2015年高考数学真题解析之圆锥真题(理科)

2015高考圆锥曲线真题汇总（理科）
1．（14分）（2015•广东）已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2
+y 2
﹣6x+5=0相交于不同的两点A ，B ．
（1）求圆C 1的圆心坐标；
（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；
（3）是否存在实数 k ，使得直线L ：y=k （x ﹣4）与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．
2．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，
F 到左准线l 的距离为3.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC=2AB ，求直线AB 的方程. 3．（本小题满分12分，（1）小问5分，（2）小问7分）
的左、右焦点分别为12,,F F 过2F 的直线交椭圆于
,P Q 两点，且1PQ PF ⊥
（1 （2求椭圆的离心率.e
4．（本题满分15分）上两个不同的点A ，B 关于直线对称．
（1）求实数m 的取值范围；
（2）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．
5．（本小题满分12分）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：与直线y kx a =+（a ＞0）
交与M,N 两点，
（Ⅰ）当k=0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；
（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM=∠OPN ？说明理由.
6．（本小题满分14分）0)a b 的左焦点为(,0)F c -,离心率为
点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆4
4
b 截得的线段的长为
c ，
（Ⅰ）求直线FM 的斜率； （Ⅱ）求椭圆的方程；
（Ⅲ）设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围.
7．如图，椭圆E 过点P （0,1）的动直线l 与
椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E
（1）求椭圆E 的方程；
（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q 立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
8．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.
已知椭圆2
2
21x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别于椭圆交于A 、B 和C 、D ，记得到的平行四边形CD AB 的面积为S .
（1）设()11,x y A ，()22C ,x y ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明
（2）设1l 与2l 的斜率之积为，求面积S 的值. 9．（本小题满分12（0a b >>）的半焦距为c ，原点O
到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为 （Ⅰ）求椭圆E 的离心率；
（Ⅱ）如图，AB 是圆若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．
10．【2015高考山东，理20】平面直角坐标系xoy 中，，左、右焦点分别是12,F F ，以1F 为圆心以3为半径的圆与以2F 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ），P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+交
椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .
（i
（Ⅱ）求ABQ ∆面积的最大值.
11．已知抛物线2
1:4C x y =的焦点F 也是椭圆1C 与2C 的公共弦的长为
（1）求2C 的方程；
（2）过点F 的直线l 与1C 相交于A ，B 两点，与2C 相交于C ，D 两点，且AC u u u r 与BD
u u u r
同向
（ⅰ）若||||AC BD =，求直线l 的斜率
（ⅱ）设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形
12．（本小题满分14分）一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，
且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一
周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
（Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：OQP ∆的面积是否存在最小值？若存在，
求出该最小值；若不存在，说明理由．
13．（本小题满分13分）设椭圆E
点O 为坐标原点，
点A 的坐标为()0a ，
，点B 的坐标为 ()0b ，
，点M 在线段AB
OM
（Ⅰ）求E 的离心率e ；
（Ⅱ）设点C 的坐标为()0b -，
，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵
E 的方程.
14．（本题满分12分）已知椭圆2
2
2
:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ． 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；
（Ⅱ）若l 过点，延长线段OM
与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边
15．已知椭圆E 22
1(a 0)y b b 过点
（Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）设直线1x
my m R ，()交椭圆E 于A ，B 两点，判断点AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．
16．（本小题14分）已知椭圆C ：，点()01P ，和点
()A m n ，()
0m ≠
都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；
（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是
否存在点Q，使得
∠=∠？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．OQM ONQ
参考答案
1．（1）（3，0）；
（2）（x﹣）2+y2=，其中＜x≤3；
（3）k的取值范围为（﹣，）∪{﹣，}．
【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（广东卷带解析）
【解析】
试题分析：（1）通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论；
（2）设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C1的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；
（3）通过联立直线L与圆C1的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论．
解：（1）∵圆C1：x2+y2﹣6x+5=0，
整理，得其标准方程为：（x﹣3）2+y2=4，
∴圆C1的圆心坐标为（3，0）；
（2）设当直线l的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），
联立方程组，
消去y可得：（1+k2）x2﹣6x+5=0，
由△=36﹣4（1+k2）×5＞0，可得k2＜
由韦达定理，可得x1+x2=，
∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中﹣＜k＜，
∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x﹣）2+y2=，其中＜x≤3；
（3）结论：当k∈（﹣，）∪{﹣，}时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有
一个交点．
理由如下：
联立方程组，
消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k）x+16k2=0，
令△=（3+8k）2﹣4（1+k2）•16k2=0，解得k=±，
又∵轨迹C的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±，
∴当直线L ：y=k （x ﹣4）与曲线C 只有一个交点时， k 的取值范围为（﹣
，
）∪{﹣，
}．
点评：本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题，注意解题方法的积累，属于中档题．
2．（12）1y x =-或1y x =-+．
【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷带解析）
【解析】
试题分析（1点F 到左准线l 的距离为3，解方程组即得（2）因为直线AB 过F ，所以求直线AB 的方程就是确定其斜率，本题关键就是根据PC=2AB 列出关于斜率的等量关系，这有一定运算量.首先利用直线方程与椭圆方程联立方程组，解出AB 两点坐标，利用两点间距离公式求出AB 长，再根据中点坐标公式求出C 点坐标，利用两直线交点求出P 点坐标，再根据两点间距离公式求出PC 长，利用PC=2AB 解出直线AB 斜率,写出直线AB 方程.
