南京市2012年高三第一次模拟考试(word版有答案)

南京市、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试
数 学 试 题
(总分160分，考试时间120分钟)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上. 1.已知集合{}{}1,3,1,2,A B m ==,若A B ⊆,则实数m = . 2.若(12)(,i i a bi a b -=+∈R ,i 为虚数单位),则ab = . 3.若向量a (2,3),=b (,6)x =-,且∥a b ,则实数x = . 4.袋中装有大小相同且形状一样的四个球,四个球上分别标有“2”、“3”、“4”、“6”这四个数.现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是 .
5.某校共有400名学生参加了一次数学竞赛,竞赛成绩的频率分布直方图如图所示(成绩分组为
[0,10),[10,20),,[80,90),[90,100]⋅⋅⋅).则在本次竞赛中,得分不
低于80分以上的人数为 .
6.在ABC ∆中,已知sin :sin :sin 2:3:4A B C =,则cos C = .
7.根据如图所示的伪代码,当输入a 的值为3时,最后输出的S 的值 为 .
8.已知四边形ABCD 为梯形, ∥AB CD ,l 为空间一直线,则“l 垂直于两腰,AD BC ”是“l 垂直于两底,AB DC ”的 条件(填写“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中的一个).
9.函数2
()(1)x
f x x x e =++()x R ∈的单调减区间为 . 10.已知1
()21
x f x a =--是定义在(,1][1,)-∞-+∞上的奇函数, 则()f x 的值域为 . 11.记等比数列
{}
n a 的前n 项积为*
()n T n N ∈,已知1120m m m a a a -+-=,且21128m T -=,
则m = .
12.若关于x 的方程1ln kx x +=有解,则实数k 的取值范围是 .
13.设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>恒过定点(1,2)A ,则椭圆的中心到准线的距离的最小值 .
14.
设a b c x y =
==+,若对任意的正实数,x y ,都存在以,,a b c 为三边长的三角形,则实
数p 的取值范围是 .
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答
第5题
第7题
题纸的指定区域内. 15．(本小题满分14分)
已知函数2
1
()cos cos ()2
f x x x x x R =-+∈. (1)求函数()f x 的最小正周期； (2)求函数()f x 在区间[0,
]4
π
上的函数值的取值范围.
16．(本小题满分14分)
如图,在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 是菱形,PA PC =,E 为PB 的中点. (1)求证:∥PD 面AEC ；
(2)求证:平面AEC ⊥平面PDB . 17．(本小题满分14分)
在综合实践活动中,因制作一个工艺品的需要,某小组设计了如图所示的
一个门(该图为轴对称图形),其中矩形ABCD 的三边AB 、BC 、CD 由长6分米的材料弯折而成,BC 边的长为2t 分米(3
12
t ≤≤
)；曲
线
A
O
拟从以下两种曲线中选择一种:曲线1C 是一段余弦曲线(在如图所示的平面直角坐标系中,其解析式为cos 1y x =-),此时记门
的最高点O 到BC 边的距离为1()h t ；曲线2C 是一段抛物线,其焦点到准线的距离
为9
8
,此时记门的最高点O 到BC 边的距离为2()h t . (1)试分别求出函数1()h t 、2()h t 的表达式；
(2)要使得点O 到BC 边的距离最大,应选用哪一种曲线?此时,最大值是多少?
18．(本小题满分16分)
如图,在平面直角坐标系xoy 中,已知点A 为椭圆22
2199
x y +=的右顶点, 点
(1,0)D ,点,P B 在椭圆上, BP DA =. (1)求直线BD 的方程；
(2)求直线BD 被过,,P A B 三点的圆C 截得的弦长；
(3)是否存在分别以,PB PA 为弦的两个相外切的等圆?若存在,求出这
两个圆
的方程；若不存在,请说明理由. 19．(本小题满分16分)
对于函数()f x ,若存在实数对(b a ,),使得等式
b x a f x a f =-⋅+)()(对定义域中的每一个x 都成立,则称函数
()f x 是“(b a ,)型函数”.
(1)判断函数()4x
f x =是否为“(b a ,)型函数”，并说明理由； (2)已知函数()
g x 是“(1,4)型函数”, 当[0,2]x ∈时,都有
1()3g x ≤≤成立,且当[0,1]x ∈时,
2()g x x =(1)1m x --+(0)m >,若,试求m 的取值范围.
