16 经济学中的常用函数

§1.6 经济学中的常用函数
一、需求函数
需求的含义：消费者在某一特定的时期内，在一定的价格条
件下对某种商品具有购置力的需要．
消费者对某种商品的需求量除了与该商品的价格有直
接关系外, 还与消费者的习性和偏好、消费者的收入、其他
可取代商品的价格甚至季节的影响有关. 现在我们只考虑
商品的价格因素, 其他因素暂时取定值. 这样, 对商品的
需求量就是该商品价格的函数, 称为需求函数. 用Q 表示
对商品的需求量, p 表示商品的价格, 那么需求函数为:
()Q Q p =,
鉴于实际情况, 自变量p , 因变量Q 都取非负值.
一般地, 需求量随价格上涨而减少, 因此通常需求函数
是价格的递减函数.
常见的需求函数有:
线性需求函数: Q a bp =-, 其中a ,b 均为非负常数; 二次曲线需求函数: 2
Q a bp cp =--, 其中a , b , c 均为非负常数;
指数需求函数: bp Q ae -=, 其中a ,b 均为非负常数.
幂函数：
0,0,>>=-k a kP Q a 其中 需求函数()Q Q p =的反函数, 称为价格函数, 记作:
()p p Q =,
也反映商品的需求与价格的关系.
二、供给函数
供给的含义：在某一时间内，在一定的价格条件下，生产者愿意并且能够售出的商品．
供给量记为S , 供给者愿意接受的价格为
p , 那么供给
量与价格之间的关系为: ()S S p =,
称为供给函数, p 称为供给价格, S 与p 均取非负值. 由供给函数所作图形称为供给曲线.
一般地，供给函数可以用以下简单函数近似代替： 线性函数: ,b aP Q -=, 其中a ,b 均为非负常数; 幂函数：: 0,0,>>=k a kP Q a 其中;
指数函数: bP ae Q =, 其中a ,b 均为非负常数. 需求函数与供给函数密切相关, 把需求曲线和供给曲线画在同一坐标系中, 由于需求函数是递减函数, 供给函数是递增函数, 它们的图形必相交于一点, 这一点叫做均衡点, 这一点所对应的价格0p 就是供、需平衡的价格, 也叫均
衡价格; 这一点所对应的需求量或供给量就叫做均衡需求量或均衡供给量. 当市场价格p 高于均衡价格0p 时, 产生了“供大于求〞的现象, 从而使市场价格下降; 当市场价格p 低于均衡价格0p 时, 这时会产生“供不应求〞的现象, 从而使市场价格上升; 市场价格的调节就是这样实现的.
应该指出, 市场的均衡是暂时的, 当条件发生变化时, 原有的均衡状态就被破坏, 从而需要在新的条件下建立新的均衡.
例1 某商品的需求量Q 与价格p 的关系由
23123Q p +=
给出, 而供给量Q 与价格p 的关系由
22099Q Q p --=-
给出, 试求市场到达供需平衡时的均衡价格和均衡需求量.
【解】 要求均衡价格和均衡需求量, 即解方程组
2220993123Q Q p Q p ⎧--=-⎨+=⎩
, 得到两组结果11
1201p Q =⎧⎨=-⎩ 和 22156p Q =⎧⎨=⎩. 显然,第一组结果没有意义, 故所求均衡价格为15单位, 均衡需求量为6个单位.
三、生产函数
供需平
衡价格 供需平衡
P
生产函数刻画了一定时期内各生产要素的投入量与产品的最大可能产量之间的关系.一般说来，生产要素包括资金和劳动力等多种要素 .为方便起见，我们暂时先考虑只有一个投入变量，而其他投入皆为常量的情况 .
例 2
)(22)2()()(x g cx x g cx x g x g x a a a a ===由于间的函数关系为
与产出设投入 时，可见，当1=a 规模报酬不变；
时，当1<a 如果投入增加一倍，产出增加不到一倍，即规模报酬递减；
时，当1>a 如果投入增加一倍，产出增加不止一倍，即规模报酬递增 .
四、本钱函数
本钱是指生产某种一定数量产品需要的费用, 它包括固定本钱和可变本钱.
假设记总本钱为C , 固定本钱为0C , Q 为产量, 1()C Q 为可变本钱, 那么本钱函数为:
01()()C C Q C C Q ==+,
其中, 00,0,C Q ≥> 显然本钱函数是递增函数, 它随产量的增加而增加.
〔2〕平均本钱函数
平均本钱是指生产每单位产品的本钱, 记为C , 即平均本钱函数为:
01()()=+C C Q C Q C Q Q Q =,
平均本钱的大小反映企业生产的好差, 平均本钱越小说明企业生产单位产品时消耗的资源费用越低, 效益更好.
五、收益函数
总收益是生产者出售一定数量产品所得到的全部收入.用 Q 表示出售的产品数量，R 表示总收益, R 表示平均收益，那么
Q Q R R Q R R )(,)(==
如果产品价格 p 保持不变，那么
p R PQ Q R ==,)(
六、利润函数
利润是生产中获得的总收益与投入的总本钱之差。

即
)()()(Q C Q R Q L -=
例3 某工厂生产某种产品，固定本钱为10000元，每生产一件产品的费用为50元，预计售价80元，求总本钱函数，平均本钱函数，总收益函数,总利润函数和平均利润函数.
解 设产量为q ，那么总本钱函数,平均本钱函数,总收益函数分别为
()1000050C q q =+,
10000()50C q q
=+, ()80R q q =.
而总利润函数为
()80(1000050)3010000L q q q q =-+=-．
平均利润函数为:
()1000()30L q L q q q ==-.
七、库存函数
设某企业在方案期 T 内，对某种物品总需求量为Q ，由于库存费用及资金占用等因素，显然一次进货是不划算的，
考虑均匀的分 n 次进货，每次进货批量为 n Q q = ，进货
周期为 n T
t = . 假定每件物品的贮存单位时间费用为 1C ，每次进货费用为 2C ，每次进货量相同，进货间隔时间
不变，以匀速消耗贮存物品，那么平均库存为 2q
， 在时间 T 内的总费用 E 为
q
Q C Tq C E 2121+= .2121为进货费用为贮存费，，其中q
Q C Tq C
八、戈珀兹 (Gompertz) 曲线
戈珀兹 曲线是指数函数 t b ka y =
在经济预测中，经常使用该曲线.
.100lg 时，图形如上页所示，当<<<b a
且无限增大时，，曲线当由图可见0>t ，接近其无限与直线k y =且始终位于该直线 下方. 在产品销售预测中，当预测销售量充分接近到 k 值时，表示该产品在商业流通中将到达市场饱和 .
初始期 开展期 饱和期
k。