多目标规划求解方法介绍
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*
0 0
0
0
0
j0
0
S x f j ( x) f j
* j
^
S
^
j 1
, j 2,3,, p
三、功效系数法：
设目标为：f1 ( x), f 2 ( x),, f p ( x) f1 ( x),, f k ( x) 其中： 要求min； f k 1 ( x),, f p ( x) 要求max。 由于量纲问题，处理目标之间的关系时往往带来困难。 1. 功效系数法：针对各目标函数 ，用功效 f j ( x)( j 1,, p) 系数 表示（俗称“打分”）： d j d j ( f j ( x)) , j 1,, p 满足： d j 或 0 d j 1 0 d j 1 使最满意时 ，最不满意时（即最差时） 。 d j 1 dj 0 2. 常用的两种产生功效系数的方法： （1）线性型： min max min f ( x ) f , max f ( x ) f , j 1,2, , p j j j 设 xS j xS
解得：b0 f j1 ( f j0 f j1 ) , b1 1 ( f j0 f j1 ) (b1 0) 0 1 代入式(△)，得到功效系数： ( f1 j f j ( x )) ( f j f j ) d j e e 同理可得当
j 1,, k
时的功效系数：
j
j j
例6：
V min F ( x) f1 ( x), f 2 ( x)T s.t. g1 ( x) x1 x2 3 0 g 2 ( x) x1 x2 8 0 ( LVP ) g 3 ( x) x1 6 0 g 4 ( x ) x2 4 0 g 5 ( x) x1 0 g 6 ( x ) x2 0
~3 ~2 ~1 ~0
二、分层序列法：
1. 基本步骤：把(VP)中的p个目标 f ( x),, f ( x) 按其重 要程度排一次序。依次求单目标规划的最优解。 2. 过程：无妨设其次序为 f1, f 2 ,, f p 先求解 min f ( x) ( P ) * * S x f ( x ) f 1 1 1 S s.t. x S 得最优值 f1 ，记 再解 min f 2 ( x) ( P2 ) * * S x f ( x ) f f s . t . x S 得最优值 2 ， 2 2 2 S1 1 依次进行，直到 * min f p ( x) f 得最优值 p ( Pp )
x(p)
Mj mj
Mj与mj规定了 f j ( x) 在有效解集中的取值范围。
第二步：选择整数r>1，确定
0 jt
f j0
的r个不同阀值：
t f mj ( M j m j ), j 1,, k 1, k 1,, p; t 0,1,, r 1 r 1
第三步：对 t 0,1,, r 1 ，分别求解问题：
，令
max 1 , f f j j dj min 0 , f f j j
故取 （2）指数型： 先讨论求最大的函数， j k 1,, p 。 e （△） d e , b1 0 考虑： j 显然，d j 有如下性质： 10. 当 f j 充分大时，d j 1 ； 20. d j 是 f j 的严格递增函数。
S x gi ( x) 0, i 1,, m
无妨设 f ( x)为主要目标，对其它各目标 f ( x),, f 给定一个期望值，不妨记为 f , f ,, f ， 则有 f min f ( x), j 2,3,, p 求解下列问题： min f ( x)
1
2
p
( x)
f1 ( x) 为主目标。
f1 ( x) 5x1 2x2
f 2 ( x) x1 4 x2
用约束法求解。设 第一步：分别求解
min f1 ( x ) s.t. x S
min f 2 ( x ) s.t. x S
f1
T
f2
6 -15 6 -15
得
x
(1)
(6,0)
§3.3 多目标规划求解方法介绍
一、约束法 1.基本思想：在多个目标函数中选择一个主要目标作为 目标函数，其它目标处理为适当的约束。
T V min F ( x) f1 ( x),, f p ( x) (VP ) s.t. g i ( x) 0, i 1, , m
~
为主目标。
f k ( x)
第一步： （1）对 j 1,2,, p ，求解单目标问题：
min f j ( x ) (VPj ) s.t. x S
(1) ( 2) ( p)
( j) ( j) T ,, xn ) ； 得解 x( j ) ( x1( j ) , x2
（2）计算 x , x ,, x 对应的各目标函数值，并对每个函 数 f j ( x) ，求其p个点值中的最大值Mj和最小值mj。得到下表： f 1(x) f 2(x) … f p(x) x(1) … f 2(x(1)) … … … f 1(x(p)) f 2(x(p)) … f 1(x(1)) M1 m1 M2 m2 … … f p(x(1)) f p(x(p)) Mp mp
