加速寿命试验下相依竞争失效模型的统计分析

DOI:10.13546/ki.tjyjc.2020.16.041
(管理决策少
加速寿命试验下相依竞争失效模型的统计分析
王燕'师义民，
(1.西北工业大学理学院，西安710072:2.西安工程大学理学院，西安710048)
摘要：针对寿命试验中存在试验时间长、竞争失效机理独立的问题，在逐步I型区间截尾加速寿命试验下，文章利用copula函数建立了指数分布的相依竞争失效模型，探究了模型参数的统计推断问题。

在此基础 上，利用极大似然理论，计算了参数的极大似然估计和midpoint估计，采用Bootstrap抽样方法构建参数置信区间，并探究了不同依赖结构对该参数估计的影响。

最后，依托试验产品数据，对提出的相依竞争失效模型进行了M onte Carlo仿真实验，结果表明其具有很好的统计推断性能，更符合产品寿命的实际。

关键词：加速寿命试验;逐步I型区间截尾;相依竞争失效模型；c o p u l a函数
中图分类号:0212.1 文献标识码:A文章编号：1002-6487(2020) 16-0184-04
0引言
在寿命试验中，通常因各种原因导致试验过程不能连 续的被观察，试验观测可能为间歇性的。

只能计算一个时 间间隔内的产品失效数,而不是精确的产品故障时间。

基 于这种寿命试验方式，产生了一种新的截尾方式，称为区间 截尾。

在该试验方案下，只有失效产品数量已知，并位于已 知的时间间隔中，而产品确切的失效时间未被观测到。

近 几年来，区间截尾已受到许多学者的关注，比如A g g a r w a l a111将I型区间截尾与逐步截尾思想结合提出逐步I型区间截 尾寿命试验，以及 L i n和 Sam|21,C h e n和 L i o|31，L i n和 L i o[41，Ah- madi等|5|，Kim161分别讨论了逐步I型区间截尾下参数的点 估计问题以及区间选取问题。

在可靠性试验中，针对试验时间长、竞争失效机理相 依的问题，目前众多学者尚未对其进行深人探讨。

因此本 文在逐步I型区间截尾加速寿命试验下，研究相依竞争失 效模型。

在逐步I型区间截尾加速寿命试验下，利用cop­u l a函数建立指数分布的相依竞争失效模型 ，进而获得参 数M L E与置信区间（c o n f i d e n c e i n t e r v a l CI)估计，并讨论了 不同相依结构下对参数估计的影响，最后结合算例研究指 数分布的统计推断问题。

1相依竞争失效横型
假设产品具有s个相互影响的失效机理1 ,各机理 发生时间为^ ,在试验过程中任何一个失效机理失 效均可导致产品失效，此时产品寿命为各失效机理发生时 间的最小值，即：产品生存函数可定义为 S(f)= P r(min([，…，心)。

在试验过程中，f P...4是相依的，其产品生存函数则 要复杂很多，本文选择copula函数作为连接函数,刻画失 效机理之间的相依关系并得到产品的生存函数。

1.1 Copula函数
Copula的研究起源于S k W71,其含义为“连接函数”或 “相依函数”，是将多维随机变量的边际分布与其联合分布 函数建立联系的函数。

它提供了一种非常便捷的方式建 立变量之间的相依关系，依赖结构的种类来自选择适当的 c o p u l a函数。

由S k l a r定理可知，/I维随机变量的联合分布函数F(;c丨，可分解为个边缘分布函数F p...，F…和一个co p u l a函数，即存在一个n维c o p u丨a函数：屯，…，气)=中…，尸…(')) ⑴
由此，根据式（1),通过选择合适的一维边缘分布函数
，弋及copula函数可以构造具有相依结构的联合分 布函数F&，。

而根据S k l a r定理推论，连接边缘分 布函数与联合分布函数的co pu la函数可表示为
=中「丨(《丨)，"•，尸:〗W)。

在医学、生物统计及可靠性统计分析中，经常采用的 是生存函数•?〇<〇(或称为可靠度函数），根据概率积分变 换 = 11，2,«及式（1)，联合生存函数SOc,,...，；〇也可由边际生存函数通过适当的co pu la函数表示出来，即：
■?('，…，〜卜亡⑷文丨)，…，5(;«…)) (2)
其中的c o p u l a并非由原来连接函数而是生存c o p u l a。

