高考数学一轮总复习第八章解析几何8.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程课时训练理(2021年整理)

2019年高考数学一轮总复习第八章解析几何8.1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程课时跟踪检测理
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8。

1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程[课时跟踪检测]
[基础达标]
1．直线x sin2－y cos2＝0的倾斜角的大小是（）
A．－错误!B．－2
C。

错误!D．2
解析：因为直线x sin2－y cos2＝0的斜率k＝错误!＝tan2，所以直线的倾斜角为2.
答案:D
2．已知点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是( ) A．8 B．2错误!
C。

错误!D．16
解析:∵点P（x，y）在直线x＋y－4＝0上，∴y＝4－x，∴x2＋y2＝x2＋（4－x)2＝2（x－2)2＋8，当x＝2时，x2＋y2取得最小值8。

答案：A
3．（2018届太原质检）若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为（1，－1)，则直线l的斜率为( ）
A.错误!B．－错误!
C．－错误!D．错误!
解析：依题意,设点P（a,1），Q(7，b），则有错误!解得a＝－5，b＝－3，从而可知直线l的斜率为错误!＝－错误!。

答案：B
4．直线l：x sin30°＋y cos150°＋1＝0的斜率是（)
A.错误!B．错误!
C．－错误!D．－错误!
解析：设直线l的斜率为k,则k＝－错误!＝错误!。

答案：A
5．倾斜角为135°,在y轴上的截距为－1的直线方程是（)
A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0
解析：直线的斜率为k＝tan135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1,即x＋y＋1＝0.
答案：D
6．（2017届秦皇岛模拟)倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是( )
A.错误!x－y＋1＝0 B．错误!x－y－错误!＝0
C.3x＋y－错误!＝0 D．错误!x＋y＋错误!＝0
解析：由于倾斜角为120°，故斜率k＝－ 3.又直线过点(－1,0）,所以直线方程为y＝－错误!(x＋1)，即错误!x＋y＋错误!＝0。

答案：D
7．已知直线l过点(1，0）,且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍,则直线l的方程为( ）
A．4x－3y－3＝0 B．3x－4y－3＝0
C．3x－4y－4＝0 D．4x－3y－4＝0
解析：由题意可设直线l0,l的倾斜角分别为α，2α，因为直线l0：x －2y－2＝0的斜率为错误!，则tanα＝错误!，所以直线l的斜率k＝tan2α＝错误!＝错误!＝错误!，所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝错误!(x－1)，即4x－3y－4＝0。

答案：D
8．已知M（1,2)，N（4,3）,直线l过点P(2，－1)且与线段MN相交，那么直线l的斜率k的取值范围是（)
A．(－∞,－3]∪［2，＋∞）
B。

错误!
C．［－3,2]
D.错误!∪错误!
解析：由题意，得k PN＝错误!＝2，k PM＝错误!＝－3，作出示意图如图所示,
则k≤－3或k≥2.故选A。

答案：A
9．(2018届豫西五校联考)曲线y＝x3－x＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为________．
解析:设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈［0，π))，
因为y′＝3x2－1≥－1，所以tanθ≥－1，
结合正切函数的图象可知，θ的取值范围为0，错误!∪错误!。

答案：错误!∪错误!
10．设点A（－1，0），B（1，0),直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．
解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距,如图,当直线y＝－2x＋b 过点A(－1，0)和点B（1,0)时,b分别取得最小值和最大值．∴b的取值范围是[－2,2］．
答案：[－2,2]
11．已知直线l：错误!＋错误!＝1.
(1）若直线l的斜率等于2，求实数m的值;
(2)若直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点,O是坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线的方程．
解：(1)根据直线l的方程：x
m
＋错误!＝1可得直线l过点(m，0），（0,4
－m），所以k＝错误!＝2，解得m＝－4。

(2）直线l过点(m,0),(0，4－m)，则由m>0，4－m>0,得0〈m<4,则S△AOB ＝错误!＝错误!,则m＝2时，S△AOB有最大值2，此时直线l的方程为x＋y－2＝0。

12。

如图,射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，
0）的直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝
1
2
x上时，求直线AB的方程．
解：由题意可得k OA＝tan45°＝1，
k OB＝tan（180°－30°)＝－错误!，
所以直线l OA:y＝x，l OB：y＝－错误!x。

设A（m，m）,B(－错误!n，n）,
所以AB的中点C错误!，
由点C在直线y＝错误!x上，且A，P，B三点共线得
错误!
解得m＝错误!，所以A(错误!，错误!）．
又P(1，0），所以k AB＝k AP＝错误!＝错误!，
所以l AB:y＝错误!（x－1），
即直线AB的方程为(3＋错误!）x－2y－3－错误!＝0.
［能力提升]
1．已知曲线y＝错误!，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．
解析：y′＝错误!＝错误!，因为e x〉0,所以e x＋错误!≥2错误!＝2当且仅当e x＝错误!，即x＝0时取等号，所以e x＋错误!＋2≥4，故y′＝错误!≥－错误! (当且仅当x＝0时取等号）．
所以当x＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为错误!，切线的方程为y－错误!＝－错误!(x－0），即x＋4y－2＝0.该切线在x轴上的截距为2，在y轴上的截距为错误!，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形
的面积S＝1
2
×2×错误!＝错误!。

答案：错误!
2．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）．
（1）证明：直线l过定点;
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围;
(3）若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B，O为坐标原点,设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
解:（1)证明：直线l的方程可化为y＝k（x＋2)＋1,故无论k取何值，直线l总过定点（－2,1)．
（2）直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1,要使直线l不经过第四象限，则错误!解得k≥0,故k的取值范围是[0，＋∞)．
（3）依题意，直线l在x轴上的截距为－1＋2k
k
,在y轴上的截距为1＋
2k，
∴A错误!，B（0，1＋2k)．
又－错误!〈0且1＋2k>0，∴k〉0.
故S＝1
2
｜OA｜｜OB｜＝
1
2
×错误!×(1＋2k)＝
错误!错误!≥错误!（4＋4)＝4,
当且仅当4k＝错误!，又k〉0即k＝错误!时取等号．
故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0。