可预先
0 2
0 3
0 p
0 j
xS
j
( P)s.t. gi ( x) 0, i 1,2,, m 0 f ( x ) f 0, j 2,3,, p j j
1
容易证明，约束法求问题(P)的最优解，其 Kuhn-Tucker条件与(VP)有效解的K-T条件一致。 因此，约束法求得的解是有效解。 (P)问题中各目标函数期望值的取得有多种方法， 一种方法是取一点 ，而取 得到下列问题：
( b0 b1 f j )
d j ( f j ( x) f jmin ) ( f jmax f jmin )
为了便于确定b0、b1，选取两个估计值 1 f 取 j 为合格值（勉强合格，即可接受）； f j0 为不合格值（不合格，即不可接受）。 1 1 令 e 0 . 3679 , f ( x ) f j j
x(1) x(2)
-30 3 3 -30
得
x( 2) (1,4)T
Mj mj
选定r=4:
求解
t
0
1 -8
2 -1
3 6
f 02t -15
min f1 ( x) ( Pt j )s.t. x S f 2 ( x) f 2t j 0
j=2只有一个
于是可得四组解，如图15所示。
x (1,4)T , t 0, f10 3, f 20 15; x (4.8,3.2)T , t 1, f11 17.6, f 21 8; x (6,1.75)T , t 2, f12 26.5, f 22 1; x (6,0)T , t 3, f13 30, f 23 6
由于
j 1,, k
时求 min f j ( x) ，令
min max min d 1 ( f ( x ) f ) ( f f j j j j ) 故取 j
min 1 , f f j j dj max 0 , f f j j
又
j k 1,, p 时求 max f j ( x)
min f k ( x) ( Pt j )s.t. gi ( x) 0, i 1,2,, m f j ( x) f jt j 0, j 1,, k 1, k 1,, p
) 各目标函数 f ( j k ) 可对应不同的 t (t 0,1,, r 1（共 有 r p 1 个约束问题）。求解后可得到(VP)的一有 效解集合，是(VP)有效解集合的一个子集。
j j j
p 1p
p
j
1 p
j 1
j
j
j 1
i
*
* j
xS
j
p
j 1
j
* 2 j
p
j 1
j
* q 1q j
从不同角度出发，构造评价函数h(F)，求 min h( F ( x)) 问题 s.t. x S , 得到(VP)的有效解。 下面介绍一些评价函数的构造(即不同的方法)。 2. 平方和加权法： min f ( x) ( P ) 求出各单目标问题 s.t. g ( x) 0, i 1,2,, m 最优值的下界 f (期望的最好值)。 令评价函数 h(F ) ( f ( x) f ) 其中 , ,, 为预先确定的一组权数，且满足
d j e 0 e 0 . 0660 , f ( x ) f j j
1 ( b0 b 1f j ) 1 e e e 并取 0 ( b0 b 1f j ) e e e e
f j0 , f j1 ：
得
1 b b f 0 1 j 0 0 b b f 0 1 j 1
dj e
e
0 1 ( f j ( x ) f 1 j) ( fj fj)
3.利用功效系数求解问题(VP)： 设(VP)的功效系数为 d d ( f ( x)), j 1,2,, p 令 h(F ) ( d ) max h( F ( x)) ( d ( f ( x))) ( P) s.t. g ( x) 0, i 1, , m 构造问题： 可以证明：上述问题(P)的最优解 x ，即原问题 (VP)的有效解。 四、评价函数法： 1.理想点法： f min f ( x), j 1,2,, p 设 ，即各单目标问题的最优值。 令评价函数 h( F ) ( f ( x) f ) ，做为目标函数。 h( F ) ( ( f ( x) f ) ) 更一般地，取
x ( 0) S
f j0 f j ( x(0) ), j 2,3,, p
2. 算法一般步骤： 考虑上述(VP)问题，
min f1 ( x) ( P)s.t. g i ( x) 0, i 1,2,, m ( 0) f ( x ) f ( x ), j 2,3,, p j j
j j
j
i
0 j
p
j 1
j
j
0 j
1
2
p
j 0, j 1,2,, p; j 1
j 1
p
j
的值为各目标函数的权数，较重要的取值较大。
3.
