中考数学提高题专题复习全全等三角形截长补短练习题及解析

中考数学提高题专题复习全全等三角形截长补短练习题及解析
一、全等三角形截长补短
1．阅读下面材料，完成(1)-(3)题．
数学课上，老师出示了这样一道题：
如图1，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为BC 边上的中线，以AB 为边向AB 左侧作等边△ABE ，直线CE 与直线AD 交于点F ．请探究线段EF 、AF 、DF 之间的数量关系，并证明． 同学们经过思考后，交流了自己的想法：
小明：“通过观察和度量，发现∠DFC 的度数可以求出来．”
小强：“通过观察和度量，发现线段DF 和CF 之间存在某种数量关系．”
小伟：“通过做辅助线构造全等三角形，就可以将问题解决．”
......
老师：“若以AB 为边向AB 右侧作等边△ABE ，其它条件均不改变，请在图2中补全图形,探究线段EF 、AF 、DF 三者的数量关系，并证明你的结论．”
（1）求∠DFC 的度数；
（2）在图1中探究线段EF 、AF 、DF 之间的数量关系，并证明；
（3）在图2中补全图形，探究线段EF 、AF 、DF 之间的数量关系，并证明．
2．已知：在ABC 中，90BAC ︒∠=，AB AC =．将ABC 按如图所示的位置放置在平面直角坐标系中，使得点(0,)A m 落在y 轴的负半轴上，使得点(,0)B n 落在x 轴的正半轴上，点C 在第二象限，并且,m n 满足2268250m n m n ++-+=．
（1）由题意可知OA =_____，OB =_____（直接写答案）；
（2）求点C 的坐标；
（3）ABC 的斜边BC 交y 轴于D ，直角边AC 交x 轴于E ．在AC 上截取AF CE =，连接DF ．探究线段DF AD BE 、、的数量关系并证明你的结论．
3．阅读与理解：
折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在ABC 中，AB AC >（如图），怎样证明C B ∠>∠呢？
分析：把AC 沿A ∠的角平分线AD 翻折，因为AB AC >，所以，点C 落在AB 上的点C '处，即AC AC '=，据以上操作，易证明ACD AC D '△△≌，所以AC D C '∠=∠，又因为AC D B '∠>∠，所以C B ∠>∠．
感悟与应用：
（1）如图（a ），在ABC 中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，CD 平分ACB ∠，试判断AC 和AD 、BC 之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图（b ），在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，16AC =，8AD =，12DC BC ==，
①求证：180B D ∠+∠=︒；
②求AB 的长．
4．如图，△ABC 为等边三角形，直线l 经过点C ，在l 上位于C 点右侧的点D 满足∠BDC ＝60°．
（1）如图1，在l 上位于C 点左侧取一点E ，使∠AEC ＝ 60°，求证：△AEC ≌△CDB ； （2）如图2，点F 、G 在直线l 上，连AF ，在l 上方作∠AFH ＝120°，且AF ＝HF ，∠HGF ＝120°，求证：HG ＋BD ＝CF ；
（3）在（2）的条件下，当A 、B 位于直线l 两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG 、CF 、BD 的数量关系为 ．
5．阅读题：如图1，OM 平分AOB ∠，以O 为圆心任意长为半径画弧，交射线OA ，OB 于C ，D 两点，在射线OM 上任取一点E （点O 除外），连接CE ，DE ，可证OCE ODE △△≌，请你参考这个作全等的方法，解答下列问题：
（1）如图2，在ABC 中，2A B ∠=∠，CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，试判断BC 与AC 、AD 之间的数量关系；
（2）如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，10BC CD ==，20AB =，8AD =，求ABC 的面积．
