北京市东城区综合练习(二)(理).doc

2006—2007学年度北京市东城区综合练习（二）
高 三 数 学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。

考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试卷上。

一、选择题：本大题共8小题。

每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项。

1．在复平面内，复数i
i
-1对应的点位于
（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．若集合}4,2{},,3{2
==B a A ，则“2=a ”是“}4{=B A ”的 （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．设函数a a f x x x x x f >⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=)(.0,1,0,132
)(若，则实数a 的取值范围是 （ ）
A ．)3,(--∞
B ．)1,(--∞
C ．),1(+∞
D ．（0，1）
4．某小组有6名女生，8名男生，这14名同学排成一行，其中A ，B ，C ，D 四名女生必须
排在一起，另两名女生不相邻且不与前4名女生相邻，则不同的排法共有 （ ）
A ．8
829A A 种
B ．4
46678A A A 种
C ．4
43988A A A 种
D ．4
45859A A A 种
5．斜率为2的直线l 过双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的右焦点，且与双曲线的左、右两支
分别相交，则双曲线的离心率e 的取值范围 （ ）
A ．2>
e B ．31<<e C ．51<<e D ．5>e
6．如图，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD 为正三角形，底面 ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP=MC ，则点M 在正方形ABCD 内 的轨迹为 （ ）
7．函数d cx bx ax x f +++=2
3
)(的图象如图所示，
则)1()1(-+f f 的值一定 （ ）
A ．等于0
B ．大于0
C ．小于0
D ．小于或等于0
8．若)1()2)(1(:*,,-+++=∈∈n x x x x H N n R x n
x 规定，例如： 7
333)(,6)1()2()3(--⋅=-=-⋅-⋅-=x H x x f H 则函数
（ ）
A ．是奇函数不是偶函数
B ．是偶函数不是奇函数
C ．即是奇函数又是偶函数
D ．即不是奇函数又不是偶函数
第Ⅱ卷（共110分）
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。

2．答卷前将密封线内项目填写清楚。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

把答案填在题中横线上。

9．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2= .
10．在二项式n
x )31(-的展开式中，若所有项的系数之和等于64，那么n = .
这个展开式中含x 2项的系数是 . 11．函数(]2,,)(2
-∞-∈-=x x x f 的反函数=-)(1
x f
.
12．已知函数)(,1,1,11
)(3x f x a x x x x f 若⎪⎩
⎪
⎨⎧=≠--=在R 上连续，则a = ，此时
=+-∞
→)321(
lim n
a
n an n . 13．已知点P (x ,y)满足条件3),(02,
,
0+=⎪⎩
⎪
⎨⎧≤++≤≥x z k k y x x y x 若为常数y 的最大值为8，则
k = .
14．定义一种运算“*”，它对于整数n 满足以下运算性质： （1）2*1001=1；（2）（2n +2）*1001=3·[（2n ）*1001]，则2008*1001的值是 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15．（本小题共13分）
设函数0)()(2=+-=y ex e bx ax x f x 的图象与直线相切于点A ，且点A 的横坐标为1. （Ⅰ）求a ，b 的值；
（Ⅱ）求函数f (x )的单调区间，并指出在每个区间上的增减性.
16．（本小题共13分） 已知△ABC
的三个内角分别为A ，B ，C ，向量
)0,2()c o s 1,(s i n =-=n B B m 与向量 夹角的余弦角为.2
1
（Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）求C A sin sin +的取值范围.
17．（本小题共14分）
如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，且PA=AB=2，E 是PB 的中点，F 是AD 的中点. （Ⅰ）求异面直线PD 一AE 所成角的大小； （Ⅱ）求证：EF 平面PBC ；
（Ⅲ）求二面角F —PC —B 的大小.
18．（本小题共13分）
若这名学生投两次飞镖，记两次投中的最高环数为ξ. （Ⅰ）求该名学生两次都投中8环的概率； （Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望E ξ.
19．（本小题共13分）
已知双曲线122
22=-b
y a x 的右焦点是F ，右顶点是A ，虚轴的上端点是B ，且
.120,1 =∠-=⋅BAF
（Ⅰ）求双曲线C 的方程；
（Ⅱ）过点P(0,4)的直线l ，交双曲线C 于M 、N 两点，交x 轴于点Q （点Q 与双曲线C
的顶点不重合），当7
32
,,2121-=+==λλλλ且ON OM PQ 时，求点Q 的坐标.
20．（本小题共14分） 已知函数)(),(),,(,13log )(22113
x f y x N y x M x
x
x f 是-=图象上的两点，横坐标为2
1
的点P 满足OM +=2（O 为坐标原点）. （Ⅰ）求证：21y y +为定值； （Ⅱ）若n n S n N n n
n f n f n f S 求且其中,2,),1
(
)2()1(*≥∈-++= ； （Ⅲ）已知}{,.
2,)1)(1(41,1,6
1*1n n n n n a T N n n S S n a 为数列其中∈⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥++==+的前n 项和，
若
*
1)1(N n S m T n n ∈+<+对一切都成立，试求m 的取值范围.
参考答案
一、选择题：本大题共8小题。

