专题01 数的整除-客观题压轴题训练(解析版)

专题01
数的整除客观题压轴训练
一、选择题（本大题共6题）1.（2019徐教院附中10月考5）b a 、都是正整数，如果b a 3=，那么b a 、的最小公倍数是（
）、A ab
3、B a 、C b 、D ab
【答案】B;
【解析】解：因为a=3b ，故a 、b 的最小公倍数为a ，因此答案选B.
2.（浦东四署2019期中6）著名的“哥德巴赫猜想”被喻为“数学皇冠上的明珠”，猜想认为：任何大于2的偶数都是两个素数之和，下列4个算式中，符合这个猜想的是（
）A.413=+； B.13211=+； C.1679=+； D.321319=+.【答案】D ；【解析】解：A 、1不是素数，故A 错误；B 、13不是偶数，故B 错误；C 、9不是素数，故C 错误；D 、32是偶数，13与19均是素数，符合题意，故D 正确；因此答案选D.
3.（浦东南片2019期中6）假设一家旅馆一共有30个房间，分别编以1～30三十个号码，现在要在每个房间的钥匙上刻上数字，要求所刻的数字必须使服务员很容易辨认是哪一个房间的钥匙，而使局外人不容易猜到.现在有一种编码的方法是：在每把钥匙上刻上两个数字，左边的一个数字是这把钥匙原来的房间号码除以5所得的余数，而右边的一个数字是这把钥匙原来的房间号码除以7所得的余数.那么刻的数是36的钥匙所对应的原来的房间号码应该是（
）A.28
B.23
C.18
D.13【答案】D；
【解析】解：在1~30中，除以5余3的数有：3、8、13、18、23、28；除以7余数6的数有：6、13、20、27；故刻的数是36的钥匙所对应的原来房间应该是13,故答案选D.
4.（建平西2019期中6）客厅的地面是长6米、宽4.8米的长方形，如果要用完整的地砖铺满客厅的地面，那么下列规格的地砖(单位:厘米)中，可以选择（
）A.48
48⨯ B.5050⨯ C.6060⨯ D.8080⨯【答案】C ；
【解析】解：因为地面长600厘米，宽480厘米，600与480的最大公因数是120，故可选规格为60×60.
5.（川沙中学南校2019期末6）如果n 表示一个大于1的整数，那么下列四个选项中，一定表示合数的是（）
A.n+2；
B.n-2；
C.2n ；
D.2
n .【答案】C ；【解析】解：因为n 表示一个大于1的整数，故2n 表示大于2的偶数，故2n 一定是合数，故答案选C.
6.（2019宝山期中20）在上海南站，如果地铁1号线每隔3分钟发车，轨道交通3号线每隔4分钟发车，地铁1号线和轨道交通3号线上午6：00同时发出一辆车，那么从上午6：00第一次同时出发至上午8：00为止，同时发车的次数一共是（
）次.
A.10；
B.11；
C.12；
D.13.【答案】B ；
【解析】解：因为3与4的最小公倍数是12，因此在6：00~8：00中共120分钟，12的倍数有0、12、24、36、48、60、72、84、96、108、120共11次，因此同时发车的次数为11次.
二、填空题（本大题共16题）
7.（2019浦东四署10月考18）规定一种新运算：对于不小于3的自然数n ，（n ）表示不是n 的因数的最小自然数，如：（5）=2，（8）=3等等，那么（6）+（15）=
.【答案】6;
【解析】解：因为6的因数为1、2、3、6，故（6）=4，15的因数为1、3、5、15，故（15）=2，因此（6）+（15）=4+2=6.8.（2019大同初中10月考20）一个环形跑道的长400米，小明每秒跑8米，小杰毎秒跑5米，现在小明和小杰同时从起点同向出发，经过
秒两人第一次在起点相遇.【答案】400;
【解析】解：因为小明跑一圈需50秒，小杰跑一圈需80少，而50与80的最小公倍数为400，故400秒两人第一次在起点相遇.
9.（2019建平西校10月考19）学校400米环形跑道每隔4米插一面小旗，现在要改成每隔5米插一面小旗，有_______面小旗不需要移动。