6．（1）如图①，Rt ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 为BC 边上的一点，将ABD △绕点A 逆时针旋转90°至ACF ，作AE 平分DAF ∠交BC 于点E ，易证明：222BD CE DE +=．若2DE BD ，则以BD 、DE 、EC 为边的三角形的形状是______；
（2）如图②，四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，AB AD =，若四边形ABCD 的面积是32，2CD =，求BC 的长度；
（3）ABC 是以BC 为底的等腰直角三角形，点D 是ABC 所在平面内一点，且满足4=AD ，6BD =，2CD =，请画草图并求ADC ∠的度数．
7．已知等腰△ABC中，AB=AC，点D在直线AB上， DE∥BC，交直线AC与点E，且
BD=BC，CH⊥AB，垂足为H．
（1）当点D在线段AB上时，如图1，求证DH=BH+DE；
（2）当点D在线段BA延长线上时，如图2，当点D在线段AB延长线上时，如图3，直接写出DH，BH，DE之间的数量关系，不需要证明．
8．数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的角平分线CF于点F，求证：AE=EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
9．如图，在等边△ABC中，BD＝CE，连接AD、BE交于点F．
（1）求∠AFE的度数；（2）求证：AC•DF＝BD•BF；
（3）连接FC，若CF⊥AD时，求证：BD＝1
2 DC．
10．阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题
数学课上，老师出示了这样一道题：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=AD，E为对角线AC上一点，∠BEC=∠BAD=2∠DEC，探究AB与BC的数量关系．
某学习小组的同学经过思考，交流了自己的想法：
小柏：“通过观察和度量，发现∠ACB=∠ABE”；
小源：“通过观察和度量，AE和BE存在一定的数量关系”；
小亮：“通过构造三角形全等，再经过进一步推理，就可以得到线段AB与BC的数量关系”．
……
老师：“保留原题条件，如图2， AC上存在点F，使DF=CF=k AE，连接DF并延长交BC于
点G，求AB
FG
的值”．
（1）求证：∠ACB=∠ABE；
（2）探究线段AB与BC的数量关系，并证明；
（3）若DF=CF=k AE，求AB
FG
的值（用含k的代数式表示）．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、全等三角形截长补短
1．（1）60°；（2）EF=AF+FC，证明见解析；（3）AF=EF+2DF，证明见解析．
【分析】
（1）可设∠BAD＝∠CAD＝α，∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，根据三角形内角和可得2α＋60＋2β＝180°，从而有α＋β＝60°，即可得出∠DFC的度数；
（2）在EC上截取EG＝CF，连接AG，证明△AEG≌△ACF，然后再证明△AFG为等边三角形，从而可得出EF＝EG＋GF＝AF＋FC；
（3）在AF上截取AG＝EF，连接BG，BF，证明方法类似（2），先证明△ABG≌△EBF，再证明△BFG为等边三角形，最后可得出结论．
【详解】
解：（1）∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴可设∠BAD＝∠CAD＝α，
又△ABE为等边三角形，
∴AE=AB=AC，∠EAB=60°，∴可设∠AEC＝∠ACE＝β，
在△ACE中，2α＋60°＋2β＝180°，
∴α＋β＝60°，
∴∠DFC=α＋β＝60°；
（2）EF=AF+FC，证明如下：
∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠FDC=90°，
∵∠CFD＝60°，则∠DCF=30°，
∴CF＝2DF，
在EC上截取EG＝CF，连接AG，
又AE=AC，
∴∠AEG=∠ACF，
∴△AEG≌△ACF（SAS）,
∴∠EAG＝∠CAF，AG＝AF，
又∠CAF=∠BAD，
∴∠EAG=∠BAD，
∴∠GAF＝∠BAD+∠BAG=∠EAG+∠BAG=∠60°，
∴△AFG为等边三角形，
∴EF＝EG＋GF＝AF＋FC，
即EF=AF+FC；