基金项目：国家自然科学基金资助项目（71571144:71401134)
作者简介：王燕（1987—)，女，河南周口人，博士研究生，研究方向：可靠性理论与应用、应用概率统计。

师义民（1952—），男，陕西西安人，硕士，教授，研究方向：应用概率统计、可靠性理论与应用。

184 统计与决策2020年第丨6期•总第556期
C W m W W}
1.2相依性度量
通常的相关性度量例如p和/Ce m/f l/A s r
都可采用c o p u l a函数表示'
r(x，y)=4D<!c(«，v)rfc(M，v)-1⑶
p(X,y)=12j〇'j〇'uvrfC(u,v)-3(4)
1.3 Archimedean c o p u l a s
阿基米德c o p l u a族由于构造方便、计算简单、包含了各
种分布特征的co pu la函数以及其良好的统计性质已被广泛
地应用于金融、统计等领域。

阿基米德c o p u l a族是通过一
个严格单调递减的凸函数构造而成的，其形式为：C(«丨，》2,…，\)=沪-丨(炉(w,)+…+炉⑷+…+沪(《J)(5)
上式中，《<•)被称为阿基米德c o p u l a族的生成函数。

Gumbel c o p u l a隶属于阿基米德c o p u l a族，由Gumbel提出[91,
其生成函数为％(r)= (-ln<)S，则其co pu la函数为：
C(«，v)= exp{-[[n(M)s+ln(v)]卜e[l，+〇〇)⑷
由A T e n d f l/Asr与相应的copula函数关系，得到f= 1
-0—1，即：当0=1时，则表示随机变量间相互独立。

2基于加速寿命试验的相依竞争失效横型
假设考虑具有《个应力水平的恒定应力(恒加)加速
寿命试验，在每个应力水平■?,.，i= 1，2,k下，在r〇= 0时
将/!,.个产品投人试验，产品的失效机理有s个，各失效机
理生存时间为卜/=l，2，...，s。

试验进行中只在预定的时
间卜;，4...次），其中0<^<4<...<之对产品进行检测。

在应力水平U_=l，2，...，u下，n j+为观测区间
(<P r j]，_/_=1,2，…彳内产品失效个数，当该观测时间结束
时，即在时间r；处，从剩余未失效的产品中随机抽取r；个
未失效产品移离试验，当预定的观测时间结束,停止试
验，此时将剩余的未失效产品全部移离试验。

则在逐步I
型区间截尾恒定应力加速寿命试验下，相依竞争失效产
品的失效数据为 W,c X:z'= 1，...，m,y= 1,,灸,a=丨，...,
<)。

其中，,r；不是预先给定的，而是在观
测区间结束时所有未失效产品以概率9被移离试验。

<
为失效机理，取丨1,2，...中任意值。

令：
4⑷=1〇々/’
i=l，2，..，uj_=l，2，...，M=l，2，..”i，A = l，2，."，/i;+
2.1基本假定
(1) 在每个应力水平下产品都存在有2个失效机理，且在每个应力水平下失效机理的相依结〇构相同；
(2) 在应力水平\,;=1，2，...，《下，各失效机理生存 时间b/= 1，2服从指数分布其概率密度函数和
分布函数分别为:F;(狀)=l-e—又!,，心(U>0(7)
f；{t\Xi^=ki l e'l，'，,t>Q,X,l>0(8)
(3) 在应力水平士，/= 1，2, ...，w下，由Gumbel copula
刻画产品各失效机理之间的相依关系，则产品的生存函数
为：
剛=exp{—(9)
(4) 失效机理下产品的寿命1/4与加速应力水平■s,.,f=1,2，...，tt满足下列加速方程：
l n(l/A j)=a,+ b,c p{s^,/= 1,2 1,2 (10)
其中，fl,，6,>0 , +)为关于应力水平s的已知函数。