lg
范数和加权法：
f j0
同上面类似，先求出各单目标问题的最优值下界 取 q 1 ，构造评价函数：
1 p
1 1
s.t. x S p 1
p 1
则 S p x f p ( x)
最优解集合。
3. 性质： S p S pa ，即在分层序列意义下的最优解是有 效解。 ~ ~ ~ * 证明：反证。设 x S p ，但 x S pa ，则必存在 y S ~ ~ 使 F ( y ) F ( x) ~ ~ ~ ~ 即至少有一个j0 ，使 f j ( y) f j ( x), j 1,, j0 1 , f j ( y ) f j ( x) ~ ~ 由于 x S j ，即 f j ( x) f j* min f j ( x) xS ， 矛盾。得证。 4. 进一步讨论： 上述方法过程中，当某个问题(Pj)的解唯一时，则 问题 Pj 1 ,, Pp 的求解无意义，因为解都是唯一的。 实际求解时，有较宽容意义下的分层序列法： 取 1 0,, p1 0 为预先给定的宽容值，整个解法同原 方法类似，只是取各约束集合时，分别取为：
0 0
0
0
0
j0
0
S x f j ( x) f j
* j
^
S
^
j 1
, j 2,3,, p
三、功效系数法：
设目标为：f1 ( x), f 2 ( x),, f p ( x) f1 ( x),, f k ( x) 其中： 要求min； f k 1 ( x),, f p ( x) 要求max。 由于量纲问题，处理目标之间的关系时往往带来困难。 1. 功效系数法：针对各目标函数 ，用功效 f j ( x)( j 1,, p) 系数 表示（俗称“打分”）： d j d j ( f j ( x)) , j 1,, p 满足： d j 或 0 d j 1 0 d j 1 使最满意时 ，最不满意时（即最差时） 。 d j 1 dj 0 2. 常用的两种产生功效系数的方法： （1）线性型： min max min f ( x ) f , max f ( x ) f , j 1,2, , p j j j 设 xS j xS
解得：b0 f j1 ( f j0 f j1 ) , b1 1 ( f j0 f j1 ) (b1 0) 0 1 代入式(△)，得到功效系数： ( f1 j f j ( x )) ( f j f j ) d j e e 同理可得当
j 1,, k
时的功效系数：
j
j j
例6：
V min F ( x) f1 ( x), f 2 ( x)T s.t. g1 ( x) x1 x2 3 0 g 2 ( x) x1 x2 8 0 ( LVP ) g 3 ( x) x1 6 0 g 4 ( x ) x2 4 0 g 5 ( x) x1 0 g 6 ( x ) x2 0
~3 ~2 ~1 ~0
二、分层序列法：
1. 基本步骤：把(VP)中的p个目标 f ( x),, f ( x) 按其重 要程度排一次序。依次求单目标规划的最优解。 2. 过程：无妨设其次序为 f1, f 2 ,, f p 先求解 min f ( x) ( P ) * * S x f ( x ) f 1 1 1 S s.t. x S 得最优值 f1 ，记 再解 min f 2 ( x) ( P2 ) * * S x f ( x ) f f s . t . x S 得最优值 2 ， 2 2 2 S1 1 依次进行，直到 * min f p ( x) f 得最优值 p ( Pp )
x(p)
Mj mj
Mj与mj规定了 f j ( x) 在有效解集中的取值范围。
第二步：选择整数r>1，确定
0 jt
f j0
的r个不同阀值：
t f mj ( M j m j ), j 1,, k 1, k 1,, p; t 0,1,, r 1 r 1
第三步：对 t 0,1,, r 1 ，分别求解问题：
，令