（3）补全图形如图所示，
结论：AF=EF+2DF ．证明如下：
同（1）可设∠BAD ＝∠CAD ＝α，∠ACE ＝∠AEC ＝β，
∴∠CAE ＝180°－2β，
∴∠BAE ＝2α＋180°－2β＝60°，∴β－α＝60°，
∴∠AFC=β－α＝60°，
又△ABE 为等边三角形，∴∠ABE=∠AFC=60°，
∴由8字图可得：∠BAD ＝∠BEF ，
在AF 上截取AG ＝EF ，连接BG ，BF ，
又AB=BE ，
∴△ABG ≌△EBF （SAS ），
∴BG ＝BF ，
又AF 垂直平分BC ，
∴BF=CF ，
∴∠BFA=∠AFC=60°，
∴△BFG 为等边三角形，
∴BG=BF ，又BC ⊥FG ，∴FG=BF=2DF ，
∴AF ＝AG ＋GF ＝BF ＋EF ＝2DF ＋EF ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是常用辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．
2．（1）3，4；（2）(3,1)C -；（3）BE=DF+AD ，理由见解析
【分析】
（1）由非负数的性质求出m ，n 即可；
（2）如图，作CH ⊥y 轴于点H ，只要证明△ACH ≌△BAO 即可解决问题；
（3）在OB 上取一点K ，使得OK=DH ，则△CHD ≌△AOK ，再证明DF=EK ，AD=BK 即可解决问题．
【详解】
解：（1）∵2268250m n m n ++-+=
∴22(3)(4)0m n ++-=,
∵2(3)0+≥m ，2(4)0n -≥，
∴3,4m n =-=，
∴(0,3)A -，(4,0)B
∴OA=3，OB=4，
故答案为：3，4
（2）如图，作CH ⊥y 轴于点H ，
∵∠CHA=∠AOB=∠CAB=90°，
∴∠CAH+∠ACH=90°，∠CAH+∠BAO=90°，
∴∠ACH=∠BAO ，
∵AC=BC ，
∴△ACH ≌△BAO ，
∴AH=OB=4，CH=OA=3，
∴OH=1，
∴(3,1)C -
（3）结论为：BE=DF+AD
理由：如图，在OB 上取一点K ，使得OK=DH ，
∵CH=OA ，∠CHD=∠AOK=90°，DH=OK ，
∴△CHD ≌△AOK （SAS ），
∴CD=AK ，
∵AD=BK ，AB=AC ，
∴△AKB ≌△CDA （SSS ），
∴∠KAB=∠ACD=45°，
∴∠EAK=45°=∠FCD ，
∵CE=AF ，
∴CF=AE ，
∵CD=AK ，
∴△CDF ≌△AKE （SAS ）
∴DF=KE ，
∵BE=EK+BK ，
∴BE=DF+AD
【点睛】
本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、非负数的性
质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
3．（1）BC−AC＝AD；理由详见解析；（2）①详见解析；②AB=14
【分析】
（1）在CB上截取CE＝CA，连接DE，证△ACD≌△ECD得DE＝DA，∠A＝∠CED＝60°，据此∠CED＝2∠CBA，结合∠CED＝∠CBA＋∠BDE得出∠CBA＝∠BDE，即可得DE＝BE，进而得出答案；
（2）①在AB上截取AM＝AD，连接CM，先证△ADC≌△AMC，得到∠D＝∠AMC，CD＝CM，结合CD＝BC知CM＝CB，据此得∠B＝∠CMB，根据∠CMB＋∠CMA＝180°可得；
②设BN＝a，过点C作CN⊥AB于点N，由CB＝CM知BN＝MN＝a，CN2＝BC2−BN2＝
AC2−AN2，可得关于a的方程，解之可得答案．
【详解】
解：（1）BC−AC＝AD．
理由如下：如图（a），在CB上截取CE＝CA，连接DE，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠ECD，
又CD＝CD，
∴△ACD≌△ECD（SAS），
∴DE＝DA，∠A＝∠CED＝60°，
∴∠CED＝2∠CBA，
∵∠CED＝∠CBA＋∠BDE，
∴∠CBA＝∠BDE，
∴DE＝BE，
∴AD＝BE，
∵BE＝BC−CE＝BC−AC，
∴BC−AC＝AD．
（2）①如图（b），在AB上截取AM＝AD，连接CM，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠MAC，
∵AC＝AC，
∴△ADC≌△AMC（SAS），