试题解析：（1
，
1c =，则1b =，
（2）当x AB ⊥轴时，，又C 3P =，不合题意．
当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为
()
1y k x =-，
()
11,x y A ，
()
22,x y B ，
将AB 的方程代入椭圆方程，得
()()2
2
22124210
k x k x k +-+-=，
，C 的坐标为
若0k =，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意．
从而0k ≠，故直线C P 的方程为
则P 点的坐标为
因为C 2P =AB ，所以
，解得1k =±．
此时直线AB 方程为1y
x =-或1y x =-+． 考点：椭圆方程，直线与椭圆位置关系
3．（1
（2【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（重庆卷带解析） 【解析】 试题解析：（1）本题中已知椭圆上的一点到两焦点的距离，因此由椭圆定义可得长轴长，即参数a 的值，而由1PQ PF ⊥，应用勾股定理可得焦距，即c 的值，因此方程易得；（
2）要求椭圆的离心率，就是要找到关于,,a b
c 的一个等式，题中涉及到焦点距离，因此我们仍然应
用
椭
圆
定
义
，
设
，则
a m
，
样在1Rt PQF ∆中求得，在12Rt PF F ∆中可建立关于,a c 的等式，从而求得离心率.
（112|PF ||PF |
22224a a ，故=2.设椭圆的半焦距为c ，由已知12PF PF ⊥，因此
2
2
22
1212|FF |
|PF ||PF |22
22
23c ，
即22
b
1a c
（2）解法一：如图（21）图，设点P 00(,y )x 在椭圆上，且12PF PF ⊥，则
22
20y c
由12|P F |=|||P F |PQ ,得0>0x ,从而
由椭圆的定义，
1
212
|
P F
||P F |
2,|Q F ||Q F
a a
,从而由122|PF |=|PQ |=|PF |+|QF |，有11|QF |42|PF |a
又由12PF PF ⊥，1|PF |=|PQ |
知1|2|PF |22
2
224.a
a b a
解法二：如图由椭圆的定义，1212|P F ||P F |2,|Q F ||
Q F |2a a ,从而由122|PF |=|PQ |=|PF |+|QF |，有11|QF |42|PF |a
又由12PF PF ⊥，1|PF |=|PQ |知
1|2|PF |112|PF |2|PF |a ,
|2(2-2)2(21)a a a
由12PF PF ⊥,知2
222
2122|PF |
|P F ||PF |(2)4c c ，因此
2
1222
|PF ||P F |
(2
2)(21)962632c
e
a
a
考点：考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质.，直线和椭圆相交问题，考查运算求解能力． 4
．（1
（2
【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（浙江卷带解析）
【解析】
（1）可设直线AB
的解，再由AB 中点也在直线上，即可得到关于m 的不等式，从而求解；（2
将AOB ∆表示为t 的函数，从而将问题等价转化为在给定范围上求函数的最值，从而求解.
试题解析：（1）由题意知0m ≠，可设直线AB
消去y ，得
AB
（2）令
O 到直线AB
，设AOB ∆的面积为()S t ，
等号成立，故AOB ∆
考点：1.直线与椭圆的位置关系；2.点到直线距离公式；3.求函数的最值. 5．
【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ带解析） 【解析】 试题分析：（Ⅰ）先求出M,N 的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将y kx a =+代入曲线C 的方程整理成关于x 的一元二次方程，设出M,N 的坐标和P 点坐标，利用设而不求思想，将直线PM ，PN 的斜率之和用a 表示出来，利用直线PM ，PN 的斜率为0,即可求出,a b 关系，从而找出适合条件的P 点坐标.