max 1 , f f j j dj min 0 , f f j j
故取 （2）指数型： 先讨论求最大的函数， j k 1,, p 。 e （△） d e , b1 0 考虑： j 显然，d j 有如下性质： 10. 当 f j 充分大时，d j 1 ； 20. d j 是 f j 的严格递增函数。
S x gi ( x) 0, i 1,, m
无妨设 f ( x)为主要目标，对其它各目标 f ( x),, f 给定一个期望值，不妨记为 f , f ,, f ， 则有 f min f ( x), j 2,3,, p 求解下列问题： min f ( x)
1
2
p
( x)
f1 ( x) 为主目标。
f1 ( x) 5x1 2x2
f 2 ( x) x1 4 x2
用约束法求解。设 第一步：分别求解
min f1 ( x ) s.t. x S
min f 2 ( x ) s.t. x S
f1
T
f2
6 -15 6 -15
得
x
(1)
(6,0)
§3.3 多目标规划求解方法介绍
一、约束法 1.基本思想：在多个目标函数中选择一个主要目标作为 目标函数，其它目标处理为适当的约束。
T V min F ( x) f1 ( x),, f p ( x) (VP ) s.t. g i ( x) 0, i 1, , m
~
为主目标。
f k ( x)
第一步： （1）对 j 1,2,, p ，求解单目标问题：
min f j ( x ) (VPj ) s.t. x S
(1) ( 2) ( p)
( j) ( j) T ,, xn ) ； 得解 x( j ) ( x1( j ) , x2
（2）计算 x , x ,, x 对应的各目标函数值，并对每个函 数 f j ( x) ，求其p个点值中的最大值Mj和最小值mj。得到下表： f 1(x) f 2(x) … f p(x) x(1) … f 2(x(1)) … … … f 1(x(p)) f 2(x(p)) … f 1(x(1)) M1 m1 M2 m2 … … f p(x(1)) f p(x(p)) Mp mp
可预先
0 2
0 3
0 p
0 j
xS
j
( P)s.t. gi ( x) 0, i 1,2,, m 0 f ( x ) f 0, j 2,3,, p j j
1
容易证明，约束法求问题(P)的最优解，其 Kuhn-Tucker条件与(VP)有效解的K-T条件一致。 因此，约束法求得的解是有效解。 (P)问题中各目标函数期望值的取得有多种方法， 一种方法是取一点 ，而取 得到下列问题：
( b0 b1 f j )
d j ( f j ( x) f jmin ) ( f jmax f jmin )
为了便于确定b0、b1，选取两个估计值 1 f 取 j 为合格值（勉强合格，即可接受）； f j0 为不合格值（不合格，即不可接受）。 1 1 令 e 0 . 3679 , f ( x ) f j j
x(1) x(2)
-30 3 3 -30
得
x( 2) (1,4)T
Mj mj
选定r=4:
求解
t
0
1 -8
2 -1
3 6
f 02t -15
min f1 ( x) ( Pt j )s.t. x S f 2 ( x) f 2t j 0
j=2只有一个
于是可得四组解，如图15所示。
x (1,4)T , t 0, f10 3, f 20 15; x (4.8,3.2)T , t 1, f11 17.6, f 21 8; x (6,1.75)T , t 2, f12 26.5, f 22 1; x (6,0)T , t 3, f13 30, f 23 6
由于
j 1,, k
时求 min f j ( x) ，令
min max min d 1 ( f ( x ) f ) ( f f j j j j ) 故取 j
min 1 , f f j j dj max 0 , f f j j
又