∴∠D＝∠AMC，CD＝CM＝12，
∵CD＝BC＝12，
∴CM＝CB，
∴∠B ＝∠CMB ，
∵∠CMB ＋∠CMA ＝180°，
∴∠B ＋∠D ＝180°；
②设BN ＝a ，
过点C 作CN ⊥AB 于点N ，
∵CB ＝CM ＝12，
∴BN ＝MN ＝a ，
在Rt △BCN 中，2222212CN BC BN a --＝＝，
在Rt △ACN 中，22222
16(8)CN AC AN a --+＝＝
， 则22221216(8)a a --+＝
， 解得：a ＝3，
即BN ＝MN ＝3，
则AB ＝8+3+3=14，
∴AB=14．
【点睛】
本题考查了四边形的综合题，以及全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质；本题有一定难度，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果． 4．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）HG=CF+BD ．
【分析】
（1）先利用角的和差证明∠BCD=∠EAC ，然后利用AAS 即可证明△AEC ≌△CDB ； （2）在l 上C 点左侧取一点E ，使∠AEC=60°，连接AE ，依次证明△AEC ≌△CDB 和△HGF ≌△FEA 即可得出结论；
（3）在l 上位于C 点右侧取一点E ，使∠AED=60°，连接AE ，在l 上取一点M ，使BM=BD ，依次证明△ACE ≌△CBM 和△HGF ≌△FEA 即可得出结论．
【详解】
解：（1）证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴AC=BC ，∠ACB=60°，
∴∠BCD+∠ACE=120°，
∵∠AEC=60°，
∴∠ACE+∠EAC=120°，
∴∠BCD=∠EAC ，
在△AEC 和△CDB 中
∵
60 AEC BDC
BCD EAC
AC BC
∠=∠=︒⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
,
∴△AEC≌△CDB（AAS）；
（2）证明：如图2，在l上C点左侧取一点E，使∠AEC=60°，连接AE，
由（1）知：△AEC≌△CDB，
∴BD=CE，
∵∠AEC=60°，
∴∠AEF =120°，
∵∠AFH ＝120°，
∴∠AFE+∠FAE=∠AFE+∠GFH=60°，
∴∠FAE=∠GFH，
∵∠HGF=∠AEF=120°，AF=FH，
∴△HGF≌△FEA（AAS），
∴GH=EF，
∴CF=EF+CE=HG+BD；
（3）解：HG=CF+BD，理由是：
如图3，在l上位于C点右侧取一点E，使∠AED=60°，连接AE，在l上取一点M，使BM=BD，
∵∠BDC=60°，
∴△BDM是等边三角形，
∴∠BMD=60°，
∵∠AED=60°，
∴∠AEC=∠CMB=120°，
∵∠ACB=60°，
∴∠ACE+∠BCE=∠ACE+∠CAE=60°，
∴∠CAE=∠BCE，
∵AC=BC，
∴△ACE≌△CBM（AAS），
∴CE=BM=BD，
由（2）可证△HGF≌△FEA（AAS），
∴GH=FE，
∵EF=CF+CE
∴HG=CF+BD．
故答案为：HG=CF+BD．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判断，三角形外角的性质等．掌握一线三等角的模型，能借助一线三等角证明对应角相等是解题关键．
5．（1）BC=AC+AD；（2）△ABC 的面积为80．
【分析】
（1）在CB上截取CE=CA，则由题意可得AD=DE，∠CED=∠A，再结合∠A=2∠B可得
DE=BE，从而得到BC=AD+AC；
（2）在AB上截取AE=AD，连结CE，过C作CF⊥AB于F点，由题意可得EC=BC，从而得到EF的长度，再由勾股定理根据EC、EF的长度求得CF的长度，最后根据面积公式可以得到解答．
【详解】
解：（1）如图，在CB上截取CE=CA，则由题意得：△CAD≌△CED，
∴AD=DE，∠CED=∠A，
∵∠A=2∠B，∴∠CED=2∠B，
又∠CED=∠B+∠EDB，∴∠B+∠EDB=2∠B，
∴∠EDB=∠B，∴DE=BE，
∴BC=BE+CE=DE+CE=AD+AC；
（2）如图，在AB上截取AE=AD，连结CE，过C作CF⊥AB于F点，
∴由题意可得：△CDA≌△CEA，
∴EC=CD=BC=10，AE=AD=8，
