴∠=∠=︒，
30BPD ∠=︒，
13030CDP BPD CDP ∴∠=∠+∠=∠+︒>︒与120∠=︒不符，
即点P 不可能在CD 的下方；
综上，10CDP ∠=︒或50CDP ∠=︒，
故答案为：10或50．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质，依据题意，正确分三种情况讨论是解题关
键．
18．30°【分析】通过正三角形正四边形正五边形的内角度数结合三角形内角和定理进行计算即可；【详解】等边三角形的内角的度数是60°正方形的内角度数是90°正五边形的内角的度数是：（5﹣2）×180°＝10
解析：30°
【分析】
通过正三角形、正四边形、正五边形的内角度数，结合三角形内角和定理进行计算即可；【详解】
等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°，正五边形的内角的度数是：1 5
（5﹣2）×180°＝108°，
则∠3＝360°﹣60°﹣90°﹣108°﹣∠1﹣∠2＝＝360°﹣60°﹣90°﹣108°﹣50°﹣22°=30°．
故答案是：30°．
【点睛】
本题主要考查了多边形内角和与外角定理的应用，准确分析图形中角的关系式解题的关键．
19．36°【分析】连接AD由正五边形的性质可得∠B＝∠BAE＝∠E∠EDC＝∠C ＝108°AE＝DE由等腰三角形的性质可求∠AED＝∠EDA＝36°可证AD∥PQ由平行线的性质可求解【详解】解：连接AD
解析：36°
【分析】
连接AD，由正五边形的性质可得∠B＝∠BAE＝∠E∠EDC＝∠C＝108°，AE＝DE，由等腰三角形的性质可求∠AED＝∠EDA＝36°，可证AD∥PQ，由平行线的性质可求解．
【详解】
解：连接AD，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠B＝∠BAE＝∠E=∠EDC＝∠C＝108°，AE＝DE，
∴∠AED＝∠EDA＝36°，
∴∠BAD＝72°，
∵∠BAD+∠ABC＝180°，
∴BC∥AD，
∵PQ∥BC，
∴AD∥PQ，
∴∠EPQ＝∠EAD＝36°，
故答案为：36°．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和外角，等腰三角形的性质，平行线的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
20．直角【分析】若三角形三个内角的度数之比为2：3：5利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°可求出三个内角分别是36°54°90°则这个三角形一定是直角三角形【详解】解：设三角分别为2x3x5
解析：直角
【分析】
若三角形三个内角的度数之比为2：3：5，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，可求出三个内角分别是36°，54°，90°．则这个三角形一定是直角三角形．
【详解】
解：设三角分别为2x，3x，5x，
依题意得2x+3x+5x＝180°，
解得x＝18°．
故三个角的度数分别为36°，54°，90°．
故答案为：直角．
【点睛】
此题主要考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，熟练掌握三角形内角和定理是解决本题的关键．
三、解答题
21．（1）∠AOC＝∠ODC，理由见解析；（2）①见解析；②70°
【分析】
（1）根据角平分线的定义得到∠OAC＋∠OCA＝1
2
（180°−∠ABC），∠OBC＝
1
2
∠ABC，
由三角形的内角和得到∠AOC＝90°＋∠OBC，∠ODC＝90°＋∠OBD，于是得到结论；（2）①由角平分线的性质得到∠EBF＝90°−∠DBO，由三角形的内角和得到∠ODB＝
90°−∠OBD，于是得到结论；②由角平分线的性质得到∠FBE＝1
2
（∠BAC＋∠ACB），
∠FCB＝1
2
ACB，根据三角形的外角的性质即可得到结论．【详解】
（1）∠AOC＝∠ODC，
理由：∵三个内角的平分线交于点O，
∴∠OAC+∠OCA＝1
2（∠BAC+∠BCA）＝
1
2
（180°﹣∠ABC），
∵∠OBC ＝12
∠ABC ， ∴∠AOC ＝180°﹣（∠OAC+∠OCA ）＝90°+
12∠ABC ＝90°+∠OBC ， ∵OD ⊥OB ，
∴∠BOD ＝90°，
∴∠ODC ＝90°+∠OBD ，
∴∠AOC ＝∠ODC ；
（2）①∵BF 平分∠ABE ，
∴∠EBF ＝12∠ABE ＝12
（180°﹣∠ABC ）＝90°﹣∠DBO ， ∵∠ODB ＝90°﹣∠OBD ，
∴∠FBE ＝∠ODB ，
∴BF ∥OD ；
②∵BF 平分∠ABE ，
∴∠FBE ＝12∠ABE ＝12
（∠BAC+∠ACB ）， ∵三个内角的平分线交于点O ，
∴∠FCB ＝12
∠ACB ， ∵∠F ＝∠FBE ﹣∠BCF ＝
12（∠BAC+∠ACB ）﹣12∠ACB ＝12∠BAC ， ∵∠F ＝35°，
