排列组合解题方法归类方法大全
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一、合理分类与分步
排列组合解题策略大全
解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，保证每步独立， 达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。 1、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有多少种？
分析：由题意可先安排甲，并按其分类讨论：1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有 A44 种排法；2）若甲在第二，三， 四位上，则有 A33 A31 A31 种排法，由分类计数原理，排法共有 A44 A33 A31 A31 78 （种）
1 人：C12
，再在剩余
4 名战士中选 3 人：C34
，最后对选出的
4
人进行全排列：A
4 4
，总共
C12
C34
A
4 4
=192
四、相邻元素捆绑法
要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再 与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.
1、 A, B,C, D, E 五人并排站成一排，如果 A, B 必须相邻且 B 在 A 的右边，那么不同的排法种数有多少种？ 解析：把 A, B 视为一人，且 B 固定在 A 的右边，则本题相当于 4 人的全排列， A44 24 种，答案： D .
邻元素内部进行自排。
A55
A
2 2
A
2 2
=480
4、用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中有且只有两个偶数夹在 1 和５之间,这样的五位数有多少个？
解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有
A
2 2
种排法，再排小集团内部共有
ALeabharlann 2 2A2 2
种排法，由分步计数原理
共有
A
2 2
A
2 2
解析：先取男女运动员各 2 名，有 C52C42 种，这四名运动员混和双打练习有 A22 中排法，故共有 C52C42 A22 120 种.
4、一个班有 6 名战士,其中正副班长各 1 人现从中选 4 人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有 1 人参加,则不同的选法有多少种？
先在正副班长中选
A
2 2
种排法.
2
五、不相邻（相离）问题插空法
对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端 空隙中插入即可。
1、七人并排站成一行，如果甲乙两个不能站在一起，那么不同的排法种数有多少？
解析：除甲乙外，其余 5 个排列数为 A55 种，再用甲乙去插 6 个空位有 A62 种，不同的排法种数是 A55 A62 3600 种，选 B .
2、7 人站成一排照相，甲、乙、丙三人相邻，有多少种不同排法？
分析： 把甲、乙、丙三人看作一个“元”，与其余 4 人共 5 个元作全排列，有 A55 种排法，而甲乙、丙、之间又有 A33
种排法，故共有 A55 A33 720 种排法。
3、7 人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法？ 可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相
二、特殊元素和特殊位置优先法
位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊 元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件， 往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件
1、0，1，2，3，4，5 可以组成多少个没有重复数字的五位奇数？ 分析：特殊元素：0，1，3，5；特殊位置：首位和末位
2、一个晚会的节目有 4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
先排除舞蹈外的 5 个节目为 A55 种，再用 4 个舞蹈节目去插 6 个空位有 A64 种，不同的排法种数是 A55 A64
；总共：A
2 4
A55 =1440
三、排列组合混合问题先选后排法
解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想。 1、4 个不同小球放入编号为 1，2，3，4 的四个盒中，恰有一空盒的方法有多少种？
1
分析： 因恰有一空盒，故必有一盒子放两球。1）选：从四个球中选 2 个有 C42 种，从 4 个盒中选 3 个盒有 C43 种； 2）排：把选出的 2 个球看作一个元素与其余 2 球共 3 个元素，对选出的 3 盒作全排列有 A33 种，故所求放法有 C42C43 A33 144
解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：
1 若甲乙都不参加，则有派遣方案 A84 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有 3 种方法，然后安排其余学生有 A83 方法， 所以共有 3A83 ；③若乙参加而甲不参加同理也有 3A83
④（同例 1）若甲乙都参加，则先安排甲乙，有 7 种方法，然后再安排其余 8 人到另外两个城市有 A82 种，共有 7 A82 方法. 所以共有不同的派遣方法总数 A84 3A83 3A83 7 A82 4088 （种）
种。
2、5 个不同的小球,装入 4 个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法？
解:第一步从 5 个球中选出 2 个组成复合元共有 C52 种方法.再把 4 个元素(包含一个复合元素)装入 4 个不同的盒内有
A
4 4
种方法，根据分步计数原理装球的方法共有
C52
A
4 4
3、9 名乒乓球运动员，其中男 5 名，女 4 名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？
先排末位：
C13
，再排首位：
C14
，最后排中间三位：
A
3 4
共有： C13
C14
A
3 4
=288
2、7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？
先种这两种特殊的花在除中间和两端外剩余的
3
个位置：A
2 4
;再在其余
5
个位置种剩余的
5
种花：A
5 5
解法二(排除法):甲在排头: A44 ,乙在排尾: A44 ,甲在排头且乙在排尾: A33 ,故符合题意的不同的排法为: A55 A44 A44 A33 78 .注: 甲在排头和乙在排尾都包含甲在排头的同时乙在排位,所以多减了要补回来.