∵CF ⊥AB ，
∴EF=FB=
208622AB AE --==， ∴
8CF =
=， ∴112088022
ABC S AB CF =⨯=⨯⨯=． 【点睛】
本题考查三角形全等的综合运用，熟练掌握三角形全等的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理是解题关键．
6．（1）等腰直角三角形；（2）3）图见解析，135°或45°
【分析】
（1）要判断以BD 、DE 、EC 为边的三角形形状，根据题干中所给条件，只需证明BD EC =即可；
（2）先构造出ABE ADC △≌△，进而判断出CAE 是等腰直角三角形，四边形的面积等于ACE △的面积，由此求出AC ，CE 即可；
（3）分情况讨论：①当点D 在ABC 内时，作AE AD ⊥，使AE AD =，连接CE ，DE ，利用全等三角形的性质以及勾股定理的逆定理解决问题；②当点D 在ABC 外时，作AE AD ⊥，使AE AD =，连接CE ，DE ，利用全等三角形的性质以及勾股定理的逆定理解决问题．
【详解】
解：（1）222BD CE DE +=，
∴以BD 、DE 、EC 为边的三角形是直角三角形，
2DE =，设BD a =，则DE =，
2222a EC a ∴+=，
EC a ∴=，
BD EC ∴=，
∴以BD 、DE 、EC 为边的三角形的形状是等腰直角三角形．
故答案：等腰直角三角形．
（2）如图①，延长CB 至E ，使BE CD =，连接AE ，
在四边形ABCD 中，
90BAD BCD ∠=∠=︒，
180ABC ADC ∴∠+∠=︒，
180ABC ABE ∠+∠=︒，
ABE ADC ∴∠=∠，
在ABE △和ADC 中，
,,,AB AD ABE ADC BE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()ABE ADC SAS ∴△≌△，
AE AC ∴=，BAE DAC ∠=∠，
90CAE BAE BAC DAC BAC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，
212ACE S AC ∴=△， 四边形ABCD 的面积为32，ACE ABCD S S =△四边形， 21322
AC ∴=， 8AC ∴=（负值已舍），
282EC AC ∴==，
82272BC EC BE ∴=-=-=．
图①
（3）①画图如图②，③．
当点D 在ABC 内时，如图②，过点A 作AE AD ⊥，使AE AD =，连接CE ，DE ， 90BAC DAE ∠=∠=︒，
BAD CAE ∴∠=∠， 在BAD 和CAE 中，
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()BAD CAE SAS ∴≌，
6BD CE ∴==，
242DE ==2CD =，
222EC ED CD ∴=+，
90EDC ∴∠=︒，
45ADE ∠=︒，
4590135ADC ∴∠=︒+︒=︒；
②当点D 在ABC 外时，如图③，过点A 作AE AD ⊥，使AE AD =，连接CE ，DE ，
90BAC DAE ∠=∠=︒，
BAD CAE ∴∠=∠，
在BAD 和CAE 中，
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()BAD CAE SAS ∴≌，
6BD CE ∴==， 242DE AD ==，2CD =，
222EC ED CD ∴=+，
90EDC ∴∠=︒，
45ADE ∠=︒，
45ADC ∴∠=︒．
综上所述，ADC ∠的度数为135°或45°．
图② 图③
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
7．（1）见详解；（2）图2：=DH BH DE -，图3：+DE DH BH =
【分析】
（1）在线段AH 上截取HM BH =，连接CM ，CD ，证明DMC DEC △≌△，可得到DE DM =，即可求解．
（2）当点D 在线段BA 延长线上时，在BA 的延长线上截取MH BH =，连接CM ，DC ，由题意可证BHC CHM △≌△，可得B CMB ∠=∠，由题意可得=B AED ∠∠，