每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项。

1．C 2．A 3．B 4．C 5．D 6．A 7．B 8．B
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

把答案填在题中横线上。

9．－6 10．6 135 11．(]4,,-∞-∈--
x x
12．3 3 13．－6 14．31003
注：两个空的填空题对一个得3分。

三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（本小题共13分）
解：（Ⅰ）x
x
x
e b x b a ax e bx ax e b ax x
f ])2([)()2()(2
2
--+=-+-=' (2)
分
由于f (x )的图象与直线0=+y ex 相切于点A ，点A 的横坐标为1，
则).,1(e A -
所以⎩⎨
⎧-='-=.
)1(,
)1(e f e f (4)
分
即.2,1)23()(==⎩
⎨⎧-=--=-b a e e b a e
e b a 解得 …………………………………………………7分
（Ⅱ）由),(,)2()(,2,12+∞-∞-===定义域为得x
e x x x
f b a ，
.)2)(2()2()(2x x
e x x e x x
f +-
=-=' ……………………………………… 9分
令22,0)(>-<>'x x x f 或解得；
令.22,0)(<
<-<'x x f 解得
故函数),2(),2,()(+∞--∞在区间x f 上分别单调递增，
在区间)2,2(-上单调递减 …………………………………………………………13分
16．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）),0,2(),cos 1,(sin =-=n B B m
.2
1
||||,c o s
=⋅⋅>=<∴n m n m n m ………………………………………………………2分
即
.2
1cos 222sin 2=-B B
.01c o s
c o s 22
=--∴B B 解得1cos 2
1cos =-=B B 或（舍） π<<B 0 .3
2π
=
∴B ……………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知3
π
=
+C A
).3
sin(cos 23sin 21)3
sin(
sin sin sin ππ
+=+=
-+=+∴A A A A A C A …… 9分
3
0π
<<A ，
.3
23
3
ππ
π
<
+
<∴
A .1,23)3s i n (⎥⎦
⎤
⎝⎛∈+∴π
A
即.1,23sin sin ⎥⎦
⎤
⎝⎛∈+cC A …………………………………………………………13分 17．（本小题共14分）
解法一：
（Ⅰ）连结BD
∵PD ⊥平面ABCD ，
∴平面PDB ⊥平面ABCD ，
过点E 作EO ⊥BD 于O ，连结AO. 则EO ∥PD ，且EO ⊥平面ABCD.
∴∠AEO 为异面直线PD ，AE 所成的角…………3分 ∵E 是PB 的中点， 则O 是BD 的中点，
且EO=
2
1
PD=1. 在Rt △EOA 中，AO=2，
2tan ==
∴EO
AO
AEO . 即异面直线PD 与AE 所成角的大小为.2arctan ……………………………… 5分 （Ⅱ）连结FO ， ∵F 是AD 的中点，
∴OF ⊥AD.
∵EO ⊥平面ABCD ，
由三垂线定理，得EF ⊥AD. 又∵AD ∥BC ，
∴EF ⊥BC. …………………………………………………………………………… 7分 连结FB.
可求得FB = PF =.5 则EF ⊥PB.
又∵PB ∩BC = B ，
∴EF ⊥平面PBC. ……………………………………………………………………10分 （Ⅲ）取PC 的中点G ，连结EG ，FG.
则EG 是FG 在平面PBC 内的射影 ∵PD ⊥平面ABCD ， ∴PD ⊥BC 又DC ⊥BC ，且PD ∩DC = D ，
∴BC ⊥平面PDC ， ∴BC ⊥PC ， ∵EG ∥BC ， 则EG ⊥PC ∴FG ⊥PC
∴∠FGE 是二面角F —PC —B 的平面角 …………………………………………12分 在Rt △FEG 中，EG=
2
1
BC = 1，GF = 322=+DG DF ，
.33
3
1cos ===
∴FG EG FGE ∴二面角F —PC —B 的大小为.3
3
arccos
解法二：
（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则
A （0，2，0），
B （2，2，0），
C （2，0，0），
D （0，0，0），P （0，0，2），
E （1，1，1）……2分
.3
33
22||||,cos ,2||,3||.2210)1(01).2,0,0(),1,1,1(==
⋅>=
<∴===⨯+⨯-+⨯=⋅∴=-=∴DP AE DP AE DP AE DP AE 又
故异面直线AE 与DP 所成角的大小为.3
3
arccos
………………………………6分 （Ⅱ）).2,0,2(),2,2,2(),1,0,1(),0,1,0(-=-=--=F
,
.,0)2()1(002)1(.
,0)2()1(202)1(P PC PB PC EF PB EF =⊥∴=-⨯-+⨯+⨯-=⋅⊥∴=-⨯-+⨯+⨯-=⋅∴ 又 ∴EF ⊥平面PBC. ……………………………………………………………………10分 （Ⅲ）设平面PFC 的法向量为).,,(z y x m =