试题解析：
在x =
C
在x =-
C
（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：
设P （0，b ）为复合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为12,k k . 将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=. ∴12124,4x x k x x a +==-.
当b a =-时，有12k k +=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM=∠OPN ，所以(0,)P a -符合题意.
考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力
6．（Ⅰ）
（Ⅱ）
；（Ⅲ）
【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷带解析）
【解析】（Ⅰ） ，又由222a b c =+，可得223a c =，222b c =，
设直线FM 的斜率为(0)k k >，则直线FM 的方程为()y k x c =+，由已知有
，直线FM 的方程为()y k x c =+，两个方程
联立，消去y ，整理得
在第一象限，可得M
的坐标为
，解得1c =，所以椭圆方程为（Ⅲ）设点P 的坐标为(,)x y ，直线FP 的斜率为t ，即
(1)y t x =+(1)x ≠-,y
，整理得222
23(1)6x t x ++=
，又由已知，得
或10x -<<， 设直线OP 的斜率为m
(0)y mx x =≠，与椭圆方程联立，整理可得
①当，有(1)0y t x =+<，因此0m >，于
，得
②当()1,0x ∈-时，有(1)0
y t x =+>，因此0m <，于是，得
综上，直线OP 的斜率的取值范围是
考点：1.椭圆的标准方程和几何性质；2.直线和圆的位置关系；3.一元二次不等式.
7．（1（2）存在，Q 点的坐标为(0,2)Q . 【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷带解析） 【解析】（1E 上.
（2）当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C 、D 两点. 如果存在定点Q ，即||||QC QD =. 所以Q 点在y 轴上，可设Q 点的坐标为0(0,)y .
当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M 、N 两点.
，解得01y =或02y =.
所以，若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点的坐标只可能为(0,2)Q . 下面证明：对任意的直线l ，均有
当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立.
当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为1y kx =+，A 、B 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y .
得22(21)420k x kx ++-=. 其判别式2
2
168(21)0k k ∆=++>，
易知，点B 关于y 轴对称的点的坐标为22(,)B x y '-.
所以QA QB k k '=，即,,Q A B '三点共线. 故存在与P 不同的定点(0,2)Q ，使得
. 考点：本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.
8．（1）详见解析（2【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（上海卷带解析） 【解析】证明：（1）直线1:l 110y x x y -=，点C 到1l 的距离
解：（2）设1:l y kx =，则设
()11,x y A ，()22C ,x y .
由22
21
y kx
x y =⎧⎨
+=⎩，得
由（1）
考点：直线与椭圆位置关系
9．
【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（陕西卷带解析）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先写过点(),0c ，()0,b 的直线方程，再计算原点O 到该直线的距离，进而
可得椭圆E 的离心率；（Ⅱ）先由（Ⅰ）知椭圆E 的方程，设AB 的方程，联立()2222144y k x x y b
⎧=++⎪⎨+=⎪⎩，
消去y ，可得12x x +和12x x 的值，进而可得k ，再利用可得2b 的值，进而可得椭圆E 的方程．
试题解析：（Ⅰ）过点(),0c ，()0,b 的直线方程为0bx cy bc ，
则原点O 到直线的距离 12
c ，得2222a b a c ，解得离心率
32
． （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知，椭圆E 的方程为2
2244x
y b ． (1)
依题意，圆心()2,1M -是线段AB 的中点，且AB |10．
易知，AB 不与x 轴垂直，设其直线方程为(2)1y
k x ，代入(1)得
2222
(14)8(21)4(21)40k x k k x k b
设1122(,y ),B(,y ),A x x 则22
12
12
2
2
8(21)
4(21)4,.1414k k k b x x x k k
由1
2
4x x ，得
2
8(21)4,14k k k 解得12
． 从而212
8
2x x b ．
|
10，得22)10，解得2
3b ．
故椭圆E 的方程为
21123
y ．
解法二：由（Ⅰ）知，椭圆E 的方程为2
2244x
y b ． (2)
依题意，点A ，B 关于圆心()2,1M -对称，且|10． 设1122(,y ),B(,y ),A x x 则2221144x y b ，22
22244x y b ，
两式相减并结合1
2124,y 2,x x y 得1212
-4()80x x y y ．
易知，AB 不与x 轴垂直，则12x x ≠，所以AB 的斜率1212
1.2
y y x x 因此AB 直线方程为1
(2)12y x ，代入(2)得224820.x x b
所以1
24x x ，212
82
x x b ．
|
10，得22)10，解得2
3b ．
故椭圆E
的方程为
21123
y ．
考点：1、直线方程；2、点到直线的距离公式；3、椭圆的简单几何性质；4、椭圆的方程；5
、圆的方程；6、直线与圆的位置关系；7、直线与圆锥曲线的位置．
10．（Ⅱ）（i ）2； 【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷带解析）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的定义与几何性质列方程组确定,a b 的值，从而得到椭圆的方程；（Ⅱ）（Ⅰ）设()00,P x y ，
，由题意知()00,Q x y λλ--，然后利用这两点分
别在两上椭圆上确定λ 的值; （Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ，
结
合韦达定理求出弦
长，选将O A B ∆的面积表示成关于,k m 的表达
式
，然后，
令利用一元二次方程根的判别式确定的范围，从而求出OAB ∆的面积的最大值，并结合（Ⅰ）的结果求出△
面积的最大值.