j k 1,, p 时求 max f j ( x)
min f k ( x) ( Pt j )s.t. gi ( x) 0, i 1,2,, m f j ( x) f jt j 0, j 1,, k 1, k 1,, p
) 各目标函数 f ( j k ) 可对应不同的 t (t 0,1,, r 1（共 有 r p 1 个约束问题）。求解后可得到(VP)的一有 效解集合，是(VP)有效解集合的一个子集。
j j j
p 1p
p
j
1 p
j 1
j
j
j 1
i
*
* j
xS
j
p
j 1
j
* 2 j
p
j 1
j
* q 1q j
从不同角度出发，构造评价函数h(F)，求 min h( F ( x)) 问题 s.t. x S , 得到(VP)的有效解。 下面介绍一些评价函数的构造(即不同的方法)。 2. 平方和加权法： min f ( x) ( P ) 求出各单目标问题 s.t. g ( x) 0, i 1,2,, m 最优值的下界 f (期望的最好值)。 令评价函数 h(F ) ( f ( x) f ) 其中 , ,, 为预先确定的一组权数，且满足
d j e 0 e 0 . 0660 , f ( x ) f j j
1 ( b0 b 1f j ) 1 e e e 并取 0 ( b0 b 1f j ) e e e e
f j0 , f j1 ：
得
1 b b f 0 1 j 0 0 b b f 0 1 j 1
dj e
e
0 1 ( f j ( x ) f 1 j) ( fj fj)
3.利用功效系数求解问题(VP)： 设(VP)的功效系数为 d d ( f ( x)), j 1,2,, p 令 h(F ) ( d ) max h( F ( x)) ( d ( f ( x))) ( P) s.t. g ( x) 0, i 1, , m 构造问题： 可以证明：上述问题(P)的最优解 x ，即原问题 (VP)的有效解。 四、评价函数法： 1.理想点法： f min f ( x), j 1,2,, p 设 ，即各单目标问题的最优值。 令评价函数 h( F ) ( f ( x) f ) ，做为目标函数。 h( F ) ( ( f ( x) f ) ) 更一般地，取
x ( 0) S
f j0 f j ( x(0) ), j 2,3,, p
2. 算法一般步骤： 考虑上述(VP)问题，
min f1 ( x) ( P)s.t. g i ( x) 0, i 1,2,, m ( 0) f ( x ) f ( x ), j 2,3,, p j j
j j
j
i
0 j
p
j 1
j
j
0 j
1
2
p
j 0, j 1,2,, p; j 1
j 1
p
j
的值为各目标函数的权数，较重要的取值较大。
3.
lg
范数和加权法：
f j0
同上面类似，先求出各单目标问题的最优值下界 取 q 1 ，构造评价函数：
1 p
1 1
s.t. x S p 1
p 1
则 S p x f p ( x)
最优解集合。
3. 性质： S p S pa ，即在分层序列意义下的最优解是有 效解。 ~ ~ ~ * 证明：反证。设 x S p ，但 x S pa ，则必存在 y S ~ ~ 使 F ( y ) F ( x) ~ ~ ~ ~ 即至少有一个j0 ，使 f j ( y) f j ( x), j 1,, j0 1 , f j ( y ) f j ( x) ~ ~ 由于 x S j ，即 f j ( x) f j* min f j ( x) xS ， 矛盾。得证。 4. 进一步讨论： 上述方法过程中，当某个问题(Pj)的解唯一时，则 问题 Pj 1 ,, Pp 的求解无意义，因为解都是唯一的。 实际求解时，有较宽容意义下的分层序列法： 取 1 0,, p1 0 为预先给定的宽容值，整个解法同原 方法类似，只是取各约束集合时，分别取为：