(导学教程)2012届高三数学(理)二轮复习试题：专题二第三讲综合验收评估(北师大版)

一、选择题
1．(2011·辽宁）已知向量a ＝(2，1)，b ＝(－1，k )，a ·（2a －b )＝0,则k ＝
A ．－12
B ．－6
C ．6
D ．12
解析 由已知得a ·（2a －b ）＝2a 2－a ·b
＝2(4＋1)－（－2＋k )＝0，
∴k ＝12.
答案 D
2．（2011·广东）已知向量a ＝(1,2），b ＝（1，0)，c ＝(3,4）．若λ为实数，(a ＋λb ）∥c ，则λ＝
A.14 B 。

错误!
C ．1
D ．2
解析 a ＋λb ＝(1,2)＋λ(1,0）＝(1＋λ，2）,
而c ＝(3，4），由（a ＋λb ）∥c 得4（1＋λ）－6＝0,
解得λ＝错误!.
答案 B
3．（2011·东城模拟）如图所示,在平面四边形ABCD中，若AC＝3，BD＝2，则(错误!＋错误!）·(错误!＋错误!）等于
A．2 B．3
C．4 D．5
解析由于错误!＝错误!＋错误!，错误!＝错误!＋错误!，
所以错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝错误!－错误!.
(错误!＋错误!)·（错误!＋错误!）＝(错误!－错误!)·（错误!＋错误!)＝错误!2－错误! 2＝9－4＝5.
答案D
4．（2011·辽宁）若a，b，c均为单位向量,且a·b＝0，(a－c)·（b －c）≤0,则|a＋b－c|的最大值为
A.2－1 B．1
C。

错误!D．2
解析由（a－c)·（b－c）≤0，a·b＝0,
得a·c＋b·c≥c2＝1,
∴（a＋b－c）2＝1＋1＋1－2(a·c＋b·c）≤1.
∴|a＋b－c|≤1.
答案B
5．在△ABC中,设AB，→＝a，错误!＝b，错误!＝c,若a·（a＋b)＜0，则△ABC是
A．直角三角形B．锐角三角形
C．钝角三角形D．无法判断其形状
解析由题意得a＋b＝错误!＋错误!＝错误!＝－c，
a·(a＋b）＝错误!·错误!＝|错误!|｜错误!|cos A＜0，
所以∠A为钝角,故△ABC为钝角三角形．
答案C
6．已知向量a，b,c满足|a｜＝1，|a－b｜＝|b|，(a－c)·(b－c）＝0.若对每一个确定的b，|c|的最大值和最小值分别为m,n，则对任意b，m－n的最小值是
A.错误!B。

错误!
C.错误!D．1
解析把三个向量的起点放在同一点O，如图所示,根据几何意义，由|a－b|＝|b|,得△OAB是等腰三角形,当(a－c）·（b－c）＝0时，(a－c）⊥(b－c)，故点C在以AB为直径的圆上，|c|的最大值m和最小值n的差就是这个圆的直径，只有当B，E重合时这个直径最短，即m－n
的最小值是错误!。

答案B
二、填空题
7．（2011·江西)已知两个单位向量e1，e2的夹角为π
3
，若向量
b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2,则b1·b2＝________.
解析b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，
则b1·b2＝（e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e错误!－2e1·e2－8e错误!.
又因为e1，e2为单位向量,〈e1，e2〉＝错误!，所以b1·b2＝3－2×
错误!－8＝3－1－8＝－6。

答案－6
8．（2011·江苏）已知e1，e2是夹角为错误!的两个单位向量,a＝e1－2e2，b＝k e1＋e2.若a·b＝0，则实数k的值为________．解析a·b＝(e1－2e2）·(k e1＋e2）＝k e错误!＋(1－2k）e1·e2－2e错误!＝k－2＋(1－2k）cos 错误!＝2k－错误!，∵a·b＝0,∴2k－错误!＝0，即k＝错误!.
答案错误!
9．(2011·天津）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC ＝90°，AD＝2,BC＝1，P是腰DC上的动点，则|PA，→＋3错误!|
的最小值为________．
解析解法一以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝a,DP＝x。

∴D(0，0),A(2，0)，C(0,a）,B（1，a），P（0，x)，
错误!＝(2，－x)，错误!＝（1，a－x)，
∴错误!＋3错误!＝（5,3a－4x)，
｜错误!＋3错误!｜2＝25＋(3a－4x）2≥25，
∴|错误!＋3错误!｜的最小值为5.
解法二设错误!＝x错误!（0＜x＜1），∴错误!＝（1－x)错误!,
错误!＝错误!－错误!＝错误!－x错误!,错误!＝错误!＋错误!＝（1－x)错误!＋错误!错误!,∴错误!＋3错误!＝错误!错误!＋（3－4x）错误!，
|错误!＋3错误!｜2＝错误!错误!2＋2×错误!×(3－4x)错误!·错误!＋(3－4x）2·错误!2＝25＋（3－4x)2错误!2≥25，
∴|错误!＋3错误!|的最小值为5。

答案5
三、解答题
10．已知平面向量|a｜＝2,｜b|＝1，且（a＋b）⊥错误!，求a与b的夹角．
解析因为(a＋b）⊥错误!，
所以a2－错误!b2－错误!a·b＝0。

又因为｜a｜＝2，｜b｜＝1，所以a2＝4,b2＝1，
所以4－5
2
－错误!a·b＝0，所以a·b＝1，
又a·b＝｜a|·|b｜cos 〈a，b〉＝1，
所以cos 〈a，b〉＝错误!。

又a与b的夹角范围为[0，π]，所以a与b的夹角为错误!。

11．已知θ为向量a与b的夹角,|a|＝2，|b｜＝1，关于x的一元二次方程x2＋｜a|x＋a·b＝0有实根．
（1)求θ的取值范围；
（2)在（1）的条件下，求函数f(θ)＝2sin θcos θ－2错误!cos2θ＋错误!的最值．
解析(1)由已知条件，可得|a｜2＝4，a·b＝|a｜·|b｜cos θ＝2cos θ，θ∈[0，π］,
∵关于x的一元二次方程x2＋|a｜x＋a·b＝0有实根，
∴Δ＝|a｜2－4a·b＝4（1－2cos θ)≥0，
得cos θ≤1
2
，解得θ∈错误!。

（2)f(θ)＝2sin θcos θ－2错误!cos2θ＋错误!
＝sin 2θ－错误!（2cos2θ－1)
＝sin 2θ－错误!cos 2θ＝2sin 错误!，
∵θ∈错误!，∴2θ－错误!∈错误!，
得sin 错误!∈［－1,1]，
∴当θ＝错误!时，f（x)max＝2；
当θ＝错误!时,f(x）min＝－2.
12．已知向量m＝(cos x，－sin x）,n＝(cos x，sin x－23cos x），x∈R，令f(x)＝m·n。

（1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈错误!时,求函数f(x)的值域．
解析(1)f（x）＝m·n＝cos2x－sin x（sin x－2错误!cos x），
＝cos 2x＋错误!sin 2x＝2sin 错误!.
∵函数y＝2sin x的单调增区间为
错误!,k∈Z，
∴2kπ－错误!≤2x＋错误!≤2kπ＋错误!，k∈Z，
∴kπ－错误!≤x≤kπ＋错误!，k∈Z,
∴函数f(x）的单调递增区间为错误!，
k∈Z。

（2)当x∈错误!时，错误!≤2x＋错误!≤错误!，
∴1≤2sin 错误!≤2，∴函数f(x)的值域为［1,2］．。

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