在应力水平&f= 1,2，...，u下，由失效机理1导致产
品失效的概率密度函数为：
，，峡科參⑷r
expj-(A;)\(/l’2f(I D
则失效机理1导致产品失效的分布函数为：
^(0=+(^)j/S l e x p|-[(^)e+(4)]，/9^
=⑷⑷ +(’2)j1_e x p{-_⑷ + ⑷?|| (12)同理，由失效机理2导致产品失效的密度函数，分布
函数分别为：
f：\t)=(^2)9[(^i)S+1exp|-[(A；f+(A-2f]，/9j(13)
^'(0 =(4)'^；)' +(4)]|l-exp|-[(A；f+(A'2)9]W j j
(14)
2.2极大似然估计
在逐步I型区间截尾恒加寿命试验下，基于指数分布
相依竞争失效产品的失效数据，在应力水平&，*_=
1，2,...,u下的似然函数为：
项，4咖[作.)-你:,)f七昨)丁；
-+(4)f{exp{-[(A；)9 +,J-exp
|-[(A；)9 +(A'2) ]Wr；'J}x exp|-[(A；/+(^)]"^'}；(15)全部产品的似然函数为：i= f t"。

1=1
现对似然函数式取对数，得到对数似然函数I n i，再分
别对参数A j，0, /=1,2，…，《求取一阶导数等于〇,得到：
统计与决策2020年第16期•总第556期 185
^m
W W j
私广 V ^A r ^l -eXP(-’Ar；)] = 0 (
：±i n [, In A ； - t ±n )M ln (A ；) +
ln (A '2)i =l /=l i =1/= 1 L
-
d\nL ~W ~A '1
~X
X B (n ^+r j)T j +
_ exp(-^1/9Ar；j l =0
1=1 / = 1
1=1 /' = 1
' L 」
(17)
其中，J = (A ;) + (义丨2)，
A r J = r j -
丨
B =e _
.xe\l/e
(4/
1/0-l
-6T 2 I n
(a ;)9+(4)8][(a ;/+(4)'
艺 $/(c )A )，/= 1，…，w，y = 1，.",々，/= 1，2 表7K 在观
A = 1
测区间（r ；_P r ；]内由失效机理/导致的失效产品数，
k
<,=Z «),，/= 1，2 表7K 在压力水平•*,，/ = 1,2,…，w 下，由
y =i
失效机理/导致的产品失效数，<+ =
表示在压力水
j=i
平& i = 1,2 ,...，《下，产品失效总数。

由式（16)和式（17)，无法获得参数M L E 的显式表达 式，可f -用数值方法,如牛顿迭代或其他的迭代算法获得 参数估il 的数值解。

3 M idpoint 估计
在逐步I 型区间截尾寿命试验中，产品确切的失效时 间无法观测到，只能获得产品失效的时间范围，这对后续 计算带来了许多麻烦。

为了克服该困难，可以采用mid ­
p o i n t a p p r o x i m a t i o n (M P A ) 估 计方法 。

该方法假定 在区间
(<_,，0，/= 1，...，《,)= 1，... A 内失效产品的失效时间发生 在区间间隔的中间时刻，即产品失效时间为f j =
j。

并在时间 r ；时，有
r p = 1, ...，u J = 1，...彳个产品被移出试验。

在该方法 下，逐步I 型区间截尾寿命试验，可看作是逐步I 型截尾寿 命试验。

此时相依竞争失效产品的失效数据为 ⑷ c X :i '= 1，…，m ，y = 1，…，A ，/; = 1，…，n )+)。

则在应力 水平\，；=1，2,...，《下,似然函数为：
nn {(^)f l [(A 〇f l +(^)T "
+
全部产品的似然函数为：。

i =\
现对似然函数式取对数，得到对数似然函数b i M ,
再分别对参数4 4 m
= 1，2,《求取一阶导数等于〇,
得到：
ainZ ,
SA ；
矿 V f l -'=0
(19)
y =i
^
= H
<, InA ； - t ±
B (n !j J ]+r )r i )-
u u
/=1/=1
i =l j =l
+
卜。

（20)
由式(19)得:
/ k
'A -M Q j - ^
\-l
_=«T
：S «;+
2K 押
)
(21)
v
=1 / v
=1
/
将式(21)带人式(20),得到如下结果：
i =l /=l
i =l j =\
ln [(i ；(^))f l + (i '2(0))1 + (l - r ')(A ；(^))9 In A ； +
1=1j =l
L
_
(i ^(0)/l n 4/[(A j (0))S + (i -(0))"]} = O (22)
为了求解式(20),可采用文献[16]中的迭代方法。

