人教版导数及其应用多选题综合模拟测评学能测试

人教版导数及其应用多选题综合模拟测评学能测试
一、导数及其应用多选题
1．已知函数()f x 对于任意x ∈R ，均满足()()2f x f x =-.当1x ≤时
()ln ,01,0
x x x f x e x <≤⎧=⎨≤⎩，若函数()()2g x m x f x =--，下列结论正确的为（ ）
A ．若0m <，则()g x 恰有两个零点
B ．若
3
2
m e <<，则()g x 有三个零点 C ．若3
02
m <≤
，则()g x 恰有四个零点 D ．不存在m 使得()g x 恰有四个零点 【答案】ABC 【分析】
设()2h x m x =-，作出函数()g x 的图象，求出直线2y mx =-与曲线
()ln 01y x x =<<相切以及直线2y mx =-过点()2,1A 时对应的实数m 的值，数形结合
可判断各选项的正误. 【详解】
由()()2f x f x =-可知函数()f x 的图象关于直线1x =对称. 令()0g x =，即()2m x f x -=，作出函数()f x 的图象如下图所示：
令()2h x m x =-，则函数()g x 的零点个数为函数()f x 、()h x 的图象的交点个数，
()h x 的定义域为R ，且()()22h x m x m x h x -=--=-=，则函数()h x 为偶函
数，
且函数()h x 的图象恒过定点()0,2-，
当函数()h x 的图象过点()2,1A 时，有()2221h m =-=，解得32
m =. 过点()0,2-作函数()ln 01y x x =<<的图象的切线， 设切点为()00,ln x x ，对函数ln y x =求导得1y x
'=
， 所以，函数ln y x =的图象在点()00,ln x x 处的切线方程为()000
1
ln y x x x x -=-， 切线过点()0,2-，所以，02ln 1x --=-，解得01
x e
=
，则切线斜率为e ， 即当m e =时，函数()y h x =的图象与函数()ln 01y x x =<<的图象相切. 若函数()g x 恰有两个零点，由图可得0m ≤或m e =，A 选项正确； 若函数()g x 恰有三个零点，由图可得
3
2
m e <<，B 选项正确； 若函数()g x 恰有四个零点，由图可得3
02
m <≤，C 选项正确，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】
方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.
2．经研究发现：任意一个三次多项式函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图象都只有
一个对称中心点()()
00,x f x ，其中0x 是()0f x ''=的根，()'f x 是()f x 的导数，()f x ''
是
()'f x 的导数.若函数32()f x x ax x b =+++图象的对称点为(1,2)-，且不等式
(ln 1)x e e mx x -+32()3e
f x x x e x ⎡⎤≥--+⎣⎦对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则（ ）
A ．3a =
B ．1b =
C ．m 的值可能是e -
D ．m 的值可能是1
e
-
【答案】ABC 【分析】
求导得()62f x x a ''=+，故由题意得()1620f a ''=-+=-，
()1112f a b -=-+-+=，即3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.进而将问题转化
为()1ln 1
e x x e x e m x --++<+，由于1x e x >+，故ln ln 1e
e x x x x e e x e x --+=≥-+，进而得
()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x e
e x x --++--≥=-++，即m e ≤-，进而得ABC 满足条件.
【详解】
由题意可得()1112f a b -=-+-+=，
因为()2
321x ax f x =++'，所以()62f x x a ''=+，
所以()1620f a ''=-+=-，
解得3,1a b ==，故()3
2
31f x x x x =+++.
因为1x >，所以()()3
2
ln []13x
e
e
e mx x
f x x x e x -+≥--+等价于
()1ln 1
e x x e x e m x --++≤
+. 设()()10x
g x e x x =-->，则()10x
g x e '=->，
从而()g x 在()0,∞+上单调递增.
因为()00g =，所以()0g x >，即1x e x >+， 则ln ln 1e
e x x
x
x e e x e x --+=≥-+（当且仅当x e =时，等号成立），
从而()1ln ln 1ln 1
e x x e x e e x e e x x --++--≥=-++，故m e ≤-.