2、从某系的 10 名优秀毕业生中选 4 人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西 宁，共有多少种不同派遣方案？
排列组合解题策略大全
解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，保证每步独立， 达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。 1、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有多少种？
分析：由题意可先安排甲，并按其分类讨论：1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有 A44 种排法；2）若甲在第二，三， 四位上，则有 A33 A31 A31 种排法，由分类计数原理，排法共有 A44 A33 A31 A31 78 （种）
1 人：C12
，再在剩余
4 名战士中选 3 人：C34
，最后对选出的
4
人进行全排列：A
4 4
，总共
C12
C34
A
4 4
=192
四、相邻元素捆绑法
要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再 与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.
1、 A, B,C, D, E 五人并排站成一排，如果 A, B 必须相邻且 B 在 A 的右边，那么不同的排法种数有多少种？ 解析：把 A, B 视为一人，且 B 固定在 A 的右边，则本题相当于 4 人的全排列， A44 24 种，答案： D .
邻元素内部进行自排。
A55
A
2 2
A
2 2
=480
4、用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中有且只有两个偶数夹在 1 和５之间,这样的五位数有多少个？
解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有
A
2 2
种排法，再排小集团内部共有
ALeabharlann 2 2A2 2
种排法，由分步计数原理
共有
A
2 2
A
2 2
解析：先取男女运动员各 2 名，有 C52C42 种，这四名运动员混和双打练习有 A22 中排法，故共有 C52C42 A22 120 种.
4、一个班有 6 名战士,其中正副班长各 1 人现从中选 4 人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有 1 人参加,则不同的选法有多少种？
先在正副班长中选
A
2 2
种排法.
2
五、不相邻（相离）问题插空法
对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端 空隙中插入即可。
1、七人并排站成一行，如果甲乙两个不能站在一起，那么不同的排法种数有多少？
解析：除甲乙外，其余 5 个排列数为 A55 种，再用甲乙去插 6 个空位有 A62 种，不同的排法种数是 A55 A62 3600 种，选 B .
2、7 人站成一排照相，甲、乙、丙三人相邻，有多少种不同排法？
分析： 把甲、乙、丙三人看作一个“元”，与其余 4 人共 5 个元作全排列，有 A55 种排法，而甲乙、丙、之间又有 A33
种排法，故共有 A55 A33 720 种排法。
3、7 人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法？ 可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相
二、特殊元素和特殊位置优先法
位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊 元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件， 往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件
1、0，1，2，3，4，5 可以组成多少个没有重复数字的五位奇数？ 分析：特殊元素：0，1，3，5；特殊位置：首位和末位
2、一个晚会的节目有 4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
先排除舞蹈外的 5 个节目为 A55 种，再用 4 个舞蹈节目去插 6 个空位有 A64 种，不同的排法种数是 A55 A64
；总共：A
2 4
A55 =1440
三、排列组合混合问题先选后排法
解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想。 1、4 个不同小球放入编号为 1，2，3，4 的四个盒中，恰有一空盒的方法有多少种？
1
分析： 因恰有一空盒，故必有一盒子放两球。1）选：从四个球中选 2 个有 C42 种，从 4 个盒中选 3 个盒有 C43 种； 2）排：把选出的 2 个球看作一个元素与其余 2 球共 3 个元素，对选出的 3 盒作全排列有 A33 种，故所求放法有 C42C43 A33 144
解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：
1 若甲乙都不参加，则有派遣方案 A84 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有 3 种方法，然后安排其余学生有 A83 方法， 所以共有 3A83 ；③若乙参加而甲不参加同理也有 3A83
④（同例 1）若甲乙都参加，则先安排甲乙，有 7 种方法，然后再安排其余 8 人到另外两个城市有 A82 种，共有 7 A82 方法. 所以共有不同的派遣方法总数 A84 3A83 3A83 7 A82 4088 （种）
种。
2、5 个不同的小球,装入 4 个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法？
解:第一步从 5 个球中选出 2 个组成复合元共有 C52 种方法.再把 4 个元素(包含一个复合元素)装入 4 个不同的盒内有
A
4 4
种方法，根据分步计数原理装球的方法共有
C52
A
4 4
3、9 名乒乓球运动员，其中男 5 名，女 4 名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？
先排末位：
C13
，再排首位：
C14
，最后排中间三位：
A
3 4
共有： C13
C14
A
3 4
=288
2、7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？
先种这两种特殊的花在除中间和两端外剩余的
3
个位置：A
2 4
;再在其余
5
个位置种剩余的
5
种花：A
5 5
解法二(排除法):甲在排头: A44 ,乙在排尾: A44 ,甲在排头且乙在排尾: A33 ,故符合题意的不同的排法为: A55 A44 A44 A33 78 .注: 甲在排头和乙在排尾都包含甲在排头的同时乙在排位,所以多减了要补回来.
2、从某系的 10 名优秀毕业生中选 4 人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西 宁，共有多少种不同派遣方案？