20．(本小题满分16分)
已知数列{}n a 满足*1(0,)a a a a N =>∈,1210n n a a a pa +++⋅⋅⋅+-=*
(0,1,)p p n N ≠≠-∈.
(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；
(2)若对每一个正整数k ,若将123,,k k k a a a +++按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等差数列, 且公差为
k d .
①求p 的值及对应的数列{}k d ．
②记k S 为数列{}k d 的前k 项和，问是否存在a ,使得30k S <对任意正整数k 恒成立?若存在,求出a 的最
C B
D
P E 第16题
第18题
大值；若不存在,请说明理由．
南京市、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试
数学参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.
1.3
2. 2
3. －4
4.
12 5.120 6.1
4
- 7.21 8.充分不必要 9.(2,1)--(或闭区间)
10.3113[,)(,]2222-- 11.4m = 12.21
(,]e
-∞2 14. (1,3)
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.
15．解: (1)因为1
()sin 2cos 222
f x x x =-……………………………………………………………4分 sin(2)6
x π
=-
……………………………………………………………………………………………6分
故()f x 的最小正周期为π………………………………………………………………………………8分 (2)当[0,
]4
x π
∈时,2[,]6
63
x π
ππ
-
∈-
…………………………………………………………………10分
故所求的值域为1[2-
………………………………………………………………………………14分 16．（1）证明:设AC BD O =,连接EO,因为O,E 分别是BD,PB 的中点,所以∥PD EO …………4分 而,PD AEC EO AEC ⊄⊂面面,所以∥PD 面AEC …………………………………………………7分 (2)连接PO,因为PA PC =,所以AC PO ⊥,又四边形ABCD 是菱形,所以AC BD ⊥…………10分 而PO ⊂面PBD ,BD ⊂面PBD ,PO BD O =,所以AC ⊥面PBD ……………………………13分 又AC ⊂面AEC ,所以面AEC ⊥面PBD ……………………………………………………………14分 17．解:(1)对于曲线1C ,因为曲线AOD 的解析式为cos 1y x =-,所以点D 的坐标为(,cos 1)t t -……2分 所以点O 到AD 的距离为1cos t -,而3AB DC t ==-,
则13
()(3)(1cos )cos 4(1)2
h t t t t t t =-+-=--+≤≤…………………………………………………4分
对于曲线2C ,因为抛物线的方程为2
94x y =-,即249y x =-,所以点D 的坐标为24(,)9
t t -………2分
所以点O 到AD 的距离为2
49
t ,而3AB DC t ==-,所以2243()3(1)92h t t t t =-+≤≤……………7分
(2)因为1()1sin 0h t t '=-+<,所以1()h t 在3
[1,]2
上单调递减,所以当1t =时,1()h t 取得最大值
为3cos1-…………………………………………………………………………………………………9分
又224939()()9816h t t =-+,而312t ≤≤,所以当32t =时,2()h t 取得最大值为5
2
……………………11分
因为1cos1cos 32π>=,所以15
3cos1322
-<-=,
故选用曲线2C ,当32t =时,点E 到BC 边的距离最大,最大值为5
2
分米……………………………14分
18．解: (1)因为BP DA =,且A(3,0),所以BP DA ==2,而B,P 关于y 轴对称,所以点P 的横坐标为1,
从而得(1,2),(1,2)P B -……………………………………………………………………………………3分 所以直线BD 的方程为10x y +-=………………………………………………………………………5分 (2)线段BP 的垂直平分线方程为x=0,线段AP 的垂直平分线方程为1y x =-,
所以圆C 的圆心为(0,－1),且圆C 的半径为r =……………………………………………………8分
又圆心(0,－1)到直线BD 的距离为d =
所以直线BD 被圆C 截得的弦长
为= ……………………………………………………………………………………10分