令
其中：
I *
I , * 、I-V * *
I /1 \(#-lK V *-l )/
k
\9-\
r ;
结";.卜⑷+(«-丨咕;
,
十冲
其中：c =(”“) I
X
+] [Z («0)[矿'ln"“+
(l -r ')l n X «；+ -In
+^) ] + (<2) Z «；
v =1 y v '=1 / ’k t x e /
( *
Y {n 'i *t 'j +r 'i x') [^"'in^U + ^-^'j l n
-In
J =] /
v '=1
i K W O
]]
户
1
y
迭代步骤如下：
、e -
步骤1:初始化0，记做0。

；
步骤2:将0。

代人方程g (0)，得到A = g (0。

）；步骤3:重复步骤2,«次，直到
此时，可看作是参数0的估计值，其中e 为预先给 定的值。

186
统计与决策2020年第16期•总第556期
{^W m W W }
4
区间估计
4.1
B o o t s t r a p 区间
对近似区间方法而言，只有在大样本的前提下才具有 明显优势。

相反，在样本适量的情况下,b o o t s t r a p 方法"°，"1 在构建参数置信区间方面更具优势。

为此，本文采用
b o o t s t r a p 方法构建参数的b o o t s t r a p 置信区间（b o o t s t r a p
c o n f i
d
e n c e i n t e r v a l BCI ),构建步骤如下：
(1)在给定的〜下，基于逐步I 型区间截尾加速寿命试验下产品失效数据计算参数极大似然估计|丨，6,
/ = 1,2..., u ,j =\, 2..., ^, /= 1,2 ；
(2) 基于n ,., I ), 6产生的新数据，并计算参数极大
似然估计#，次；
(3)
重复步骤 2, A M 欠，得到 K (K
W
},A =1，2，...，
W。

按顺序排序得到b o o t s t r a p 样本{f
W ,...，
•. •，（7
j 〇
综合上述步骤，置信水平为1-a 的b o o t s t r a p 区间为：
(轧尤)=(严】，(,i = 1，2，…，1，2。

4.2产品可靠度的估计
在试验过程中，< 时刻产品的可靠度为S M = exp (-办)，其中：1/4为在正常应力s 。

下产品寿命，l o g # = 毛+ ^>(S 。

)。

将札/ = 1,2带人加速方程(10),得到参数 屮，f c ,的最小二乘估计：
_ r '= 1__________
i =J ___M _____
(23)
5 M onte Carlo 横拟
5.1模拟过程
选取阿伦尼斯(a r r h e n i u s )模型,考虑以温度作为加速 应力，设恒加试验具有3个加速应力水平：^=353尺， 52 = 383A ： ,s 3=413《，正常应力4 = 323/：。

在不同的 相依结构0= 1，2,3下，其中0= 1时，失效机理间相互独 立，各应力水平试验产品个数=心=n 3 = 40，80，100 ,观 测区间数/t =3 ,各观测区间结束后,产品移走方案假定如 下
：9l = (0,0，l )，《2 = (0.5,0.25，l )，93 = (0.25,0.5，l )。

产
品加速方程为：l o g (l /4= - 3+ 1200/& l o g (l /^ = -5 + 1800/s f。

采用Monte C a r l o 模拟方法,在逐步I 型区间截尾恒定 应力加速寿命试验下,基于相依竞争失效产品数据，重复
抽样1000次,得到未知参数Aj ^2, 6>, I ' = 1，2,3的极大似然
估计、m i d p o i n t 估计的均方误差，及参数的区间覆盖率。