∴∠BAC ＝2∠F ＝70°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
22．（1）40∠=︒ECB ；（2）52B ︒∠=
【分析】
（1）根据同位角相等，两直线平行判定//DF CE ，然后再根据平行线的性质求解； （2）根据角平分线的定义求得80ACB ︒∠=，然后利用三角形内角和求解．
【详解】
解：（1）
BEC BFD ∠=∠，
//DF CE ∴，
ECB D ∴∠=∠． 40D ︒∠=，
40ECB ∴∠=︒．
（2）CE 是ACB ∠的平分线．
40ECB ACE ︒∴∠=∠=，
80ACB ︒∴∠=．
180A B ACB ︒∠+∠+∠=，
180180488052B A ACB ︒︒︒︒︒∴∠=-∠-∠=--=．
【点睛】
本题考查平行线的判定和性质以及三角形内角和，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．
23．（1）30D ∠=︒；（2）()11802
D M N ∠=
∠+∠-︒，理由见解析 【分析】
（1）根据三角形内角和定理以及角平分线定义，先求出∠D 、∠A 的等式，推出∠A=2∠D ，最后代入求出即可；
（2）根据（1）中的结论即可得到结论．
【详解】
解：ACE A ABC ∠=∠+∠， ACD ECD A ABD DBE ∴∠+∠=∠+∠+∠，DCE D DBC ∠=∠+∠，
又∵BD 平分ABC ∠，CD 平分ACE ∠，
ABD DBE ∴∠=∠，ACD ECD ∠=∠，
()2A DCE DBC ∴∠=∠-∠，D DCE DBC ∠=∠-∠，
2A D ∴∠=∠，
75ABC ∠=︒，45ACB ∠=︒，
60A ∴∠=︒，
30D ∴∠=︒；
（2）()11802
D M N ∠=∠+∠-︒； 理由：延长BM 、CN 交于点A ，
则180A BMN CNM ∠=∠+∠-︒，
由（1）知，12
D A ∠=∠， ()11802
D M N ∴∠=∠+∠-︒．
【点睛】
此题考查三角形内角和定理以及角平分线的定义的综合运用，解此题的关键是求出∠A=2∠D ．
24．3c+a ﹣b ．
【分析】
根据三角形的三边关系“两边之和＞第三边，两边之差＜第三边”，判断式子的符号，再根据绝对值的意义去掉绝对值即可．
【详解】
解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，
得a ﹣b ﹣c ＜0，b ﹣c ﹣a ＜0，c+a ﹣b ＞0．
∴|a ﹣b ﹣c|+|b ﹣c ﹣a|+|c+a ﹣b|
＝b+c ﹣a+c+a ﹣b+c+a ﹣b
＝3c+a ﹣b ．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系、绝对值的性质、整式加减的应用，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键．
25．证明见解析．
【分析】
如图（见解析），先根据角平分线的定义可得12,34∠=∠∠=∠，再根据三角形的外角性质可得13,42A C E C ∠+∠=∠+∠∠+∠=∠+∠，然后两式相加化简即可得．
【详解】 如图，BC 平分ABE ∠，DC 平分ADE ∠，
12,34∴∠=∠∠=∠，
由三角形的外角性质得：153462A C E C ∠+∠=∠=∠+∠⎧⎨∠+∠=∠=∠+∠⎩
， 即1342A C E C ∠+∠=∠+∠⎧⎨∠+∠=∠+∠⎩
， 两式相加得：14223A E C ∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠，
14214A E C ∴∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠，
2E A C ∴∠+∠=∠．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．
26．10DAE ∠=︒，120BOA ∠=︒
【分析】
根据垂直的定义、角平分线的定义、三角形内角和定理及三角形的外角性质计算即可．
【详解】
解：80,CAB ∠=︒且AE 平分,CAB ∠
1402
CAE CAB ∴∠=∠=︒， 又60,C AD BC ∠=︒⊥，
9030,CAD C ∴∠=︒-∠=︒
10DAE CAE CAD ∴∠=∠-∠=︒；
60,40C CAE ∠=︒∠=︒，
100BEO C CAE ∴∠=∠+∠=︒，
又180,ABC C CAB ∠+∠+∠=︒
40,ABC ∴∠=︒ BF 平分,ABC ∠
120,2
OBE ABC ∴∠=∠=︒ 120BOA OBE BEO ∴∠=∠+∠=︒．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理、三角形的高和角平分线的定义以及三角形的外角性质，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．。