【答案】20;
【解析】解：因为4与5的最小公倍数为20，400÷20=20，故一共有20面小旗不需要移动.10.（2019徐教院附中10月考18）若正整数B A ⨯⨯⨯=1977（B 为素数,7B ≠且19B ≠），则A 共有_____个因数.
【答案】12；
【解析】解：A 有7、7、19、B 共4个素因数，故A 的因数可分5类：第1类，四个素因数不
取，则得1；第2类四个因数取一个得7、19、B 共3个；第3类四个因数取两个乘积得49、19B、7B 共3个；第4类四个因数取3个做乘积得931、133B、49B 共3个；第5类四个因数取4个做乘积得A 共1个，故1+3+4+3+1=12个；（或者：211
719A B =⨯⨯，故A 的因数个数为322⨯⨯=12个.）
11.（华理附中2019期中15）如果m 和n 是两个素数，满足5m+7n=129,那么m+n 的值是.
【答案】19或25；
【解析】解：如果m 和n 都是奇数，则5m+7n 为偶数，因为129是奇数，所以m 、n 为一奇一偶.即m 、n 中必有一个等于2；当m=2时，得n=17，则m+n=19；当n=2时，m=23，则m+n=25；故m+n 的值为19或25.
12.（川沙中学南校2019期末18）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律m 的值为.
【答案】184；
【解析】解：根据规律，最后一图中右上角数是15，左下角的数是13；再根据规律：14351=⨯-，32573=⨯-，58795=⨯-，得131511195011184m =⨯-==.
13.（卢湾中学2020期末20）如图是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第10个图案需要枚棋子．
【答案】331；
【解析】解：根据题意，第1个图案需要3×1×2+1枚，第2个图案需要3×2×3+1枚，第3个图需3×3×4+1枚，…，第10个图需要的棋子为：3×10×11+1=331枚.
14.（2019上南东校9月20）现有A 、B 、C 、D 四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另
一个数：
装置A：将输入的数加上5；装置B：将输入的数除以2；
装置C：将输入的数减去4；装置D：将输入的数乘以3；
这些装置可以连接，如装置A后连接装置B，就写成A·B，输入1后，经过A·B，输出3，当小明输入9，经过A·B·C·D，输出的结果为________
【答案】3；
【解析】解：输入9，经过A·B,输出的结果为5，则A·B·C输出的结果为1，则A·B·C·D输出的结果为3.
15.（青教院附中2019期中18）如图，用灰白色正方形瓷砖铺设地面，则第n个图案中白色瓷砖数为块.
【答案】32
n+;
【解析】解：第1个图案中白色瓷砖数为3+2块，第2个图案中白色瓷砖数为32+2
⨯块，第3个图案中白色瓷砖数为33+2
⨯块，…，第n个图案中白色瓷砖数为3n+2块.
16.（2019大同期中18）一个正整数的所有因数中，最小的两个因数的和是3，最大的两个因数的和是144，则这个正整数是
【答案】96;
【解析】解：设这个正整数为n，最小的两个因数和为3，则这两个因数分别为1、2；又最大
因数为n，则另一个为1
2
n，所以1144
2
n n
+=，解得n=96，故这个正整数为96.
17.（2019金山期中20）如果196除以a得商为b（a、b均为自然数），余数为2，那么a的值是.（写出所有可以的值）
【答案】97和194;
【解析】解：依题，196除以a得商为b（a、b均为自然数），余数为2，所以196=ab+2且
a>2，则ab=194=2×97，故a=97或194.
18.（2019普陀期中18）如果两个正整数的最大公因数是6，这两个数的和是30，那么这两个数是.
【答案】6和24或12和18;
Better offer，Better future
【解析】解：依题可设这两个数为6m、6n（m、n互素），则6m+6n=30，所以m+n=5，故m=1，n=4或m=2，n=3，所以这两个数分别为6和24或12和18.
19.（2019上海实验期中15）从小年家到邮局的路上每隔50米有一根电线杆，加上两端的两根，一共有55根电线杆，现在进行线路改造，改成每隔60米安装一根电线杆，包括两端在内的一共有根需要移动。

【答案】45;
【解析】解：从小年家到邮局的路共有50×（55-1）=2700米，50与60的最小公倍数为300，则2700÷300=9，故一共有9+1=10根不需要移动，即45根需要移动.
20.（2020松江期末15）阅读理解：截尾素数73939133这个数具有相当迷人的性质，不只是因为它是素数，还因为把最末位数字依序“截尾”后，余下的数仍然是素数.如:73939133，7393913，739391，73939，7393，739，73，7.具有这样性质的数叫“截尾素数”.巧的是，它也是具有这种性质的最大数，总共有83个数具有这样的性质.在100以内的素数中，最大的截尾素数是_________.
【答案】79；
【解析】解：在100以内的素数中，较大的素数分别为97，89，83，79，73，71，67等等，其中是截尾素数的是79，73等等，故100以内的素数中最大的截尾素数是79.。