仿真结果分别如表1至表3所示，其中均方误差的表示为
MSE =J (i ,.-A )2/«。

参数初始值为:(A ;，4
#«，#) =
I = l v Z
(0.6707，0.9056，0.8753，1.3502，1.0990, 1.8996)。

表1
当0=3时参数点估计的均方误差和区间■盖率
n
Type e
又丨丨
4
义？义！44MLE 0.10170.10250.270.36320.30940.10540.1025
(〇,〇,1)
MPA 0.10020.10110.2580.35960.29870.10230.0997BCI
93.1
92.8
92.1
92.9
90.4
92.8
93.4
MLE 0.10730.10870.27290.37580.31060.11280.112440
(0.5,0.25,1)
M PA 0.10230.10240.26020.36250.30170.10560.1042BCI
93
92.6
91.8
92.6
90.2
92.1
93.1
MLE 0.10960.10450.27480.36960.31130.11140.1174(0.25,0.5,1)
MPA 0.10350.10130.2610.36060.30250.10780.1056BCI
92.8
92.7
91.7
92.7
90
91.8
92.9
MLE 0.08340.07550.25670.34840.27460.08560.0766(〇,〇,1)
MPA 0.08070.06980.24370.33560.26980.08040.07BCI
95.2
95.5
93.7
92.6
92.8
95.4
95.2
MLE 0.09730.07790.26010.35640.30020.0910.080180
(0.5,0.25,1)
MPA 0.09230.7120.25150.34280.28410.08640.0796BCI
94.9
95.3
93.4
92.1
91.9
95.1
94.9
MLE 0.09520.08470.26280.36140.29670.0880.0796(0.25,0.5,1)
MPA 0.09040.07890.25490.35260.27980.0810.0754BCI
95.1
94.8
93.5
91.8
92.3
94.8
94.8
MLE 0.06230.05520.21170.32130.25240.05740.0521(0,0,1)
MPA 0.5%0.05130.20070.31210.24560.05010.0503BCI 96.8
97.9
95.8
94.9
95.4
97.8
98.1
MLE
0.6490.05730.21720.33150.26760.05950.0642100(0.5,0.25,1)
MPA 0.6110.05360.20890.32080.25490.05450.0601BCI %.5
97.4
95.3
94.6
95.1
97.6
97.2
MLE
0.6420.05860.21260.34950.26330.06660.0553(0.25,0.5,1)MPA 0.6230.05520.20650.33120.25130.06230.0521BCI
96.7
97.1
95.5
94.1
94.9
97.1
97.6
由表1、下页表2、表3可知，随着产品数量n 的增加， 参数的极大似然估计、M P A 估计的均方误差越小;在相同 应力水平及产品数量条件下，随着失效机理相依程度0的 增大,参数极大似然估计、M P A 估计的均方误差越小；以 区间覆盖率为考核标准，随着产品数量《的增加，参数的 区间覆盖率同步增加；在相同应力水平及产品数量条件 下，随着失效机理相依程度0的增大，覆盖率逐渐增加。

当0= 1时，表明失效机理相互独立，参数估计的均方误差 较大，参数的区间覆盖率较小，该结果表明相依竞争失效 模型更符合产品实际。

5.2结果分析
逐步I 型区间截尾相依竞争失效场合下，在3种不同 应力下，取《,=«2=/>3 = 30 ,相依结构0=2移走概率p
(0,0,1),在加速方程下得到参数M L E 及BCI 估计如下页
表4所示。