)0,1,2(-=FC
则⎩⎨⎧=-=-⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.022,02.
0,0z x y x PC m m 则 令).1,2,1(,1==m z 则 由（Ⅱ）知平面PBC 的法向量为).1,0,1(=
.3
3
2
62,cos =
⋅=
>
<m 则二面角F —PC —B 的大小为为.3
3
arccos
……………………………………14分 18．（本小题共13分）
解：（Ⅰ）设该名学生两次都投中8环的概率为P ， 则P = 0.52 = 0.25.
即该名学生两次都投中8环的概率为0.25. （Ⅱ）ξ的可能取值为8，9，10
.
36.02.02.03.05.02.0)10(39
.03.03.03.05.0)9(;
25.05.05.0)8(222121
2=+⨯⨯+⨯⨯===⨯=⨯⨯===⨯==∴C C P C P P ξξξ
故ξ
…………………………9分 ξ的数学期望
E ξ= 8×0.25 + 9×0.39 +10×0.36 = 9.11 ………………………………………………13分
19．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由条件知).0,(),0(),0,(c F b B a A
.1)()0,(),(-=-=-⋅-=⋅c a a a c b a ① ……………………………2分
.2
1
120cos )()(cos -==-=--=
=
c a a c c c a a BAF
.2a c =∴ ② ………………………………………………………………………4分
解①，②得.2,1==c a 则.32
2
2
=-=a c b
故双曲线C 的方程为.13
2
2
=-y x ……………………………………………………6分 （Ⅱ）由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零， 设l 的方程为：).0,4(),,(),,(,42211k
Q y x N y x M kx y -
+=则
).
,4
()44(.
1111y k
x k QM PQ +=-⋅-∴=∴λλ ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
-=--=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-∴11
11
111
14,44.4),4(4λλλλy k k x y k x k ……………………………………8分 ),(11y x M 在双曲线C 上，
.01316
)1(1621
2112=--+∴
λλλk .
03
161632)16(.03
16163216212
12222
2
11=-++-∴=--
++∴k k k k λλλλλ
同理.03
161632)16(2
22
22--
++-k k λλ …………………………………………11分 若0162
=-k ，则直线l 过项点，不合题意，∴0162
≠-k
03
161632)16(,2
2221=-
++-∴k x x k 是二次方程λλ的两根 .
3,0,9.
732
16
322221±=∴>∆=∴-=-=
+∴k k k 此时λλ ∴所求Q 点的坐标为).0,3
4
(± …………………………………………………………13分
20．（本小题共14分）（Ⅰ）证：由已知可得，)(2
1
+=
， ∴P 是MN 的中点，有x 1 + x 2 = 1.
2
1212
13
212
132
2
11322
3
113
2121)(13log )1)(1(3log )1313(log 13log 13log )
()(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f y y ++-=--=-⋅-=-+-=+=+∴
.1113log 2
12
13
=+-=x x x x ……………………………………………………5分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知当1)()(,1112121=+=+=+x f x f y y x x 时
),
1
()2()1(),
1
()2()1(n
f n f n n f S n n f n f n f S n n +++-=-+++= 相加得
1
111)]
1
()1([)]2()2[()]1()1([21
)1(-=+++=+-++-++-+=-n n f n n f n n f n n n f n f S n n
个 .2
1
-=
∴n S n …………………………………………………………………………10分 （Ⅲ）解：当2≥n 时，
.21
11)2)(1(12
22141)
1)(1(411+-+=++=+⋅
+⨯=++=+n n n n n n S S a n n n
又当n = 1时，
)
2111()5141()4131()3121(.21
11.3
1
21611--+++-+-+-=+-+=∴-==
n n T n n a a n n
.)
2(2+=n n
(12)
分
由于*
1)1(N n S m T n n ∈+<+对一切都成立，
4
41
)
2(1
2
1++=+=
+>
+n
n n n
S T m n n 44
≥+
n
n ，当且仅当n = 2时，取“=”，
.81441141=+≤++∴n
n 因此.8
1>m 综上可知，m 的取值范围是).,81(+∞ ………………………………………………14分。