初升高数学衔接课程-- 分式运算 (教师版含解析)

第2章 分式运算
【知识衔接】
————初中知识回顾————
(一)分式的运算规律
1、加减法 同分母分式加减法：c b a c b c a ±=± 异分母分式加减法：bc bd ac c d b a ±=±
2、乘法：bd ac d c b a =⋅
3、除法：bc ad c d b a d c b a =⋅=÷
4、乘方：n n
n b
a b a =)( (二)分式的基本性质
1、)0(≠=m bm am b a
2、)0(≠÷÷=m m
b m a b a ————高中知识链接————
比例的性质
(1)若d c b
a
=则bc ad = (2)若d c b
a =则
d d c b b a ±=±(合比性质) (3)若d c b
a =(0≠-d
b )则d b d b
c a c a -+=-+(合分比性质) (4)若
d c b a =＝…＝n m ，且0≠+++n d b 则b a n d b m c a =++++++ (等比性质) 分式求解的基本技巧
1、分组通分
2、拆项添项后通分
3、取倒数或利用倒数关系
4、换元化简
5、局部代入
6、整体代入
7、引入参数
8、运用比例性质
【经典题型】
初中经典题型
1．若代数式4x x -有意义，则实数x 的取值范围是( ) A ． x =0 B ． x =4 C ． x ≠0 D ． x ≠4
【答案】D
【解析】由分式有意义的条件:分母不为0，即x-4≠0，解得x≠4，故选D ．
2．化简：，结果正确的是( )
A ． 1
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】试题分析：原式==．故选B ．
3．当x =______时，分式
523
x x -+的值为零． 【答案】5． 【解析】解：由题意得：x ﹣5=0且2x +3≠0，解得：x =5，故答案为：5．
4．先化简，再求值： 22121
x x x x x x ⎛⎫-
÷ ⎪+++⎝⎭，其中x =22． 【答案】21x -，7． 【解析】试题分析：根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题．
试题解析：原式=()22121x x x x x x ++-⋅+=()2211x x x x x +-⋅+=()()2111x x x x x
-+⋅+=21x - 当x =22=(2221-=8-1=7．
高中经典题型
例1：化简232||211x x x x x +-+-- 解：原式＝2
2|)|1()1()1(x x x -+- 当0≥x 且1≠x 时，原式＝x +1
当0<x 且1-≠x 时，原式＝x
x +-1)1(2 例2：化简：
++++3223b
ab b a a a 442222223223311b a b a a b b a b ab b a a b -+-+--+-+-
例3：计算
2)(32222233332222-++÷---++n
m m n n m m n n m m n n m m n n m m n 解：设a m n =，b n
m =，则1=ab ∴原式＝2
)(32223322-++÷---++b a b a b a b a b a ＝b
a a
b b a b a ab b a ab b a +-+----++2)(32223322
＝222
2232)()()(n
m n m b a b a b a b a b a b a -+-=-+=+-⋅-+ 例4：计算
ab
bc ac c b a ac ab bc b a c bc ac ab a c b +---++----+---222 解：既不便于分式通分，又不适合分组通分，试图考察其中一项，从中发现规律
c
a b a c a b a b a c a c a b a bc bc ac ab a c b ---=-----=--=+---11))(()()())((2 因此不难看出，拆项后通分更容易 ∴原式＝)
)(())(())((b c a c b a a b c b a c c a b a c b ---+------- ＝)
)(()()())(()()())(()()(b c a c a c b c a b c b c b a b c a b a b a c a -----+----------- ＝
a
c b c a c a b c b c a b a -=---+-+-----2111111 例5：若1=abc ，求1
11++++++++c ac c b bc b a ab a 解：∵1=abc ，∴bc a 1=，将式中的a 全换成bc
1 ∴原式＝11111
++++++++c bc
c c b bc b bc bc b bc ＝11111=++++++++bc b bc bc b b bc b 例6：已知x z y x y z y x z z y x ++-=+-=-+且0≠xyz ，求分式xyz
x z z y y x ))()((+++的值 解：分析：已知条件以连比的形式出现，可引进一个参数来表示这个连比，从而将分式化成整式。

令k x z y x y z y x z z y x =++-=+-=-+，则
∴⎪⎩
⎪⎨⎧=++-=+-=-+kx z y x ky z y x kz z y x 由①＋②＋③，得)(z y x k z y x ++=++
当0≠++z y x 时1=k
① ② ③
即1=++-=+-=-+x z y x y z y x z z y x ∴z y x 2=+，y z x 2=+，x z y 2=+
∴原式＝8222=⋅⋅xyz y x z 为0=++z y x 时，z y x -=+，x z y -=+，y x z -=+
∴原式＝1-=-xyz
xyz 【实战演练】
————先作初中题 —— 夯实基础————
A 组
1．化简2121-21-1a a a a +⎛⎫÷+ ⎪+⎝⎭
的结果是( ) A ． 1-1a B ． 11a + C ． 21-1a D ． 211
a + 【答案】A
【解析】试题解析：原式=21+1(11a a a a +÷--）
=
=11
a - 故选A ．
2．先化简，再求值： 221x y x y x y
⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，其中x 32，y =1
12-⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【答案】x +y 3
3．(7分)先化简再求值： 2225241244a a a a a a ⎛⎫-+-+÷ ⎪+++⎝⎭
，其中23a =+． 【答案】2a -， 3．
【解析】试题分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a 的值代入进行计算即可．
试题解析：原式=()()()22244222a a a a a a +-+⨯++-=()()()()
2222222a a a a a -+⨯++-= 2a -， 当23a =+时，原式=232+-=3．
4．化简：a
a a a a a 2)242(
2+÷---． 【答案】1
【解析】
试题分析：先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后把分子分解因式后约分即可． 试题解析：原式=2
)2(42+•--a a a a a =2)2()2)(2(+•--+a a a a a a =1 5．化简：
23193
x x x ++--． 【答案】23x -． 【解析】
试题分析：线通分变为同分母分式，然后再相加即可解答本题．
试题解析：原式=33(3)(3)x x x x ++++-=2(3)(3)(3)x x x ++-=23
x -． 6．先化简再求值：21131--⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛
--
+x x x x ,其中22+=x ． 【答案】x+2，24+．
————再战高中题 —— 能力提升————
B 组
1、已知y x xy +=1，z y yz z +=，z x xz +=3，则x ＝ ；
2、若3419-=x 则分式15
82318262234+-++--x x x x x x ＝ ； 3、设11
2=+-mx x x ，则13363+-x m x x ＝ ； 4、若0≠abc ，且b
a c a c
b
c b a +=+=+，则abc c a c b b a ))()((+++＝ ； 5、设x 、y 、z 为有理数，且0≠++z y x ，
a z y x =+，
b x z y =+，
c y x z =+，则c c b b a a +++++111＝ ；
6、已知a 、b 、c 均不为0，且0=++c b a ，则
22222222111c b a b a c a c b -++-++-+2＝
B 组参考答案：
1、512=x
2、5
3、2
312-m 4、8或－1 5、1 6、0。