6
结束语
在逐步I 型区间截尾加速寿命试验下，利用copula 函
统计与决策2020年第16期.总第556期
187
表2 当0= 2时参数点估计的均方误差和区间覆盖率
n q Type e又丨
MLE0.14350.1860.38840.45750.45190.36970.4005 (0,0,1)MPA0.13270.1810.3810.44230.43990.35120.3889
BCI89.587.987.185.585.987.386.4
MLE0.14470.19160.39050.45880.45030.37080.4115 40(0.5,0.25,1)M PA0.14020.19010.38260.45230.44120.36240.4058
BCI89.387.186.984.784.686.184.9
MLE0.15020.20130.38950.45870.45980.37030.4121
(0.25,0.5,1)MPA0.14380.19560.38010.45120.45010.36090.4089
BCI89.286.986.884.984.186.384.6
MLE0.11890.15970.35450.39230.39180.34830.3416 (〇,〇,1)MPA0.11080.15210.34990.38890.38560.34210.3358
BCI90.891.189.989.389.189.889.4
MLE0.12150.16350.36070.39370.40490.35370.359 80(0.5,0.25,1)MPA0.11560.15890.35910.39010.39870.34880.35
BCI90.790.689.68988.789.388.9
MLE0.12210.16310.35980.39480.40310.35140.3531
(0.25,0.5,1)MPA0.11790.15990.35250.38010.38990.34960.3421
BCI90.690.889.788.888.989.589.1
MLE0.08920.14790.30260.36550.31260.30140.3003 (0,0,1)MPA0.08540.14010.29870.35990.30960.29510.2899
BCI91.392.991.590.491.191.890.1
MLE0.09110.15070.30720.36990.31510.30550.3121 100(0.5,0.25,1)MPA0.08990.14950.29560.36230.31020.29970.3054
BCI91.192.591.39090.891.689.9
MLE0.09720.15090.30310.37040.31310.30970.3121
(0.25,0.5,1)MPA0.09130.150.29890.36680.31030.30110.3014
BCI90.992.491.489.99191.489.8表3 当0= 1时参数点估计的均方误差和区间覆盖率
n q Type Q又：又!又f
MLE0.17640.3060.51840.55120.52090.45070.5155 (0,0,1)MPA0.16100.29890.50210.54910.51560.44790.5086
BCI86.982.380.179.581.282.179.8
MLE0.17870.31010.52410.55610.52530.45880.5209 40(0.5,0.25,1)MPA0.16790.30520.51230.55010.51850.45030.5124
BCI86.58279.779.180.981.879.6
MLE0.17720.31530.52370.56070.52510.45430.5211
(0.25,0.5,1)MPA0.16580.30890.51120.55680.51710.44970.5129
BCI86.781.979.978.9818279.5
MLE0.15250.21560.37450.43230.44560.40830.4378
(〇,〇,l)MPA0.14980.20970.37030.42560.43850.39240.4305
BCI89.186.984.183.284.184.582.6
MLE0.15630.22550.38670.43710.45490.41030.4459 80(0.5,0.25,1)MPA0.15340.21260.37490.43080.44510.40870.4394
BCI88.886.383.983.18484.382.4
MLE0.15520.21860.38480.43580.45310.40520.4431
(0.25,0.5,1)M PA0.15210.21030.37250.42980.44120.39740.4327
BCI88.986.683.882.883.884.482.1
MLE0.13710.18570.34260.39120.38260.36520.4003
(0,0,1)M PA0.13220.18030.33950.38590.37240.35460.3957
BCI90.288.186.785.986.586.484.9
MLE0.14110.18770.35210.39530.39240.37230.4151 100(0.5,0.25,1)M PA0.13540.18150.34120.38760.38210.36350.4027
BCI9087.986.485.886.286.284.6
MLE0.14250.19090.35420.39760.39050.37160.4134
(0.25,0.5,1)M PA0.13580.18570.34560.38940.38070.36270.4005
BCI89.987.786.385.686.186.384.7表4 参数的极大似然估计、midpoint估计及bootstrap区间估计
Type e义！4义？44义】
MLE 2.31560.7904 1.1736 1.0590 1.0768 1.2280 2.1789
M PA 2.25780.58890.80210.9591 1.21560.9179 2.0086
BCI
(1.4039,(0.3979,(0.4887,(0.4453,(1.0685,(0.7077,(1.5734.
3.1518)0.9166) 1.5488) 1.2787) 1.6762) 1.4108) 2.2103)
数建立指数分布的相依竞争失效模型，通过建立似然方
程，给出未知参数的极大似然估计、m i d p o i n t估计的均方
误差。

同时采用b o o t s t r a p方法建立参数的置信区间。

最
后利用Monte C a r l o方法进行模拟实验，结果表明：
(1) 在不同的应力下随着产品数量n的增加,参数的 极大似然估计、m i d p o i n t估计的均方误差越小；在相同应
力及产品数量条件下，随着失效机理相依程度0的增大，
其估计值的均方误差越小。

(2) 以区间覆盖率考核标准，随着产品数量《的增加，参数的区间覆盖率都在增加；在相同条件下，随着失效机
理相依程度0的增大，覆盖率逐渐增加。

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(责任编辑/浩天）
188 统计与决策2020年第16期•总第556期。