第4章参数估计与假设检验

第四章 连续型随机变量的 参数估计与检验

第一节 参数估计
第二节 假设检验
第三节 单个正态总体的参数检验 第四节 两个正态总体的参数检验
一、点估计及其性质
估计量：设 为总体X的一个未知参数，统计量 ˆ ˆ X , , X 称为 的估计量。
ˆ x , , x 称为 1 n
（2） 2 未知
得 的置信度为 1 的置信区间为 S S 或 X t S f＝n－1 , X t 2 X t 2 2 n n n n
2
X ~ t (n 1) 选取样本函数 t S n P t t P t t 1 2 2 X P t 1


Y1, Y2 ,..., Yn2 12 ， 2 2已知 （1 ）
12 X ~ N 1 , n1
22 Y ~ N 2 , n2
2 2 1 2 X Y ~ N 1 2 , n1 n2
选取 u 样本函数
2 x （1 ） 已知 2 e X u ~ N 0,1 2 / n
2
0.2
P | u | u
P | u | u 1
2


2


2
2

2
0 x
2
0
u
u
2
x
3

X P u 2 / n
3
2
1
得 2已知时， 的置信度为1 的置信区间 , X u X u 或 X u 可查表得
2
P X u X u 1 2 2 n n

2
2.5495 18 4.604 (12.7506, 23.2495) 5
2、两个正态总体均数之差 1 2 的区间估计 Y ~ N 2 , 2 2 。从X和Y中 设总体 X ~ N 1 , 12 ， 分别抽出样本容量为 n1 、n2 的样本 X1 , X 2 ,..., X n1和
23.67,62.27
此题因为是大样本，故用两种方法计算结果相同， 而公式**较简便。如果是小样本，只能按小样本的 公式*计算。若按大样本公式计算，结果误差偏大。
（2 ） , 2 未知且
2 1 2
2 1
2
2
若为小样本，取样本函数 t
2 1 2
X Y 1 2

1
n

的估计值。
通过一次具体抽样值 x1 , x2 , xn ，估计 参数 取值的方法称为参数的点估计问题。 一个待估参数 ，可以有几个不同的估计量， 这就引出了如何衡量估计量好坏的标准。
1、无偏性
ˆ ，则 ˆ 称为 的无偏估计量。 定义 若 E
结论 设总体为X，有 EX ， DX 2 ， X1 , X 2 , , X n 为取自X的样本，则 2 2 、 分别为 , 的无偏估计量。 X S 即
量分别为 X 和 S 。
2
例1 设 X1 , X 2 , X 3为取自总体Ｘ的样本，且EX ， DX 2 。问： 1 1 1 1 2 4 ˆ1 X 1 X 2 X 3 和 ˆ2 X1 X 2 X 3 3 3 3 7 7 7 ˆ 2 哪个更有 ˆ1 和 是否为 的无偏估计量 ？ 效？
E X ES
2
2
ES n
2
注意:S不是 的无偏估计量,只是 的一个估计量.
n 1 2 n 1 2 ES n n
ˆ和 ˆ 均为未知参数 的无偏估计量， 定义 设 1 2 ˆ D ˆ ，则称 ˆ 比 ˆ 有效。 若 D
1 2
2、有效性
1
2
2 由证明得知，总体均数 和方差 的有效估计
1 1 1 1 1 1 解： ˆ1 E X1 X 2 X 3 EX1 EX 2 EX 3 E 3 3 3 3 3 3 1 3 3 2 4 1 2 4 1 ˆ 2 E X1 X 2 X 3 EX1 EX 2 EX 3 E 7 7 7 7 7 7 1 3 3
X Y 1 2
12
由 P | u | u
2


n1

22
n2
~ N (0,1)
得 P | u | u 1
2


则 1 2 的置信度为 1 的置信区间为
2 2 2 2 1 2 1 2 u , x y u x y n n n n 1 2 1 2 2 2
n
2
n

2
n
0 5 1.960 u0.0 1 2.576 u0.1 1.645 u0.2 2
ห้องสมุดไป่ตู้
例2 伤寒论用桂枝39张处方,桂枝用量服从σ=3g的正 态分布,根据样本均数8.14g,显著水平0.05,估计桂枝用 量μ的置信区间 解：μ 的置信度0.95的置信区间为
3 8.14 1.96 ＝(7.1984，9.0816)g 39
2 1 2
n1 1 S
S w 可简化成 Sw 若为大样本，
取样本函数 u
2
2
X Y 1 2 S12 S2 2 n2 n1
n S n2 S2 n1 n2
2 1 1
2
~ N (0,1)
由 P u u 1 得 1 2 的置信度为 1 的 2 置信区间为
若为小样本， t 取样本函数
X Y 1 2 Sw
2
1 1 n1 n2
~ t n1 n2 2
n2 1 S2 其中样本联合方差 Sw n1 n2 2 由 P t t 1 得 1 2 的置信度为 1 的置信 2 区间为 1 1 2 x y t S w * n1 n2 2
S
例3 逍遥丸崩解时间服从正态分布,从同一批号随机 抽取5丸测得崩解时间为21,18,20,16,15(min),求该批 药丸崩解时间总体均数置信度为0.99的置信区间。 解：由计算得n=5, X =18,S=2.5495, f=5-1=4
t 0.01 (4) 4.604
2
该批丸崩解时间总体均数置信度0.99的置信区间
ˆ 1 lim P
n