(3)假设存在这样的两个圆M 与圆N,其中PB 是圆M 的弦,PA 是圆N 的弦,则点M 一定在y 轴上,点N 一定在线段PC 的垂直平分线1y x =-上,当圆M 和圆N 是两个相外切的等圆时,一定有P,M,N 在一条直线上,且PM=PN …………………………………………………………………………………………12分 设(0,)M b ,则(2,4)N b -,根据(2,4)N b -在直线1y x =-上,
解得3b =…………………………………………………………………………………………………14分
所以(0,3),(2,1),M N PM PN ==
,故存在这样的两个圆,且方程分别为
22(3)2x y +-=,22(2)(1)2x y -+-=………………………………………………………………16分
19．解: (1)函数()4x
f x =是“(b a ,)型函数”…………………………………………………………2分 因为由b x a f x a f =-⋅+)()(,得16a
b =,所以存在这样的实数对,如1,16a b ==………………6分 (2) 由题意得,(1)(1)4g x g x +-=,所以当[1,2]x ∈时, 4
()(2)
g x g x =
-,其中2[0,1]x -∈,
而[0,1]x ∈时,22
()(1)110g x x m x x mx m =+-+=-++>,且其对称轴方程为2
m x =,
① 当12
m
>,即2m >时,()g x 在[0,1]上的值域为[(1),(0)]g g ,即[2,1]m +,则()g x 在[0,2]上的值域为
44[2,1][,2][,1]11m m m m +=+++,由题意得13
4
11
m m +≤⎧⎪
⎨≥⎪+⎩,此时无解………………………11分 ②当1122m ≤≤,即12m ≤≤时,()g x 的值域为[(),(0)]2
m
g g ,即2[1,1]4m m m +-+,所以则()g x 在[0,2] 上的值域为22
44[1,1][,]4114m m m m m m +-+++-,则由题意得2431413m m m ⎧≤⎪⎪+-⎨⎪+≤⎪⎩
且2
11441
1m m m ⎧+-≥⎪⎪⎨⎪≥⎪+⎩,解得12m ≤≤……………………………………………………………………13分
③ 当1022m <≤,即01m <≤时,()g x 的值域为[(),(1)]2
m
g g ,即2[1,2]4m m +-,则()g x 在[0,2]上的值域为224[1,2][2,]414m m m m +-+-=
224[1,]414
m m m m +-+-
, 则2
2
11
44
314
m m m m ⎧+-≥⎪⎪
⎨≤⎪⎪+-⎩,
解得213m -≤≤. 综上所述,所求m 的取值范围是223
m -≤≤…………………………………………………16分
20．解:(Ⅰ)因为1210n n a a a pa +++⋅⋅⋅+-=,所以2n ≥时, 1210n n a a a pa -++⋅⋅⋅+-=,两式相减,得11(2)n n a p n a p ++=≥,故数列{}n a 从第二项起是公比为1
p p
+的等比数列…………………………3分 又当n=1时,12
0a pa -=,解得2a a p =,从而2(1)1()(2)n n a n a a p n p p -⎧
=⎪
=+⎨≥⎪⎩
…………………………5分 (2)①由(1)得11
123111(
),(),()k k k k k k a p a p a p a a a p p p p p p
-+++++++===,
[1]若1k a +为等差中项,则1232k k k a a a +++=+,即11p p +=或12p p +=-,解得1
3
p =-…………6分 此时1123(2),3(2)k k k k a a a a -++=--=--,所以1
12||92k k k k d a a a -++=-=⋅……………………8分
[2]若2k a +为等差中项,则2132k k k a a a +++=+,即1
1p p +=,此时无解………………………………9分 [3]若3k a +为等差中项,则3122k k k a a a +++=+,即11p p +=或112p p +=-,解得2
3
p =-, 此时11133131(),()2222k k k k a a a a -+++=--=--,所以1
1391||()82k k k k a d a a -++=-=⋅……………11分
综上所述,13p =-, 1
92k k d a -=⋅或23p =-,191()82
k k a d -=⋅…………………………………12分
②[1]当13
p =-时,9(21)k
k S a =-,则由30k S <,得103(21)k
a <-, 当3k ≥时, 10
13(21)k
<-,所以必定有1a <,所以不存在这样的最大正整数……………………14分 [2]当23p =-时,91(1())42k k a S =-,则由30k S <,得4013(1())2k a <-,因为4040
133(1())2k >
-,所以13a =满足30k S <恒成立；但当14a =时,存在5k =,使得40
13(1())
2
k
a >
-即30k S <, 所以此时满足题意的最大正整数13a =……………………………………………………………16分。