即可证DMC DEC △≌△，可得DE DM =，则可得DH BH DE =-；当点D 在线段AB 延长线上时，在线段AB 上截取BH HM =，连接CM ，CD ，由题意可证BHC CHM △≌△，可得B CMB ∠=∠，由题意可得B AED ∠=∠，即可证DMC DEC △≌△，可得DE DM =，则可得DE DH BH =+．
【详解】
解：（1）证明：在线段AH 上截取HM BH =，连接CM ，CD
∵CH AB ⊥，HM BH =
∴CM BC =
∴B CMB ∠=∠
∵AB AC =
∴B ACB ∠=∠
∵//DE BC
∴ADE B AED ACB ∠=∠=∠=∠，CDE BCD ∠=∠
∴AED BMC ∠=∠
∴DEC DMC ∠=∠
∵BD BC =
∴BDC BCD EDC ∠=∠=∠
∵CD CD =
∴CDM CDE △≌△
∴=DM DE
∴+BH DE DM HM DH =+=
（2）当点D 在线段BA 延长线上时，DH BH DE =-
如图2：在BA 的延长线上截取MH BH =，连接CM ，DC
∵AB AC =
∴A ABC CB =∠∠
∵BD BC =
∴BDC DCB =∠∠
∵//DE BC
∴E ACB B EDB ===∠∠∠∠
∵=CH CH ，BH MH =，BHC CHM =∠∠
∴BHC CHM △≌△
∴=B M ∠∠
∴E M =∠∠
∵+MDC B DCB =∠∠∠，EDC BDC EDB =+∠∠∠
∴MDC EDC =∠∠
又∵E M =∠∠，DC CD =
∴DEC DMC △≌△
∴DE DM =
∵=DH MH DM -
∴DH BH DE =-
当点D 在线段AB 延长线上时，DE DH BH =+
如图3：当点D 在线段AB 延长线上时，在线段AB 上截取BH HM =，连接CM ，CD
∵BH HM =，CH CH =，90CHB MHC ==︒∠∠
∴MHC BHC △≌△
∴ABC BMC =∠∠
∵AB AC =
∴A ABC CB =∠∠
∵BD BC =
∴BDC BCD ∠=∠
∵//BC DE
∴BCD CDE ∠=∠，ACB AED ∠=∠
∴BDC CDE ∠=∠，BMC AED =∠∠，且CD CD =
∴CDM CDE △≌△
∴DE DM =
∵DM DH HM =+
∴DE DH BH =+
【点睛】
本题主要考查了三角形综合题，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，合理添加辅助线证全等是解题的关键．
8．（1）正确．证明见解析；（2）正确．证明见解析.
【分析】
（1）在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ，根据已知条件利用ASA 判定AME ECF ，因为全等三角形的对应边相等，所以AE EF =．
（2）在BA 的延长线上取一点N ，使AN CE =，连接NE ，根据已知利用ASA 判定ANE ECF ，因为全等三角形的对应边相等，所以AE EF =．
【详解】 解：（1）正确．
证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ．
BM BE ∴=，
45BME ∴∠=°，
135AME ， CF 是外角平分线，
45DCF ∴∠=︒，
135ECF ∴∠=°，
AME ECF ，
90AEB BAE ，90AEB CEF ∠+∠=︒， BAE CEF ∴∠=∠， ()AME ECF ASA ，
AE EF ∴=．
（2）正确．
证明：如图示，在BA 的延长线上取一点N ，使AN CE =，连接NE ．
BN BE ∴=，
45N NEC ， CF 平分DCG ∠，
45FCE ，
N ECF ，
四边形ABCD 是正方形，
//AD BE ∴，
DAE BEA ，
即9090DAE BEA ，
NAE CEF ， ()ANE ECF ASA ，
AE EF ∴=．
【点睛】
此题主要考查了正方形的性质，角平分线的性质及全等三角形的判定方法，熟悉相关性质是解题的关键．
9．（1）60°；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【分析】
（1）证明△ABD ≌△BCE （SAS ），得出∠BAD ＝∠CBE ，则∠BFD ＝∠AFE ＝∠ABC ＝60°； （2）证明△ADB ∽△BDF ，得出=AB BD BF DF
，由AB ＝AC 可得出结论； （3）延长BE 至H ，使FH ＝AF ，连接AH ，CH ，证明△BAF ≌△CAH （SAS ），得出∠ABF ＝∠ACH ，CH ＝BF ，可证明AF ∥CH ，得出
