安徽省安庆市第一中学2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试卷(学生用卷)

安徽省安庆市第一中学2022-2023学年高一下学期第一次月考
数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本卷和答题卡一并交回
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。

1. 在△ABC 中，已知A (4,1)，B (7,5)，C (－4,7)，则BC 边上的中线AD 的长是( ) A. 2
B.
C. 3
D.
2. 在△ABC 中,设O 是△ABC 的外心,且AO
⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则∠BAC 等于( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 3. 设x ，y ∈R ，向量a ＝(x ,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |等于( ) A.
B. 2
C.
D. 10
4. 已知A ，B ，C 是锐角三角形ABC 的三个内角，向量p ＝(sin A ，1)，q ＝(1，－cos B )，则p 与q 的夹角是( ) A. 锐角
B. 钝角
C. 直角
D. 不确定 5. 已知四边形ABCD 中，·
＝0，
＝2
，|
|＝10，|
|＝5，
＝
，F 为BD 与
AE 的交点，则||＝( ) A.
B. 2
C. 2
D. 2
6. 已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( )
A. [
－1，
＋1]
B. [
－1，
＋2]
C. [1，＋1]
D. [1，
＋2]
7. 小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高为(15
－15) m ，在它们之间的地面上的点M (B ，M ，D 三点共线)处测得
楼顶A ，教堂顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为( )
A. 20 m
B. 30 m
C. 20 m
D. 30 m
8. 已知M 是边长为1的正三角形ABC 的边AC 上的动点，N 为AB 的中点，则·的取
值范围是( ) A.
B.
C.
D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题列出的四个选项中，有多项
符合题目要求的。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9. 在△ABC 中，＝(2,3)，＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，则实数k 的值可能为( ) A. －
B.
C.
D.
10. 在△ABC 中，若a ＝2b sin A ，则B 等于( ) A.
B.
C.
D.
11. 如图所示，四边形ABCD 为梯形，其中AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则下列结论正确的是( )
A. AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AB ⃗⃗⃗⃗⃗
B. MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋BC ⃗⃗⃗⃗⃗
C. MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AB
⃗⃗⃗⃗⃗ D. BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AD ⃗⃗⃗⃗⃗ －AB
⃗⃗⃗⃗⃗ 12. 如图,在海岸上有两个观测点C ,D ,C 在D 的正西方向,距离为2 km,在某天10:00观察到某航船在A 处,此时测得∠ADC=30°,5分钟后该船行驶至B 处,此时测得∠ACB=60°,∠BCD=45°,∠ADB=60°,则( )
A. 当天10:00时,该船位于观测点C 的北偏西15°方向
B. 当天10:00时,该船距离观测点C √2km
C. 当船行驶至B 处时,该船距观测点C √2km
D. 该船在由A 行驶至B 的这5 min 内行驶了√6km
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在答题卡的相应位置。

13. 如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，F 为直径BC 上一点，且
＝2
，则
·
＝________.
14. 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则BC 边上的中
线AD的长为________．
15. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.
16. 如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救，信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cosθ＝________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17. （10分）已知|a|＝1，a·b＝，(a＋b)·(a－b)＝.
(1)求|b|的值；
(2)求向量a－b与a＋b夹角的余弦值．
18. （12分）如图所示，以△ABC两边AB，AC为边向外作正方形ABGF和ACDE，M为边BC的中点．求证：AM⊥EF.
19. （12分）如图在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设＝a，＝c.
(1)用a，c表示向量；
(2)若点F在AC上，且＝a＋c，求AF∶CF.
20. （12分）在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac.
(1)求B的大小.
(2)求cos A＋cos C的最大值.
21. （12分）在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且b sin A=√3a cos B.
(1)求B的大小;
(2)若b=3,sin C=2sin A,求a,c的值.
22. （12分）某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．
若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？。