故选：ABC. 【点睛】
本题解题的关键在于根据题意得()3
2
31f x x x x =+++，进而将不等式恒成立问题转化
为()1ln 1
e x x e x e m x --++≤+恒成立问题，再结合1x e x >+得
ln ln 1e
e x x
x
x e e x e x --+=≥-+，进而得m e ≤-.考查运算求解能力与化归转化思想，是难
题.
3．已知函数()2
1ln 2
f x ax ax x =-+的图象在点()()11,x f x 处与点()()22,x f x 处的切线均平行于x 轴，则（ ）
A ．()f x 在1,上单调递增
B ．122x x +=
C ．()()121212x x x x f x f x +++
+的取值范围是7,2ln 24⎛⎫
-∞-- ⎪⎝⎭
D ．若16
3
a =
，则()f x 只有一个零点 【答案】ACD 【分析】
求导，根据题意进行等价转化，得到a 的取值范围；对于A ，利用导数即可得到()f x 在
()1,+∞上的单调性；对于B ，利用根与系数的关系可得121x x =+；对于C ，化简
()()121212x x x x f x f x ++++，构造函数，利用函数的单调性可得解；对于D ，将
16
3
a =
代入()f x '，令()0f x '=，可得()f x 的单调性，进而求得()f x 的极大值小于0，再利用零点存在定理可得解. 【详解】 由题意可知，函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()211
ax ax ax a x x x
f -+=-+='，
则1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，则21240
1
a a x x a ⎧∆=->⎪
⎨=>⎪⎩
，解得4a >， 当()1,x ∈+∞时，函数2
10y ax ax =-+>，此时()0f x '>，
所以()f x 在()1,+∞上单调递增，故A 正确；
因为1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，所以121x x =+，故B 错误； 因为()()221212121112221111ln ln 22
x x x x f x f x x ax ax x ax ax a ++++=+
++-++- 111211
1ln 1ln 22a a a a a a a a
⎛⎫=+
++--=--+ ⎪⎝⎭， 易知函数()11
ln 2h a a a a
=-
-+在()4,+∞上是减函数， 则当4a >时，()()7
42ln 24
h a h <=--， 所以()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫
-∞-- ⎪⎝⎭
，故C 正确；
当16
3a =
时，()1616133f x x x '=
-+，令()0f x '=，得14x =或34
， 则()f x 在10,4⎛
⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增，在13,44⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减，在3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以()f x 在1
4
x =
取得极大值，且104f ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
，()2ln 20f =>， 所以()f x 只有一个零点，故D 正确.
故选：ACD. 【点睛】
关键点点睛：导数几何意义的应用主要抓住切点的三个特点： ①切点坐标满足原曲线方程； ②切点坐标满足切线方程；
③切点的横坐标代入导函数可得切线的斜率.
4．（多选）已知函数()ln ()f x ax x a =-∈R ，则下列说法正确的是（ ） A ．若0a ≤，则函数()f x 没有极值 B ．若0a >，则函数()f x 有极值
C ．若函数()f x 有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
D ．若函数()f x 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是1(,0]e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭
【答案】ABD 【分析】
先对()f x 进行求导，再对a 进行分类讨论，根据极值的定义以及零点的定义即可判断. 【详解】
解：由题意得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且11()ax f x a x x
'
-=-
=， 当0a ≤时，()0f x '<恒成立，此时()f x 单调递减，没有极值， 又
当x 趋近于0时，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于-∞， ∴()f x 有且只有一个零点， 当0a >时，在10,a ⎛
⎫
⎪⎝⎭
上，()0f x '<，()f x 单调递减， 在1,a ⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
上，()0f x '>，()f x 单调递增， ∴当1
x a
=
时，()f x 取得极小值，同时也是最小值， ∴min 1()1ln f x f a a ⎛⎫
==+
⎪⎝⎭
， 当x 趋近于0时，ln x 趋近于-∞，()f x 趋近于+∞，