试题解析：（Ⅰ）由题意知24a = ，则2a = ,
可得1b = , 所以椭圆C
（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆E
（Ⅰ）设()00,P x y ，，由题意知()00,Q x y λλ--
所以2λ=
（Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y 将y kx m =+代入椭圆E 的方程， 可得()
2221484160k x kmx m +++-= 由0∆> ，可得22416m k <+ ①
因为直线y kx m =+与轴交点的坐标为()0,m
所以OAB ∆的面积
将y kx m =+ 代入椭圆C 的方程可得()222148440k x kmx m +++-= 由0∆≥ ，可得2214m k ≤+ ② 由①②可知01t <≤
当且仅当1t = ，即2214m k =+
由（Ⅰ）知，ABQ ∆ 面积为3S ,所以ABQ ∆面积的最大值为
考点：1、椭圆的标准方程与几何性质；2、直线与椭圆位置关系综合问题；3、函数的最值问题.
11．（1（2）（i （ii ）详见解析.
【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（湖南卷带解析）
【解析】
试题分析：（1）根据已知条件可求得2C 的焦点坐标为)1,0(，再利用公共弦长为求解；（2）（i ）设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为1+=kx y ，由2
1
4y k x x y
=+⎧⎨
=⎩得2
16640x kx +-=，
根据条件可知AC =u u u v BD u u u v
，从而可以建立关于k 的方程，即可求解；（ii ）
根据条件可说因此AFM ∠是锐角，从而180MFD AFM ∠=-∠o 是钝角，即可得证
试题解析：（1）由1C ：2
4x y =知其焦点F 的坐标为(0,1)，∵F 也是椭圆2C 的一焦点， ∴ 221a b -=①，又1C 与2C 的公共弦的长为，1C 与2C 都关于y 轴对称，且1C 的方程为2
4x y =，由此易知1C 与2C 的公共点的坐标为
联立①，②，得2
9a =，2
8b =，故2C 的方程为（2）如图f ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，
（i ）∵AC u u u v 与BD u u u v 同向，且||||BD AC =，∴AC u u u v BD =u u u v
，从而31x x -=42x x -，即12x x -=
34x x -，于是()2
124x x +-12x x =()2
344x x +-34x x ③，设直线l 的斜率为k ，则l 的方
程为1+=kx y ，由2
14y kx x y
=+⎧⎨
=⎩得2
16640x kx +-=，而1x ，2x 是这个方程的两根，∴124x x k +=，124x x =-④，由得22
(98)16640k x kx ++-=，而3x ，4x 是
，将④⑤带入③，得
∴(
)
2
298k
+=169⨯，解得，即直线l 的斜率为
（ii ）由2
4x y =得，∴1C 在点A 处的切线方程为
令
0=y ，
而11(,1)FA x y =-u u u r ，于是
因此AFM ∠是锐角，从而180MFD AFM ∠=-∠o 是钝角.，故直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形.
考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆位置关系. 【名师点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其性质以及直线与椭圆的位置关系，属于较难题，解决此
类问题的关键：（1）结合椭圆的几何性质，如焦点坐标，对称轴，222c b a +=等；（2）当看到题目中出现 直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条
件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，
可能需要整
体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.