0 ，有
P
ˆ 为 的一致估计量,即 ˆ 则称 结论： X 和 S 2 分别是总体均数 和 2 的一致 估计量。
二、区间估计概念
定义 设总体X含有未知参数θ ,α ∈(0,1)
P(θ1<θ<θ2)＝1－α 区间(θ1,θ2) 称为置信度为1－α的参数θ的置信区间,α称 为显著水平 说明:
2 2 1.25 1.16 14.36 13.60 1.96 0.69, 0.83 2570 2000
2 2
y 14.36, n2 2000, 2 1.16
, 2 （2 ）
2 1
2
2 2 2 未知但 1 2
例如，标准正态分布的上侧临界值记为 u ，双侧 临界值为 u
2
使得 P X x 2
2
三、正态总体均数的区间估计
1、单个正态总体均数 的区间估计 设总体X～N(μ,σ2) ， X1 , X 2 ,..., X 是从 X中抽出来 n 0.4 f ( x ) 0.41 的样本
f>50时，t
2
f u
2
若此题用公式*计算，给定 0.01 ，自由度 f n1 n2 2 228 ,查u分布临界值表，得
t 0.01 228 u0.01 2.58
2 2
155 54.82 73 49.22 1 1 465.13 422.16 2.58 228 156 74
2
其中 df
得 1 2 的置信度为 1 的置信区间为
S n1
2 1
2
S S2 n n 1 2 2 2 S2 n1 1 n2
S12 S2 2 n1 n2
~ t df
n2 1
S12 S2 2 x y t n n 1 2 2
2 4 1 4 16 1 ˆ 2 D X1 X 2 X 3 D DX1 DX 2 DX 3 7 7 49 49 49 7
21 2 0.43 2 49
ˆ1 D ˆ 2，故 ˆ1 比 因为D ˆ 2 有效
3、一致性 定义 设 ˆ 为 的估计量，若对
解：设X表示男性红细胞数，Y表示女性红细胞数， 已知 n1 156, x 465.13, S1 54.8
n2 74, y 422.16, S2 49.2
2 2
查临界值表，得 u u0.01 2.58
代入大样本公式**，得0.99的置信区间为
54.82 49.22 465.13 422.16 2.58 23.67, 62.27 74 156
例4 甲医院治愈2570名病人，平均住院天数为13.60 天，乙医院治愈2000名病人，平均住院天数为14.36 天，根据经验，住院天数的标准差甲院为1.25天， 乙院为1.16天，求两院平均住院天数差的区间估计 （设住院天数服从正态分布， 0.05 ） 解：已知 x 13.60, n1 2570, 1 1.25 查临界值表 u u 0.05 1.96 ，得
若为大样本，取样本函数
2 2 S1 S2 x y u ** n n 2 1 2
例5 为研究正常成年男女红细胞的平均数的差异， 检查某地正常成年男子156名，女子74名，求得 男、女红细胞平均数分别为465.13、422.16 万/（mm)^3，标准差为54.8、49.2（单位同上）， 由经验知道男女红细胞数服从正态分布,且方差相同, 试计算该地正常成年男女的红细胞平均数之差的 置信度为0.99的置信区间。
称为显著性水平,一般取0.1、0.05、0.01。
(θ1,θ2)是一个随机区间。对于某次试验所得到的 确切区间，它可能包含 的真值，也可能不包含。 包含θ 在内的概率为1－α。
临界值 : 设X是服从某种分布的连续型随机变量, 若对给定的实数 0 1 , 有 P X x ,则 x 称为这种分布的上侧临 界值(或上侧分位数)。 如果X的概率密度函数是对称曲线，则对给定的实数 0 1 ，就存在相应的双侧临界值 x
ˆ 2 都是 的无偏估计量，由此可 ˆ1 和 所以 知一个未知参数的无偏估计量不是唯一的。 1 1 1 1 1 1 ˆ1 D X1 X 2 X 3 DX 1 DX 2 DX 3 D 3 3 9 9 9 3
1 2 2 3 0.33 9