1=2BF BD FH CD =，进而即可得出答案． 【详解】
解：（1）∵△ABC 是等边三角形，
∴AB ＝AC ＝BC ，∠ABD ＝∠BCE ＝60°，
在△ABD 和△BCE 中，
ABD BC AB BC BD CE E =⎧=∠∠⎪⎨⎪⎩
＝，
∴△ABD ≌△BCE （SAS ），
∴∠BAD ＝∠CBE ，
∵∠ADC ＝∠CBE+∠BFD ＝∠BAD+∠ABC ， ∴∠BFD ＝∠AFE ＝∠ABC ＝60°；
（2）证明：由（1）知∠BAD ＝∠DBF ，
又∵∠ADB ＝∠BDF ，
∴△ADB ∽△BDF ， ∴=AB BD BF DF
， 又AB ＝AC ， ∴=AC BD BF DF
， ∴AC•DF ＝BD•BF ；
（3）证明：延长BE 至H ，使FH ＝AF ，连接AH ，CH ，
由（1）知∠AFE ＝60°，∠BAD ＝∠CBE ，
∴△AFH 是等边三角形，
∴∠FAH ＝60°，AF ＝AH ，
∴∠BAC ＝∠FAH ＝60°，
∴∠BAC ﹣∠CAD ＝∠FAH ﹣∠CAD ，
即∠BAF ＝∠CAH ，
在△BAF 和△CAH 中，
BAF CA AB AC AF AH H =⎧=∠∠⎪⎨⎪⎩
＝,
∴△BAF ≌△CAH （SAS ），
∴∠ABF ＝∠ACH ，CH ＝BF ，
又∵∠ABC ＝∠BAC ，∠BAD ＝∠CBE ，
∴∠ABC ﹣∠CBE ＝∠BAC ﹣∠BAD ，
即∠ABF ＝∠CAF ，
∴∠ACH ＝∠CAF ，
∵∠AFC ＝90°，∠AFE ＝60°，
∴CF ⊥CH ，∠CFH ＝30°，
∴FH ＝2CH ，
∴FH ＝2BF ，
∵FD ∥CH ， ∴1=2BF BD FH CD =， ∴BD ＝
12DC ． 【点睛】
本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定及其性质、相似三角形的判定及其性质，解题的关键熟练掌握全等三角形的判定方法和相似三角形的判定方法．
10．（1）见解析；（2）CB=2AB ；（3）
23AB k FG k = 【分析】
（1）利用平行线的性质以及角的等量代换求证即可；
（2）在BE 边上取点H ，使BH=AE ，可证明△ABH ≌△DAE ，△ABE ∽△ACB ，利用相似三角形的性质从而得出结论；
（3）连接BD 交AC 于点Q ，过点A 作AK ⊥BD 于点K ，得出12
AD DK CB DB ==，通过证明△ADK ∽△DBC 得出∠BDC=∠AKD=90°，再证DF=FQ ，设AD=a ，因此有DF=FC=QF=ka ，再利用相似三角形的性质得出AC=3ka ，3AB ka =，1122
FG DF ka =
=，从而得出答案．
【详解】
解：（1）∵∠BAD=∠BEC
∠BAD=∠BAE+∠EAD
∠BEC=∠ABE+BAE
∴∠EAD=∠ABE
∵AD ∥BC
∴∠EAD=∠ACB
∴∠ACB=∠ABE
（2）在BE 边上取点H ，使BH=AE
∴△ABH ≌△DAE
∴∠AHB=∠AED
∵∠AHB+∠AHE=180°
∠AED+∠DEC=180°
∴∠AHE=∠DEC
∵∠BEC=2∠DEC
∠BEC=∠HAE+∠AHE
∴∠AHE=∠HAE
∴AE=EH
∴BE=2AE
∵∠ABE=∠ACB
∠BAE=∠CAB
∴△ABE ∽△ACB ∴EB AE CB AB
= ∴CB=2AB ； （3）连接BD 交AC 于点Q ，过点A 作AK ⊥BD 于点K
∵AD=AB
∴12
DK BD =
∠AKD=90°
∵12
AB AD BC == ∴12
AD DK CB DB == ∵AD ∥BC
∴∠ADK=∠DBC
∴△ADK ∽△DBC
∴∠BDC=∠AKD=90°
∵DF=FC
∴∠FDC=∠DFC
∵∠BDC=90°
∴∠FDC+∠QDF=90°
∠DQF+∠DCF=90°
设AD=a
∴DF=FC=QF=ka
∵AD ∥BC
∴∠DAQ=∠QCB
∠ADQ=∠QBC
∴△AQD ∽△CQB ∴12AD QA BC CQ
== ∴AQ=ka=QF=CF
∴AC=3ka
∵△ABE ∽△ACB ∴AE AB AB AC
= ∴
AB =
同理△AFD ∽△CFG
12
DF AF FG FC == ∴1122
FG DF ka ==
AB FG k
=． 【点睛】
本题是一道关于相似的综合题目，难度较大，根据题目作出合适的辅助线是解此题的关键，解决此题还需要较强的数形结合的能力以及较强的计算能力．。