12．（Ⅱ）存在最小值8．
【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（湖北卷带解析） 【解析】（Ⅰ）设点(,0)(||2)D t t ≤，00(,),(,)N x y M x y ，依题意，
2MD DN =u u u u r u u u r ，且||||1DN ON ==u u u r u u u r
，
所以00(,)2(,)t x y x t y --=-，且22
0022
0()1,
1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 即0022,
2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩
且0(2)0.t t x -=
由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0，
于是02t x =，故，代入22
001x y +=，可得 （Ⅱ）（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有 （2）当直线l 的斜率存在时，设直线
由22
,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩
消去y ，可得222
(14)84160k x kmx m +++-=． 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，
所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22
164m k =+． ①
又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩
由原点O 到直线PQ 的距离为
②
当且仅当0k =时取等号．
所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8．
综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，OPQ ∆的面积取得最小值8． 考点：椭圆的标准方程、几何性质,直线与圆、椭圆的位置关系，最值．
13． 【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（安徽卷带解析）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由题设条件，可得点M 的坐标为
（Ⅱ）由题设条件和（Ⅰ）的计算结果知，直线AB 的方程为，得出点N 的坐标为，设点N关于直线AB的对称点S 的坐标为则线段NS的中点T 的坐标为
利用点T在直线AB上，以及1
NS AB
k k⋅=-，解得3
b=，所以，从而得到椭圆E
试题解析：（Ⅰ）由题设条件知，点M 的坐标为
（Ⅱ）由题设条件和（Ⅰ）的计算结果可得，直线AB 的方程为，点N的坐标
设点N关于直线AB的对称点S 的坐标为则线段NS的中点T的坐标
为.又点T在直线AB上，且1
NS AB
k k⋅=-,从而有
解得3
b=，所以，故椭圆E 的方程为
考点：1.椭圆的离心率；2.椭圆的标准方程；3.点点关于直线对称的应用.
14．（Ⅰ）详见解析；
【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ带解析）
【解析】（Ⅰ）设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ． 将
y kx b =+代入
22
9x y m
+=
得2222(9)20
k x kbx b m
+++-=，故
．于是直线OM 的斜率，即9OM k k ⋅=-．所以直线OM 的斜率与
因为直线l 过点，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是
0k >，3k ≠． 由（Ⅰ）得OM
P 的横坐标为P x
的坐标代入直线
l 的方程得四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x =
．于是
．因为0,3i i k k >≠，1
i =，2，所以当l 的斜率为
时，四边形OAPB 为平行四边形．
考点：1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系．
15．
212
y ；
（Ⅱ）AB 为直径的圆外． 【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（福建卷带解析） 【解析】解法一：（Ⅰ）由已知得
2
222,
2
,2
,
b c a a b c 解得222
a b c
所以椭圆E 212
y ．
（Ⅱ）设点1122(y ),B(,y ),A x x AB 中点为00H(,y )x ．
由222
21
(m 2)y 230,1
4
2
x my my x y 得
1222y +y =,y y =2m 2，从而2
2
m 2
.2222220000095()y (my )y (m +1)y +44x
22
22
121212()(y )(m +1)(y )44
x x y y
22221212012(m +1)[(y )4y ]
(m +1)(y y )4
y y y ,
故
2222
2
20122
22|AB|52553(m +1)25172
my (m +1)y 04
216
2(m 2)m 21616(m 2)
m m y
AB 为直径的圆外． 解法二：（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）设点1122(y ),B(,y ),A x x ，则112299
GA (,),GB (,).44
x y x y u u u r
由222
2
1
(m 2)y 230,1
42x my my x y
得所以1222
,y y =2m 2
， 12
121
21299
55
GA GB ()()(my )(my )4
4
44
x x y y y y u u u r u u u r 222
12
1222525
53(m +1)25(m +1)y (y )416
2(m 2)m 216m y m y
22172
016(m 2)
m 所以cos GA,GB
0,GA GB u u u r u
u u r
u u u r u u u r
又
，不共线，所以AGB 为锐角.
故点
AB 为直径的圆外．
考点：1、椭圆的标准方程；2、直线和椭圆的位置关系；3、点和圆的位置关系． 16．
【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷带解析）
【解析】（Ⅰ）由于椭圆C
点
()
01
P，
且离心率
22
a=，椭圆C的方程为
(0,1),(,)
P A
m n
Q,直线PA
（Ⅱ）(0,1),(,)
P B m n
-
Q，直线PB
的方程为：
PB与x轴交于点N
设0
(0,)
Q y
,tan tan
OQM ONQ OQM ONQ
∠=∠∴
∠=∠
Q,
（注：点
()
A m n
，()0
m≠
在椭圆C上，，使得OQM ONQ
∠=∠.考点：1.求椭圆方程；2.求直线方程及与坐标轴的交点；3.存在性问题.。