当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于+∞， 当1ln 0a +=，即1
a e
=
时，()f x 有且只有一个零点； 当1ln 0a +<，即1
0a e
<<
时，()f x 有且仅有两个零点，
综上可知ABD 正确，C 错误． 故选：ABD ． 【点睛】
方法点睛：函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令()0f x ＝
，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且
()()·0f a f b ＜，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少
个零点；
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
5．已知函数()2
1,0
log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，下列是关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的判断，其中正确的是（ ） A ．当0k >时，有3个零点 B ．当0k <时，有2个零点 C ．当0k >时，有4个零点 D ．当0k <时，有1个零点
【答案】CD 【分析】
令y ＝0得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，利用换元法将函数分解为f （x ）＝t 和f （t ）＝﹣1，作出函数f （x ）的图象，利用数形结合即可得到结论． 【详解】
令()10y f f x =+=⎡⎤⎣⎦，得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，设f （x ）＝t ，则方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦等价为f （t ）＝﹣1，
①若k ＞0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，
∴此时方程f （t ）＝﹣1有两个根其中t 2＜0，0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 2＜0，此时x 有两解，
由f （x ）＝t 1∈（0，1）知此时x 有两解，此时共有4个解， 即函数y ＝f [f （x ）]+1有4个零点．
②若k ＜0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有一个根t 1，其中0＜t 1＜1，
由f （x ）＝t 1∈（0，1），此时x 只有1个解，即函数y ＝f [f （x ）]+1有1个零点． 故选：CD ．
【点睛】
本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，属于难题．
6．已知0a >，0b >，下列说法错误的是（ ） A ．若1a b a b ⋅=，则2a b +≥ B ．若23a b e a e b +=+，则a b > C ．()ln ln a a b a b -≥-恒成立 D ．
2ln a a b b
e e
-<恒成立 【答案】AD 【分析】
对A 式化简，通过构造函数的方法，结合函数图象，说明A 错误；对B 不等式放缩
22a b e a e b +>+，通过构造函数的方法，由函数的单调性，即可证明B 正确；对C 不等
式等价变型()ln ln ln
1-≥-⇔≥-a b a a b a b b a ，通过1
0,ln 1∀>>-x x x
恒成立，可得C 正确；D 求出ln -a a b b e 的最大值，当且仅当1
1a b e =⎧⎪
⎨=⎪⎩
时取等号，故D 错误.
【详解】
A. 1ln ln 0⋅=⇔+=a b a b a a b b 设()ln f x x x =，()()0∴+=f a f b
由图可知，当1+→b 时，存在0+→a ，使()()0f a f b += 此时1+→a b ，故A 错误. B. 232+=+>+a b b e a e b e b
设()2x
f x e x =+单调递增，a b ∴>，B 正确
C. ()ln ln ln 1-≥-⇔≥-a b a a b a b b a
又10,ln 1∀>>-x x x ，ln 1∴≥-a b
b a
，C 正确
D. max 1
=
⇒=x x y y e e
当且仅当1x =； min 1ln =⇒=-y x x y e 当且仅当1=x e
；
所以2ln -≤a a b b e e ，当且仅当1
1a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩
时取等号，D 错误.
故选：AD 【点睛】
本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化的数学思想和数形结合的数学思想，属于难题.
7．在单位圆O ：221x y +=上任取一点()P x y ，，圆O 与x 轴正向的交点是A ，将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角记为θ，若x ，y 关于θ的表达式分别为()x f
θ=，
()y g θ=，则下列说法正确的是（ ）
A ．()x f θ=是偶函数，()y g θ=是奇函数；
B ．()x f θ=在()0，π上为减函数，()y g θ=在()0，π上为增函数；
C ．()()1f
g θθ+≥在02πθ⎛⎤
∈ ⎥⎝
⎦
，上恒成立；
D ．函数()()22t f g θθ=+
.
【答案】ACD 【分析】
依据三角函数的基本概念可知cos x θ=，sin y θ=，根据三角函数的奇偶性和单调性可
判断A 、B
；根据辅助角公式知()()4f g πθθθ⎛
⎫+=+ ⎪⎝
⎭，再利用三角函数求值域可
判断C ；对于D ，2cos sin2t θθ=+，先对函数t 求导，从而可知函数t 的单调性，进而可
得当1sin 2θ=
，cos θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解． 【详解】
由题意，根据三角函数的定义可知，x cos θ=，y sin θ=， 对于A ，函数()cos f
θθ=是偶函数，()sin g θθ=是奇函数，故A 正确；
对于B ，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数()cos f θθ=在()0,π上为减函数，函
数()sin g θθ=在0,
2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
为增函数，在,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
为减函数，故B 错误； 对于C ，当0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦
，时，3,444π
ππθ⎛⎤
+
∈ ⎥⎝⎦
()()cos sin 4f g πθθθθθ⎛
⎫+=+=+∈ ⎪⎝
⎭，故C 正确；
对于D ，函数()()222cos sin2t f
g θθθθ=+=+，
求导22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+， 令0t '>，则11sin 2θ-<<
；令0t '<，则1
sin 12
θ<<， ∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,
66
ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减， 当6
π
θ=
即1sin 2θ=
，cos 2
θ=
时，函数取得极大值1222t =⨯=
又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=， 所以函数()()22t f g θθ=+
，故D 正确.
故选：ACD. 【点睛】
方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：
（1）将函数化简整理为()()sin f x A x ωϕ=+，再利用三角函数性质求值域； （2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.
8．（多选题）已知函数31
()1x x xe x f x e x x
⎧<⎪
=⎨≥⎪⎩，，，函数()()g x xf x =，下列选项正确的是
（ ）
A ．点(0,0)是函数()f x 的零点
B ．12(0,1),(1,3)x x ∃∈∈，使12()()f x f x >
C ．函数()f x 的值域为)
1e ,-⎡-+∞⎣
D ．若关于x 的方程[]
2
()
2()0-=g x ag x 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是
222e e
,(,)e 82
⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦ 【答案】BC 【分析】
根据零点的定义可判断A ；利用导数判断出函数在()0,1、()1,3上的单调性性，求出各段上的值域即可判断B ；利用导数求出函数的最值即可判断C ；利用导数求出函数的最值即可判断D. 【详解】
对于选项A ，0是函数()f x 的零点，零点不是一个点，所以A 错误. 对于选项B ，当1x <时，()(1)x
f x x e '
=+，可得， 当1x <-时，()f x 单调递减； 当11x -<<时，()f x 单调递增； 所以，当01x <<时， 0()<<f x e ，
当1x >时，4
(3)
()x e x f x x -'=，
当13x <<时，()f x 单调递减； 当3x >时，()f x 单调递增；
()y f x =图像
所以，当13x <<时， 3
()27
e f x e << ，综上可得，选项B 正确；
对于选项C ，min 1
()(1)f x f e
=-=-，选项C 正确. 对于选项D ，关于x 的方程[]
2
()
2()0-=g x ag x 有两个不相等的实数根
⇔关于x 的方程()[()2]0-=g x g x a 有两个不相等的实数根 ⇔关于x 的方程()20-=g x a 有一个非零的实数根
⇔函数()y g x =与2y a =有一个交点，且0x ≠，22,1()
,1x x
x e x g x e x x
⎧<⎪=⎨≥⎪⎩
当1x <时，/
2
()(2)=+x
g x e x x ，当x 变化时，'()g x ，()g x 的变化情况如下：
x
2x <-
2-
20x -<<
0 01x << /()g x +
-
+
()g x
极大值 极小值
极大值2(2)g e -=，极小值(0)0g =，当1≥x 时，3
(2)
'()e x g x x
-= 当x 变化时，'()g x ，()g x 的变化情况如下： x 1
12x <<
2 2x >
/()g x
-
+
()g x
e
极小值
极小值(2)4
e g =，
()y g x =图像
综上可得，2
2424
<<e a e 或2a e >，
a的取值范围是
2
2
2e e
,(,)
e82
⎛⎫
+∞
⎪
⎝⎭
，D不正确.
故选：BC
【点睛】
本题考查了利用导数求函数的最值，利用导数研究方程的根，考查了转化与化归的思想，属于难题.。